圆的对称性.ppt

圆的对称性 圆的对称性 圆是轴对称图形吗 如果是 它的对称轴是什么 你能找到多少条对称轴 你是用什么方法解决上述问题的 圆是中心对称图形吗 如果是 它的对称中心是什么 你能找到多少条对称轴 你又是用什么方法解决这个问题的 圆的对称性 圆是轴对称图形 圆的对称轴是任意一条经过圆心的直线 它有无数条对称轴 可利用折叠的方法即可解决上述问题 圆也是中心对称图形 它的对称中心就是圆心 用旋转的方法即可解决这个问题 圆的相关概念 圆上任意两点间的部分叫做圆弧 简称弧 直径将圆分成两部分 每一部分都叫做半圆 如弧ABC 连接圆上任意两点间的线段叫做弦 如弦AB 经过圆心弦叫做直径 如直径AC AM BM 垂径定理 AB是 O的一条弦 你能发现图中有哪些等量关系 与同伴说说你的想法和理由 作直径CD 使CD AB 垂足为M 右图是轴对称图形吗 如果是 其对称轴是什么 小明发现图中有 由 CD是直径 CD AB 做一做 垂径定理 如图 小明的理由是 连接OA OB 则OA OB 在Rt OAM和Rt OBM中 OA OB OM OM Rt OAM Rt OBM AM BM 点A和点B关于CD对称 O关于直径CD对称 当圆沿着直径CD对折时 点A与点B重合 垂径定理三种语言 定理垂直于弦的直径平分弦 并且平分弦所的两条弧 老师提示 垂径定理是圆中一个重要的结论 三种语言要相互转化 形成整体 才能运用自如 CD AB 如图 CD是直径 AM BM CD AB 垂径定理的逆定理 AB是 O的一条弦 且AM BM 你能发现图中有哪些等量关系 与同伴说说你的想法和理由 过点M作直径CD 右图是轴对称图形吗 如果是 其对称轴是什么 小明发现图中有 由 CD是直径 AM BM 平分弦 不是直径 的直径垂直于弦 并且平分弦所对的两条弧 你可以写出相应的命题吗 相信自己是最棒的 垂径定理的逆定理 如图 在下列五个条件中 只要具备其中两个条件 就可推出其余三个结论 CD是直径 AM BM CD AB 垂径定理及逆定理 垂直于弦的直径平分弦 并且平分弦所的两条弧 平分弦 不是直径 的直径垂直于弦 并且平分弦所对的两条弧 平分弦所对的一条弧的直径 垂直平分弦 并且平分弦所对的另一条弧 弦的垂直平分线经过圆心 并且平分这条弦所对的两条弧 垂直于弦并且平分弦所对的一条弧的直线经过圆心 并且平分弦和所对的另一条弧 平分弦并且平分弦所对的一条弧的直线经过圆心 垂直于弦 并且平分弦所对的另一条弧 平分弦所对的两条弧的直线经过圆心 并且垂直平分弦 6 已知 如图 在以O为圆心的两个同心圆中 大圆的弦AB交小圆于C D两点 你认为AC和BD有什么关系 为什么 证明 过O作OE AB 垂足为E 则AE BE CE DE AE CE BE DE即AC BD 5 在半径为30 的 O中 弦AB 36 则O到AB的距离是 OAB的余弦值 练一练 2 0 6 24mm 注意 解决有关弦的问题 过圆心作弦的垂线 或作垂直于弦的直径 也是一种常用辅助线的添法 挑战自我垂径定理的推论 如果圆的两条弦互相平行 那么这两条弦所平的弧相等吗 老师提示 这两条弦在圆中位置有两种情况 垂径定理的推论圆的两条平行弦所夹的弧相等 挑战自我画一画 如图 M为 O内的一点 利用尺规作一条弦AB 使AB过点M 并且AM BM 挑战自我填一填 1 判断 垂直于弦的直线平分这条弦 并且平分弦所对的两条弧 平分弦所对的一条弧的直径一定平分这条弦所对的另一条弧 经过弦的中点的直径一定垂直于弦 圆的两条弦所夹的弧相等 则这两条弦平行 弦的垂直平分线一定平分这条弦所对的弧 挑战自我画一画 4 如图 圆O与矩形ABCD交于E F G H EF 10 HG 6 AH 4 求BE的长 驶向胜利的彼岸 挑战自我填一填 1 判断 垂直于弦的直线平分这条弦 并且平分弦所对的两条弧 平分弦所对的一条弧的直径一定平分这条弦所对的另一条弧 经过弦的中点的直径一定垂直于弦 圆的两条弦所夹的弧相等 则这两条弦平行 弦的垂直平分线一定平分这条弦所对的弧 例2 如图 圆O的弦AB 8 DC 2 直径CE AB于D 求半径OC的长 垂径 直径MN AB 垂足为E 交弦CD于点F 例3 如图 已知圆O的直径AB与弦CD相交于G AE CD于E BF CD于F 且圆O的半径为10 CD 16 求AE BF的长 练习3 如图 CD为圆O的直径 弦AB交CD于E CEB 30 DE 9 CE 3 求弦AB的长 图中相等的线段有 驶向胜利的彼岸 挑战自我画一画 2 已知 如图 O中 弦AB CD AB CD 直径MN AB 垂足为E 交弦CD于点F 图中相等的线段有 图中相等的劣弧有 小结 圆的轴对称性 垂径定理及其逆定理的图式 2 圆对称性 2 垂径定理三种语言 定理垂直于弦的直径平分弦 并且平分弦所的两条弧 老师提示 垂径定理是圆中一个重要的结论 三种语言要相互转化 形成整体 才能运用自如 CD AB 如图 CD是直径 AM BM 垂径定理的应用 例1如图 一条公路的转变处是一段圆弧 即图中弧CD 点O是弧CD的圆心 其中CD 600m E为弧CD上的一点 且OE CD垂足为F EF 90m 求这段弯路的半径 解 连接OC 老师提示 注意闪烁的三角形的特点 赵州石拱桥 1 1300多年前 我国隋朝建造的赵州石拱桥 如图 的桥拱是圆弧形 它的跨度 弧所对是弦的长 为37 4m 拱高 弧的中点到弦的距离 也叫弓形高 为7 2m 求桥拱的半径 精确到0 1m 你是第一个告诉同学们解题方法和结果的吗 赵州石拱桥 解 如图 用表示桥拱 所在圆的圆心为O 半径为Rm 经过圆心O作弦AB的垂线OD D为垂足 与相交于点C 根据垂径定理 D是AB的中点 C是的中点 CD就是拱高 由题设 在Rt OAD中 由勾股定理 得 解得R 27 9 m 答 赵州石拱桥的桥拱半径约为27 9m 船能过拱桥吗 2 如图 某地有一圆弧形拱桥 桥下水面宽为7 2米 拱顶高出水面2 4米 现有一艘宽3米 船舱顶部为长方形并高出水面2米的货船要经过这里 此货船能顺利通过这座拱桥吗 相信自己能独立完成解答 船能过拱桥吗 解 如图 用表示桥拱 所在圆的圆心为O 半径为Rm 经过圆心O作弦AB的垂线OD D为垂足 与相交于点C 根据垂径定理 D是AB的中点 C是的中点 CD就是拱高 由题设得 在Rt OAD中 由勾股定理 得 解得R 3 9 m 在Rt ONH中 由勾股定理 得 此货船能顺利通过这座拱桥 垂径定理三角形 在a d r h中 已知其中任意两个量 可以求出其它两个量 d h r 已知 如图 直径CD AB 垂足为E 若半径R 2 AB 求OE DE的长 若半径R 2 OE 1 求AB DE的长 由 两题的启发 你还能编出什么其他问题 垂径定理的应用 在直径为650mm的圆柱形油槽内装入一些油后 截面如图所示 若油面宽AB 600mm 求油的最大深度 垂径定理的逆应用 在直径为650mm的圆柱形油槽内装入一些油后 截面如图所示 若油面宽AB 600mm 求油的最大深度 D C 挑战自我 1 要把实际问题转变成一个数学问题来解决 2 熟练地运用垂径定理及其推论 勾股定理 并用方程的思想来解决问题 3 对于一个圆中的弦长a 圆心到弦的距离d 圆半径r 弓形高h 这四个量中 只要已知其中任意两个量 就可以求出另外两个量 如图有 d h r 2 圆对称性 3 圆的对称性及特性 圆是轴对称图形 圆的对称轴是任意一条经过圆心的直线 它有无数条对称轴 圆也是中心对称图形 它的对称中心就是圆心 用旋转的方法可以得到 一个圆绕着它的圆心旋转任意一个角度 都能与原来的图形重合 这是圆特有的一个性质 圆的旋转不变性 圆心角 圆心角顶点在圆心的角 如 AOB 弦心距过圆心作弦的垂线 圆心与垂足之间的距离 如线段OD 如图 在 O中 分别作相等的圆心角和 AOB和 A OB 将其中的一个旋转一个角度 使得OA和O A 重合 你能发现那些等量关系 说一说你的理由 圆心角 圆心角 弧 弦 弦心距之间的关系定理 如图 如果在两个等圆 O和 O 中 分别作相等的圆心角和 AOB和 A O B 固定圆心 将其中的一个旋转一个角度 使得OA和O A 重合 你又能发现那些等量关系 说一说你的理由 圆心角 弧 弦 弦心距之间的关系定理 在同圆或等圆中 相等的圆心角所对的弧相等所对的弦相等 所对的弦的弦心距相等 由条件 AOB A O B AB A B OD O D 拓展与深化 在同圆或等圆中 如果轮换下面五组条件 两个圆心角 两条弧 两条弦 两条弦心距 你能得出什么结论 与同伴交流你的想法和理由 如由条件 AB A B OD O D AOB A O B 推论 在同圆或等圆中 如果 两个圆心角 两条弧 两条弦 两条弦心距中 有一组量相等 那么它们所对应的其余各组量都分别相等 如由条件 AB A B OD