最短路径问题评测练习.doc

最短路径问题评测练习一、两点在一条直线异侧例：已知：如图，A，B在直线L的两侧，在L上求一点P，使得PA+PB最小。二、 两点在一条直线同侧例：图所示，要在街道旁修建一个奶站，向居民区A、B提供牛奶，奶站应建在什么地方，才能使从A、B到它的距离之和最短 三、一点在两相交直线内部例1：已知：如图A是锐角MON内部任意一点，在MON的两边OM，ON上各取一点B，C，组成三角形，使三角形周长最小.ABMNE 例2：如图，A.B两地在一条河的两岸，现要在河上建一座桥MN，桥造在何处才能使从A到B的路径AMNB最短？（假设河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直） DAOB. .ENCM例3：某班举行晚会，桌子摆成两直条(如图中的AO，BO)，AO桌面上摆满了桔子，OB桌面上摆满了糖果，坐在C处的学生小明先拿桔子再拿糖果，然后回到座位，请你帮助他设计一条行走路线，使其所走的总路程最短？四、点在圆柱中可将其侧面展开求出最短路程将圆柱侧面展成长方形，圆柱体展开的底面周长是长方形的长，圆柱的高是长方形的宽可求出最短路程例：如图所示，是一个圆柱体，ABCD是它的一个横截面，AB=，BC=3，一只蚂蚁，要从A点爬行到C点，那么，最近的路程长为（）A7BCD5五、在长方体（正方体）中，求最短路程1）将右侧面展开与下底面在同一平面内，求得其路程2）将前表面展开与上表面在同一平面内，求得其路程3）将上表面展开与左侧面在同一平面内，求得其路程了 然后进行比较大小，即可得到最短路程.例1：有一长、宽、高分别是5cm，4cm，3cm的长方体木块，一只蚂蚁要从长方体的一个顶点A处沿长方体的表面爬到长方体上和A相对的顶点B处，则需要爬行的最短路径长为（）A5cmBcmC4cmD3cm 例2：如图，AB为O直径，AB=2，OC为半径，OCAB,D为AC三等分点，点P为OC上的动点，求AP+PD的最小值。 练习题1.如图，在正方形ABCD中，点E为AB上一定点，且BE=10,CE=14,P为BD上一动点，求PE+PC最小值。2.如图，在直角坐标系中有四个点, A(-8,3),B(-4,5)C(0，n),D(m,0),当四边形ABCD周长最短时,求 。3.如图，在菱形ABCD中,AB=2,BAD=60,E,F,P分别为AB,BC,AC上动点,求PE+PF最小值4.如图，AOB=45，角内有一动点P ，PO=10，在AO，BO上有两动点Q，R，求PQR周长的最小值。 参考答案一、解：连接AB,线段AB与直线L的交点P ，就是所求。（根据：两点之间线段最短.）二、解：只有A、C、B在一直线上时，才能使AC+BC最小作点A关于直线“街道”的对称点A，然后连接AB，交“街道”于点C，则点C就是所求的点 三、例1：解：分别作点A关于OM，ON的对称点A，A；连接A，A，分别交OM，ON于点B、点C，则点B、点C即为所求分析：当AB、BC和AC三条边的长度恰好能够体现在一条直线上时，三角形的周长最小例2：解：1.将点B沿垂直与河岸的方向平移一个河宽到E， 2.连接AE交河对岸与点M, 则点M为建桥的位置，MN为所建的桥。证明：由平移的性质，得 BNEM 且BN=EM, MN=CD, BDCE, BD=CE,所以A.B两地的距:AM+MN+BN=AM+MN+EM=AE+MN,若桥的位置建在CD处，连接AC.CD.DB.CE,则AB两地的距离为：AC+CD+DB=AC+CD+CE=AC+CE+MN,在ACE中，AC+CEAE, AC+CE+MNAE+MN,即AC+CD+DB AM+MN+BN所以桥的位置建在CD处，AB两地的路程最短。例3：作法：1.作点C关于直线 OA的对称点点D, 2. 作点C关于直线 OB的对称点点E, 3.连接DE分别交直线OA.OB于点M.N，则CM+MN+CN最短四、分析：要求蚂蚁爬行的最短距离，需将圆柱的侧面展开，进而根据“两点之间线段最短”得出结果解：将圆柱体展开，连接A、C，=4，BC=3，根据两点之间线段最短，AC=5 故选D五、 例1：分析：把此长方体的一面展开，在平面内，两点之间线段最短利用勾股定理求点A和B点间的线段长，即可得到蚂蚁爬行的最短距离在直角三角形中，一条直角边长等于长方体的高，另一条直角边长等于长方体的长宽之和，利用勾股定理可求得解：因为平面展开图不唯一，故分情况分别计算，进行大、小比较，再从各个路线中确定最短的路线（1）展开前面、右面，由勾股定理得AB2=（5+4）2+32=90；（2）展开前面、上面，由勾股定理得AB2=（3+4）2+52=74；（3）展开左面、上面，由勾股定理得AB2=（3+5）2+42=80；所以最短路径长为cm 例2：分折：作D关于OC的对称点D，于是有PA+PDAD,（当且仅当P运动到Po处，等号成立），易求AD=。 练习题1.分析：作E关于BD对称点E，E在AB上，有PE+PC=PE+PCEC易求EC=26。2.分析:因AB长为定值,四边形周长最短时有BC+CD+DA最短,作B关于y轴对称点B,A关于x轴对称点A,DA+DC+BC=DA+DC+BCBA(当D,C运动到AB和x轴y轴的交点时等号成立),易求直线AB解折式y= +,C0(0,),D0(-,0),此时=- 3.分折:作E关于AC所直线的对称点E,于是有,PE+PF=PF+PEEF,又因为E在AB上运动,故