高中数学 第三章 导数及其应用 3_3_3 导数的实际应用课件 新人教b版选修1-1

第三章 导数及其应用 3 3 3导数的实际应用 学习目标 1 能利用导数解决实际问题 2 提高综合运用导数知识解题的能力 培养化归与转化的意识 1 预习导学挑战自我 点点落实 2 课堂讲义重点难点 个个击破 3 当堂检测当堂训练 体验成功 知识链接 答 设一个正数为x 则另一个正数为c x 两数之积为f x x c x cx x2 0 x c f x c 2x 令f x 0 预习导引 1 生活中经常遇到求利润最大 用料最省 效率最高等问题 这些问题通常称为 2 利用导数解决优化问题的实质是 优化问题 求函数最值 3 解决优化问题的基本思路是 上述解决优化问题的过程是一个典型的过程 数学建模 要点一用料最省问题 例1有甲 乙两个工厂 甲厂位于一直线河岸的岸边A处 乙厂与甲厂在河的同侧 乙厂位于离河岸40千米的B处 乙厂到河岸的垂足D与A相距50千米 两厂要在此岸边合建一个供水站C 从供水站到甲厂和乙厂的水管费用分别为每千米3a元和5a元 问供水站C建在岸边何处才能使水管费用最省 令y 0 解得x 30或x 30 舍去 在 0 50 上 y只有一个极值点 根据问题的实际意义 函数在x 30处取得最小值 此时AC 50 x 20 千米 供水站建在A D之间距甲厂20千米处 可使水管费用最省 规律方法用料最省问题是日常生活中常见的问题之一 解决这类问题要明确自变量的意义以及最值问题所研究的对象 正确书写函数表达式 准确求导 结合实际作答 跟踪演练1一艘轮船在航行中每小时的燃料费和它的速度的立方成正比 已知速度为每小时10海里时 燃料费是每小时6元 而其他与速度无关的费用是每小时96元 问轮船的速度是多少时 航行1海里所需的费用总和最小 解设速度为每小时v海里的燃料费是每小时p元 那么由题设的比例关系得p k v3 其中k为比例系数 于是有p 0 006v3 又设当船的速度为每小时v海里时 行1海里所需的总费用为q元 那么每小时所需的总费用是0 006v3 96 元 而航行1海里所需时间为小时 所以 航行1海里的总费用为 令q 0 解得v 20 当v20时 q 0 当v 20时取得最小值 即速度为20海里 时时 航行1海里所需费用总和最小 要点二面积 容积的最值问题例2如图 要设计一张矩形广告 该广告含有大小相等的左右两个矩形栏目 即图中阴影部分 这两栏的面积之和为18000cm2 四周空白的宽度为10cm 两栏之间的中缝空白的宽度为5cm 怎样确定广告的高与宽的尺寸 单位 cm 能使矩形广告面积最小 解设广告的高和宽分别为xcm ycm 其中x 20 y 25 令S 0得x 140 令S 0得20 x 140 函数在 140 上单调递增 在 20 140 上单调递减 S x 的最小值为S 140 当x 140时 y 175 即当x 140 y 175时 S取得最小值24500 故当广告的高为140cm 宽为175cm时 可使广告的面积最小 规律方法 1 解决面积 容积的最值问题 要正确引入变量 将面积或容积表示为变量的函数 结合实际问题的定义域 利用导数求解函数的最值 2 利用导数解决生活中优化问题的一般步骤 找关系 分析实际问题中各量之间的关系 列模型 列出实际问题的数学模型 写关系 写出实际问题中变量之间的函数关系y f x 求导 求函数的导数f x 解方程f x 0 比较 比较函数在区间端点和使f x 0的点的函数值的大小 最大 小 者为最大 小 值 结论 根据比较值写出答案 跟踪演练2圆柱形金属饮料罐的容积一定时 它的高与底面半径应怎样选取 才能使所用的材料最省 解如图 设圆柱的高为h 底半径为R 则表面积S 2 Rh 2 R2 即h 2R 因为S R 只有一个极值 所以它是最小值 所以 当罐的高与底直径相等时 所用材料最省 要点三成本最省 利润最大问题例3甲 乙两地相距s千米 汽车从甲地匀速行驶到乙地 速度不得超过c千米 时 已知汽车每小时的运输成本 以元为单位 由可变部分和固定部分组成 可变部分与速度v千米 时的平方成正比 比例系数为b b 0 固定部分为a元 1 把全程运输成本y 元 表示为速度v 千米 时 的函数 并指出这个函数的定义域 2 为了使全程运输成本最小 汽车应以多大速度行驶 此时y 0 即y在 0 c 上为减函数 所以当v c时 y最小 综上可知 为使全程运输成本y最小 规律方法正确理解题意 建立数学模型 利用导数求解是解题的主要思路 另外需注意 合理选择变量 正确给出函数关系式 与实际问题相联系 必要时注意分类讨论思想的应用 求得唯一的极值点q 84 所以产量为84时 利润L最大 1 2 3 4 1 2 3 4 解析原油温度的瞬时变化率为f x x2 2x x 1 2 1 0 x 5 所以当x 1时 原油温度的瞬时变化率取得最小值 1 答案C 2 设底为等边三角形的直三棱柱的体积为V 那么其表面积最小时底面边长为 1 2 3 4 1 2 3 4 答案C 1 2 3 4 3 在边长为60cm的正方形铁皮的四角切去相等的正方形 再把它沿虚线折起 做成一个无盖的方底箱子 箱底边长为多少时 箱子容积最大 最大容积是多少 1 2 3 4 解得x 0 不合题意 舍去 或x 40 1 2 3 4 因为x 0 40 时V x 0 V x 是增函数 x 40 60 时V x 0 V x 是减函数 所以x 40时V x 取极大值 也是最大值 并求得V 40 16000 即当底面边长为40cm时 箱子容积最大 最大容积是16000cm3 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 令h x 0 得x 80 因为x 0 80 时 h x 0 h x 是增函数 所以当x 80时 h x 取得极小值h 80 11 25 升 因为h x 在 0 120 上只有一个极小值 所以它是最小值 即汽车以80千米 时匀速行驶时 从甲地