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微積分基礎篇 使用 Maple V 9-95 9積分技巧积分方法基本上可概分为分部积分法与代换积分法两种。分部积分法将于9.2节里介绍，而简单的代换积分法已于5.3节探讨过。于本章里首先将就基本的积分公式与代换积分法做一个简单的复习，同时也介绍了Maple的几个基本的积分指令，来为本章的学习暖个身。9.1 基本积分公式与代换积分法的复习9-29.2 分部积分法9-99.3 三角函数的乘幂积分9-229.4 三角代换积分法9-349.5 含二次项的积分9-429.6 有理函数的积分法9-469.7 技巧性的代换积分法9-569.8 数值积分9-629.1基本积分公式与代换积分法的复习代换积分法(method of substitution)系利用变量变换，将较不易积分的数学式代换成较易积分的式子。通常代换积分法必须利用一些现成的积分公式或积分表来完成，以下列出了常用的积分公式：乘幂与指数1. 2. 3. 4. 三角函数5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 基本的代数函数13. 14. 15. 【例题9.1.1】 试求【解】设，则，因此(1) (利用积分公式14) (2) (3)Maple的student链接库里所提供的changevar指令可以用来做变量变换积分，下列的步骤模拟了本例题中，整个手算的过程。载入sutdent链接库。 with(student):定义变量expr为积分式。 expr:=Int(exp(x)/(16+9* exp(2*x),x); 设来做变数变换，可得右式。 changevar(u=3*exp(x),expr,u); 化简上式，可将常数因子提出。读者可注意到右式的结果与(1)式相同。 simplify(%); 利用value指令，可求得积分式的值。注意右式的结果与(2)式相同。 value(%); 将代入上式，可得积分的结果，此结果与(3)式相同。 subs(u=3*exp(x),%); 以value指令可直接求得expr的积分值，其结果与上式相同，故验证了变量变换积分法的正确性。 expr=value(expr); 【例题9.1.2】 试求【解】设，则，因此读者也可以模仿例题8.1.1的步骤，用Maple来一步步的解出的积分值。有趣的是，本题系以来做代换，若以来做代换，结果是否一样会变成更容易积分的数学式? Maple的changevar运算可以很容易的回答这个问题。定义expr=。 expr:=Int(tan(x),x); 设来做变数变换，可得右式。因容易积分，故对手算而言，为一适当的代换式。 changevar(u=cos(x),expr,u); 如果设来做变数变换，得到右式。因用纸笔并不好积分，故于此例中，并不是一个适当的代换式。 changevar(u=sin(x),expr,u); 虽然并不易用纸笔来积分，但对Maple而言就没有这个差别了！这个积分依然可用Maple来计算：计算，可得右式。 value(%); 将代回上式，得到右式。 subs(u=sin(x),%); simplify指令并不能将再上式化简。 simplify(%); 事实上，因Maple均假设ln函数之内的自变量为正，因此，若以来做代换， 的积分值为(1)虽然(1)式与代换所积得的结果并不相同，但还是可以利用代数来证明下面的恒等式(见本节习题)：【例题9.1.3】 试求【解】的积分也可用代换积分法来完成，但须要用到一点小技巧：(1)令，则，因此由(1)式可得(2)相同的，现尝试以Maple来重复计算：定义expr=。 expr:=Int(sec(x),x); value指令可求得的值，此值与(2)式相同。 value(%); 令，则积分式可改写成右式，但Maple并不会自动化简它。 changevar(u=sec(x)+tan(x),expr,u); 利用simplify指令则可化简上式为。 simplify(%); 最后，将代回上式，即可求得积分值。 subs(u=sec(x)+tan(x),value(%); 由例题9.1.2与9.1.3可得推导出下列四个重要的积分公式，其中我们把(9.1.2)与(9.1.4)式的推导留做习题。(9.1.1) (9.1.2)(9.1.3) (9.1.4)Maple的积分常数与积分式里的绝对值大部份的符号运算系统如Maple、Mathematica与Maysma等，其积分运算通常不会自动加上积分常数，且假设所积出的ln函数里的自变量均为正值，故舍去了绝对值符号。缺了积分常数并不会造成太大的困扰，需要时再加上去就好了，但是要如何把绝对值符号加到ln函数里呢?其做法很简单，把ln函数用合成函数来取代就可以了。合成函数(lnabs)(x)的表示方相当于ln(abs(x)。 (lnabs)(x); ，注意其结果并没有加上积分常数，且ln函数内也没有加上绝对值符号。 e1:=Int(cot(x)+tan(x),x):%=value(%); 将ln代换成lnabs即可在ln函数内加上绝对值。 subs(ln=lnabs,%); 如不习惯lnabs的表示方式，用simplify指令也可以将它表示成标准的数学式。 simplify(%);习 题 9.1于习题112中，试计算积分。1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. (1) 试证。 (2) 试利用(a)的结果来计算。14. (1) 试证明 。(2) 试证明 。15. 试导出 16. 试导出 9.2 分部积分法分部积分法(integration by parts)系利用双重代换，把不易积分的数学式改写成较易积分的型式。分部积分法之公式可以由函数乘积的微分来导出，设，则由定理3.2.5可知 (9.2.1)两边对x积分，可得 (9.2.2)重新整理上式，可得不定积分之分部积分法的公式(9.2.3)而定积分的分部积分法之公式则可以写成(9.2.4)9.2.1 简单的分部积分法与Maple的intparts指令本节选择了几个典型的例题来介绍分部积分法的运用，以及Maple用来计算分部积分法的intparts指令，这些例题只需使用一次的分部积分法即可求得积分式。【例题9.2.1】 计算【解】参考(9.2.3)式，首先把改写成的型式，其中一个可能是令， 所以， (在计算时可省略积分时所产生的积分常数)因此(1)于是可藉由分部积分法来求得。有趣的是，如果选择另一种代换：， ， 由分部积分法可得(2)这个式子虽然完全正确，但却比原来的积分式更为复杂而不易积分。因此分部积分法成败的关键在于巧妙的选择与。 【例题9.2.2】 计算【解】利用代换式，选择，因此，所以，由(9.2.4)式可得(1)v为了方便计算与分析分部积分的用法，student链接库的intparts指令可以用来一步步的推算函数的分部积分。 intparts(Int(u*dv,x),u) 指定u，利用分部积分法积分 并回应 分部积分指令载入student链接库。 with(student):这是例题9.2.1的积分式。 expr:=Int(x*exp(x),x); 设定，并以分部积分法求积分值，得到。因可积分得，故此积分式可轻易求出。注意右边的结果即为例题9.2.1中的(1)式。 intparts(expr,x); 用value指令即可求得积分值。 value(%); 直接用int指令也可以得到相同的答案。 int(x*exp(x),x); 如果设，则由分部积分法可得。因为并不容易用纸笔来计算积分，所以对手算而言，选取并不是一个好的选择。 intparts(expr,exp(x); 然而对Maple而言就没差了！value指令还是可以求得此一积分值。 value(%); 于Maple里，分部积分的定积分求法与不定积分之解法相同，下面的计算是以例题9.2.2为范例来求定积分：这是例题9.2.2的定积分式。 expr:=Int(ln(x),x=1.2); 令，intparts可积得右式。注意右式与例题9.2.2的(1)式相同。 intparts(expr,ln(x); 最后，以value指令即可求得积分式的解。 expr:%=value(%); 9.2.2重复使用分部积分法某些积分式可能须要用到两次或两次以上的分部积分法，才能求得积分结果，本节将探讨这方面的积分式。【例题9.2.3】 计算【解】首先令，因此，(1)于上式中，积分式尚未求出，因此必须再用一次分部积分法。再令，因此(2)将(2)的积分结果代回(1)式，可得(3)本例也可用Maple的intparts指令来模仿上面的求解步骤：这是积分式。 expr:=Int(ln(x)2,x); 令，分部积分法可求得。注意此式与(1)式相同。 e1:=intparts(expr,ln(x)2); op(2,e1)可取得e1里的第二项，即。 op(2,e1); 令，对积分式再做一次分部积分，可得。 op(2,e1)=intparts(op(2,e1),ln(x); 将上面的结果代入e1，即可得的结果。 subs(%,e1); 最后以value指令解出，可得本题的积分结果。注意此式与(3)式相同。 expr=value(%); v【例题9.2.4】 计算【解】设， ， 因此(1)于(1)式中，的积分结果还保留了一个积分式。现在再尝试对此式再做一次分部积分。再令， ， 所以(2)将(2)式代入(1)式，可得(3)于(3)式中，等号两边均有，这也是本题中所欲求的积分式。把此项移到等号右边，经化简后，可得因此(4)相同的，Maple也可以用来推导积分式：定义积分式。 expr1:=Int(exp(x)*sin(x),x); 令，intparts积出右式，即本例题中的(1)式。 e1:=expr1=simplify(intparts( expr1,exp(x); 利用op(2,2,e1)将取出，并设它为expr2。 expr2:=op(2,2,e1); 再次的利用intparts指令来积分，所得的结果即为本例题中的(2)式。 e2:=expr2=intparts(expr2,exp(x); 将e2的方程式代入e1，即得本例中的(3)式。 subs(e2,e1); 最后，将移到等号左边，即可解得本题的解。注意右式与本例中的(4)式相同。 isolate(%,expr1); v利用分部积分法，有时可把次方较高的被积分式化简成较低次方的被积分式，例如， (9.2.5)其中。诸如(9.2.5)的积分式称为约化公式(reduction formula)，约化公式基本上是一个迭代的观念，亦即， 如此一直迭代，直到被完全积分为止。【例题9.2.5】 试导出的约化公式。【解】令，则，所以因此，的约化公式为(1)于是可以简单的由约化公式来算出，例如，()(2)()(3) ()(4)当然，用Maple也可以很容易的来验证这个结果：这是本例中的(3)式。 Int(ln(x)3,x):%=value(%); 这是本例中的(4)式。 Int(ln(x)3,x):%=value(%); 目前的数学运算软件，如Maple、Mathematica等多半不能计算约化公式，如果于Maple里想用int指令来求得约化公式，那么您可能要失望了：计算，但Maple并不会求出如(1)式之类的约化公式。 Int(ln(x)n,x):%=value(%); 虽然如此，还是可以利用Maple的符号运算功能，一步步求出的约化公式：定义。 expr:=Int(ln(x)n,x); value指令并无法求出的积分值。 value(expr); 利用intpart指令，设做分部积分，即可求得的约化公式，即本例中的(1)式。 expr=simplify(intparts(expr, ln(x)n); v尝试着以Maple来一步步的推导约化公式也是挺有趣的！于前几例中，都仅以Maple做基本的数学运算，因此，每一步骤相连的环节必须相当的清楚，且观念要清析，否则还不容易导出所要的数学式呢！下一个例题将以Maple来导出的约化公式。【例题9.2.6】 试以Maple导出 。【解】本题将仿照例题9.2.5的计算步骤来导出的约化公式。定义。 expr:=Int(sin(x)n,x); value指令并无法求出的积分值。现尝试以分部积分法解之。 value(expr); 令，intpart指令可解得右式。 expr=simplify(intparts(expr, sin(x)(n-1); 于上式中，intparts解得(1)(1)式中，等号右边的积分式含有项，利用恒等式可将(1)式中所有的项置换成以利积分：将项代换成，再将整个式子用expand指令展开，可得右式。 expand(subs(cos(x)2=1- sin(x)2,%); 把看成是一个变量，用isolate指令来解出上式中的，可得右式。 isolate(%,expr); 以expand指令展上式，得到右边的结果。注意于上式中，可将提出来化简数学式。 expand(%); 最后，以collect指令提出即可求得的约化公式。 collect(%,Int(sin(x)n/(sin(x)2), x); v本节最后再举一个例子来说明intparts指令的应用。假设欲求积分式 ：利用intparts来求解积分式。 Int(cos(x)3,x):%=intparts(I1, cos(x)2); 因为=，因此将上式的代换成，再将积分式展开。 lhs(%)=expand(subs(sin(x)2= 1-cos(x)2,rhs(%); 于上式中，等号的左右两边都有(这也就是本题所要求的积分式)。将它移到等式左边，即可解得此一积分。 isolate(%,Int(cos(x)3,x); 于上式中，仅剩未求值。利用value指令即可求得其积分值，因此也可解出。 lhs(%)=value(rhs(%); 最后，以int指令直接求解来验证所求解积分的步骤是否正确。读者可以比较一下右式的结果与上式的结果完全相同。 Int(cos(x)3,x):%=value(%); 习 题 9.2于习题112中，计算各积分式。1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 于习题1317中，利用分部积分法导出各约化公式。13. 14. 15. 16. 17. 18. (1) 试利用分部积分法来导出公式 。(2) 设，试利用(1)的结果来计算(3) 试以Maple来验证(1)与(2)所求得的结果。9.3 三角函数的乘幂积分本节主要讨论一些由三角函数所组成的函数之积分技巧，其中所要探讨的积分类型包括了下列四种类型：(1) ，(2) (3) ，(4) ，通常这几个类型的积分常会用到下列各恒等式：基本恒等式： (9.3.1) (9.3.2) (9.3.3)半角恒等式： (9.3.4) (9.3.5)如果您对这些恒等式的推导尚不熟悉，建议您参考本书的附录E来复习一下基本的三角函数，并试着推导出这些重要的恒等式。9.3.1第一类型 (，)第一类型积分式中的n为正数。基本上，这一类型的积分可以简单的由9.2节所介绍的约化公式导出，而另一个方法则是利用三角恒等式，把积分式拆解成更易积分的式子。【例题9.3.1】 求【解】 ( 利用恒等式 )(1)令，则，所以(2)(3)(4)接下来，再以Maple模拟上面的步骤来求解：载入student链接库。 with(student):定义。 expr:=Int(sin(x)3,x); 利用恒等式，algsubs指令可以把项分解成。注意右式与本例中的(1)式相同。读者应查看一下附录，看看algsubs指令与subs指令的不同之处。 algsubs(sin(x)2=1-cos(x)2,expr); 以来做变数变换积分，可得右式。右式的结果与(2)式相同。 changevar(u=cos(x),%,u); 求出上式的积分式，即可得本例中的(3)式。 value(%); 最后，将代回上式，即可求得本题的解，即(4)式。 subs(u=cos(x),%); 若以value直接求，可得右式。虽然右式与上式看起来并不相同，但仍可尝试着化简它使得二者的结果相同。 value(expr); 以simplify指令化简，则可得到相同的结果。 simplify(%); v【例题9.3.2】 求【解】 ( 利用恒等式 )(1)(2)令，则，所以(3)(4)因此(5)现在再尝试以Maple的符号运算功能，重新求解：载入student链接库。 with(student):定义。 expr:=Int(tan(x)5,x); 利用恒等式，algsubs指令可以把改写成。注意右式与本例中的(1)式相同。 algsubs(tan(x)2=sec(x)2-1,expr); 将上式展开，可得(2)式。于右式中，把展开的结果设给变量expr2。 expr2:=expand(%); op(1,expr2)可以取出expr2里的第1项。 op(1,expr2); 利用做变数变换，则可把expr2的第一项改写成右式。 e1:=changevar(u=sec(x), op(1,expr2),u); 相同的，利用做变数变换，也可把expr2的第二项改写成右式。 e2:=changevar(u=sec(x), op(2,expr2),u); 这是expr2的第三项。 e3:=op(3,expr2); 于是，整个积分式可改写成右式。于右式中，每一个积分均可由最基本的积分公式来求得。 e1+e2+e3; 用value指令可把上式中的积分值求出。 value(%); 最后，把代回上式，即可求得本题的积分值。注意右式与(5)式的结果相同。稍后将会用到这个积分结果，故于右式中，把它设给变数ans。 ans:=subs(u=sec(x),%); 有趣的是，如果直接计算，Maple会输出不同的答案：用value计算，得到右式，但这个结果与ans并不相同。 sol:=value(expr); 尝试着把这两个结果相减再化简，其结果为一x的函数。 simplify(ans-sol); 如果积分值ans与sol相等，则(6)应为常数，但(6)式并不是！为何Maple会积出不同的答案?想看看，为什么？v9.3.2第二类型 ()此类型的积分与m和n为奇数或偶数有关。其代换的规则简述如下：若m为奇数，则令做代换。若n为奇数，则令做代换。若m与n皆为偶数，则可利用半角恒等式(请参阅附录E)与来化简为sin与cos的乘幂。【例题9.3.3】 求【解】因m为奇数，所以设 ，则读者可尝试看看，是否能用Maple导出与本例相同的结果。 v【例题9.3.4】 求【解】因m与n皆为偶数，故可利用半角恒等式来化简sin与cos的乘幂。(1)(2)(3)接下来，再令， ，因此可积分得所以(4)Maple的推导过程与上面的步骤大致相同，但需要用到一些小技巧：载入student链接库。 with(student):定义。 expr:=Int(sin(x)4*cos(x)2,x); 设定变量rule1为半角公式。 rule1:=sin(x)2=(1-cos(2*x)/2; 设定变量rule2为半角公式。 rule2:=cos(x)2=(1+cos(2*x)/2; 将rule1代入expr，可得右式。 algsubs(rule1,expr); 再将rule2代入上式，得到右式。 algsubs(rule2,%); 取出上式里的被积分式，再将它展开，可得右式，而此式即为(2)式的被积分式。 expand(integrand(%),cos(2*x); 注意于上式中，expand指令有两个自变量，第一个自变量为欲展开的数学式，而第二个自变量则告诉expand指令把当成单一变数展开，否则也会一起被展开成。再利用一次半角公式，把上式展开成右式。 subs(cos(2*x)2=(1+cos(4*x)/2,%); 于上式中，可以用恒等式来拆解，将上式改写成右式。 expr2:=algsubs(cos(2*x)2= 1-sin(2*x)2,%); 把积分指令Int映像(用map指令)到上式的每一项内，得到右式。注意上式与(3)式相同。 map(Int,expr2,x); 上式的第一个积分式可简单的用变量变换来积分，而第二与第三个积分式均是最基本的积分式，因可确定此积分式可以很容易的积出：最后，用value指令可解得本题的积分值。注意此积分结果与(4)式相同。 ans:=value(%); 如果直接以Maple求解，则得到与上式不同的答案。事实上，若把此式化简，或者是用expand指令把上式展开，均可得到相同的结果。 value(expr); v9.3.3第三类型 (，)此类型的积分与第二类型的代换法颇为相似，以积分式而言，其代换法亦与m、n为奇数或偶数有关。其代换的规则如下：若m为奇数，则令做代换。若n为偶数，则令做代换。若m为偶数且n为奇数，则可将积分式改写成的乘幂。【例题9.3.5】 求【解】因n为偶数，故设 ，则，所以(1)(2)(3)下列的Maple运算系模仿上面的步骤来求解本题的积分。载入student链接库。 with(student):定义。 expr:=Int(tan(x)4*sec(x)4,x); 把技巧性的改写成，并以此式来做代换，可得与(1)式相同的结果。 subs(sec(x)4=(1+tan(x)2)* sec(x)2,expr); 用integrand取出被积分式。 integrand(%); 将被积分式展开。 expand(%); 重新定义积分式。 expr2:=Int(%,x); 现在，用expand指令将积分式展开，可得与(2)式相同的式子。 expand(expr2); 利用做变数变换，可得右式。 changevar(u=tan(x),%,u); 这是上式的积分值。 value(%); 最后，把代回上式，即可得本题的积分值，即(3)式。 ans:=subs(u=tan(x),%); 如果直接以Maple来求解积分式，却得到与上式不同的答案。 sol:=value(expr); 事实上，若把上式的结果(sol)与一步步推导所得的结果(ans)相减，然后再以simplify指令化简，其结果为零，故可知这两个结果是相等的，其间的差异仅是数学表示式的写法不同罢了。 simplify(ans-sol); v【例题9.3.6】 求【解】因且，故我们依循本类型的第三个法则，亦即将积分式化成csc的乘幂。由csc的约化公式可知 (见9.2节习题)所以因此v9.3.4第四类型 (，)这类型的积分常见于工程数学的计算，如电流交替的方析、傅利叶级数之计算等等。要计算此类型的积分，必须用到一些积化和差的公式，亦即 (9.3.6) (9.3.7) (9.3.8)【例题9.3.7】 求【解】( 利用恒等式 (9.3.6) ) v习 题 9.3于习题19中，计算各积分式。1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 若m与n为正整数，试证11. 若m与n为正整数，试证9.4. 三角代换积分法若积分式含有、与等型式的数学式，其中，则可以巧妙的利用三角代换法来消去根号，把积分式化成较容易积分的式子。例如，若积分式含有项，令，则可改写成 (因于区间内，)如此便可去掉根号，而区间的限定则可去掉绝对值符号。与也可依据相同的原里，下表为这几种代换法的整理。根式代换法代换后之化简几何图形说明，表9.4.1 三角代换法【例题9.4.1】 试求【解】令，来做代换，则 ，且，因此(1)(2)圖9.4.1 因 ，所以可由图9.4.1得到事实上，上面与的关系式亦可由图9.4.1看出。将与代入(2)式，即可求得(3)接下来，再尝试以Maple来一步步的求积分式：载入student链接库。 with(student):这是积分式。 expr:=Int(sqrt(4-x2),x); 令，把代换成右式。 changevar(x=2*sin(t),expr,t); 利用恒等式，可把上式改写成右式。 a1:=algsubs(sin(t)2+cos(t)2=1,%); 注意于上式中含有项，因为限定了，所以，故可化简为。因此积分式可改写为(4)现尝试以simplify指令来化简之：用simplify来化简积分式，但所得到结果的并不是所想要的式子。 simplify(a1); 因simplify并不知道使用者已限定了条件，因此它把化简成其中csgn为Maple的内建函数，其定义为因于区间内之，故，所以此式与(4)的结果相同。事实上，有一个更简单的方法来处理的化简问题。若希望把数学式化简成x，而不管x的正负时，则可以在simplify指令加入第二个自变量symbolic。亦即simplify(sqrt(x2),symbolic)可以把化简成x。用simplify加入symbolic自变量来化简积分式a1，可得右式。读者可以注意到右式与(4)式相同。 simplify(a1,symbolic); 9.2节已介绍过的积分，右式中直接以value指令来积出其值，而其结果即为本例中的(2)式。 val:=value(%); 解出。 solve(x=2*sin(t),t); 将代入积分结果val，可得右式。 expr=subs(t=arcsin(1/2*x),val); 最后，将上式化简，即可得到与(3)式相同的结果。 simplify(%); v【例题9.4.2】 试求【解】若令，则 ，并且圖9.4.2 ，因此(1)(2)由图9.4.2中可知，所以(3)用Maple也可以一步步的求解本例的积分式：载入student链接库。 with(student):定义。 expr:=Int(1/(x*sqrt(5+x2),x); 令，把积分式expr代换成右式。 changevar(x=sqrt(5)*tan(t),expr,t); 利用恒等式，可把上式改写成右式。 algsubs(tan(t)2+1=sec(t)2,%); 与例题9.4.1相同的方法，用simplify加入symbolic自变量来化简积分式，可得右式。读者可以注意到右式与(1)式相同。 simplify(%,symbolic); 因，其积分已于9.1节探讨过，故直接以value指令来求解其积分值，并把其结果设给变量a1。 a1:=value(%); solve解出。 solve(x=sqrt(5)*tan(t),t); 最后，将代回a1，并化简之，即可求得本题的解。 simplify(subs(%,a1); 虽然以Maple推导的结果与(3)式看起来并不相同，但利用简单的代数运算便可把(3)式化简成与上式相同的式子：假设，由(3)式可得( 去掉绝对值符号 )( 分子与分母同乘 )( )( )如此便可验证Maple的推导过程是正确的。最后，再利用value指令直接计算积分式：value指令直接计算积分式，但结果与(3)式并不相同。 value(expr); 虽然上式的计算结果与(3)式并不相同，但并不难证明它们是相等的。在此把这个证明留做习题。v【例题9.4.3】 试求【解】令代换式，则 ，并且圖9.4.3 于是(1)因且由图9.4.3的几何关系可知 ，将此二式代入(1)式，可得 (2)v习 题 9.4于习题19中，求各积分式。1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 试分别以(a)三角代换法，(b)代换式来积分并证明这两个结果是相等的。11. 于y轴上方，半径为a的圆方程式为，而积分式则代表了半圆的面积。试证明12. (1) 试于Maple里验证(2) 于例题9.4.2里已知，试证 9.5 含二次项的积分如果一分式的分母含有等项，且可以因式分解，则可以把它化成部份分式(partial fraction)，然后再逐项积分。如果无法因式分解，则可以用配方法把二次项配成完全平方项再加上一常数，亦即 (9.5.1)于是，如果令 (9.5.2)则可将二次项代换成较简单的形式 (9.5.3)此处。【例题9.5.1】 计算 【解】利用配方法，可配方成(1)于是 (令，则)v【例题9.5.2】 计算 【解】利用配方法，可配方成于是 (令，则)若令，则，于是圖9.5.1 (1)有趣的是，若直接以Maple积分，则得到不同的答案：直接积分之后，与(1)式相比，可发现右式积分的结果于ln函数内少了分母。 Int(1/sqrt(x2+2*x-7),x):%=value(%); ln函数内的跑哪去了呢？是否为Maple的bug呢？试说说您的看法。 v于Maple符号运算的世界里，配方法的运算经常是少不了的。student链接库里的completesquare指令可以做配方处理，亦即把二次项配成一完全平方项与一常数之和。completesquare(f,x)把二次项配成完全平方项再加上一常数配方指令载入student链接库。 with(student):completesquare可以将一个二次多项式配成完全平方项再加上一常数。注意右式与(9.5.1)式相同。 completesquare(a*x2+b*x+c,x); completesquare也可以将分母为二次多项式的分式配方。 completesquare(6*x/(x2+2*x+12),x); 下面的范例系以student链接库里的completesquare指令配合变量变换积分法，来求解积分式 。这是积分式。 expr:=Int(x/(x2-4*x+8),x); 利用completesquare指令来做配方，读者可发现分母已被配成一完全平方项加上一常数4。 completesquare(integrand(expr); 令，利用变量变换指令changevar即可将积分式代换成。 simplify(changevar(x-2=u,expr); 将上式展开，可得到两个独立且简单的积分式。 expand(%); 利用value指令即可对上式求值。 value(%); 最后，将u代换成即可得积分结果。 changevar(u=x-2,%); 利用int指令来积分原式，结果与上式相同，故可验证求解过程的正确性。 int(x/(x2-4*x+8),x); 习 题 9.5于习题19中，计算各积分式。1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 9.6 有理函数的积分法二个多项式所组成的分式称为有理函数(rational function)，例如， 与 等函数皆属有理分式。于有理分式中，若分子的次方小于分母的次方，则此有理分式称为真有理分式(proper rational function)，反之则称为假有理分式(improper rational function)。如前例中的与皆为真有理分式，而则为假有理分式。通常，假有理分式可利用长除法把它表示为多项式与真有理分式之和。例如，而上式的计算可由长除法求得。如果有理函数为一假有理分式，则必需把它化成一多项式加上一真有理分式，然后再各别积分之。下面的范例说明了这个技巧。【例题9.6.1】试求 【解】由长除法可得于是此外因此 (1)于Maple里也可以很容易的验证这个结果：计算，得到与(1)式相同的结果。 Int(x5+3)/(x2-2*x+2),x):%=value(%); v事实上，并非所有的有理函数均能像例题9.6.1般的容易积分，有时尚需用到一些小技巧才能化简成可积分的式子，其中一个重要的技巧便是部份分式(partial fraction)的拆解。如果有理函数可以拆解成数个分式的和，这些分式即称为这个有理函数的部份分式。例如，有理函数可以拆解成(试验证之!)因此与即为的部份分式。有了上述的概念之后，便可依循下列的步骤来求解有理函数的积分：步骤1：若有理函数为一假有理函数，则把它化成一多项式加上一真有理分式。步骤2：把分母分解成一次线性因式与不可约分之二次因式之乘积。步骤3：若因式为型式，则把部份分式拆解为 (9.6.1)步骤4：若因式为型式，则把部份分式拆解为 (9.6.2)步骤5：令等于步骤3与步骤4中所求出各项之和，并解出所有的待定系数与。步骤6：最后依序逐项积分。【例题9.6.2】试求 【解】因为被积分函数为真有理函数，且其分母可因式分解成因此，部份分式可拆解成(1)其中A、B与C均为待定系数。把等号右边的部份分式通分可得(2)(2)式为一恒等式，故等号左右两边的分母相等，所以其分子也必须相等，因此 (3)由比较系数法可知因此可解得，与于是得到(4)因此(5)(6)有理函数的积分过程颇为烦琐，但用Maple则可在不到一秒钟的时间内计算出正确的答案：用Maple也可积出相同的答案。 Int(4*x2+13*x-9)/(x3+2*x2-3*x), x):%=