高中数学 第二单元 平面向量 2_2_1 平面向量基本定理课件 新人教b版必修4

2 2 1平面向量基本定理 第二章 2 2向量的分解与向量的坐标运算 学习目标1 理解平面向量基本定理的内容 了解向量的一组基底的含义 2 在平面内 当一组基底选定后 会用这组基底来表示其他向量 3 会应用平面向量基本定理解决有关平面向量的综合问题 题型探究 问题导学 内容索引 当堂训练 问题导学 思考1 知识点一平面向量基本定理 如果e1 e2是两个不共线的确定向量 那么与e1 e2在同一平面内的任一向量a能否用e1 e2表示 依据是什么 答案 答案能 依据是数乘向量和平行四边形法则 思考2 如果e1 e2是共线向量 那么向量a能否用e1 e2表示 为什么 答案不一定 当a与e1共线时可以表示 否则不能表示 思考3 若存在 1 2 R 1 2 R 且a 1e1 2e2 a 1e1 2e2 那么 1 1 2 2有何关系 答案 答案由已知得 1e1 2e2 1e1 2e2 即 1 1 e1 2 2 e2 e1与e2不共线 1 1 0 2 2 0 1 1 2 2 1 平面向量基本定理如果e1 e2是同一平面内的两个向量 那么该平面内的向量a 存在唯一的一对实数a1 a2 使a 2 基底把向量e1 e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底 记为 e1 e2 a1e1 a2e2叫做向量a关于基底 e1 e2 的分解式 梳理 不平行 任一 a1e1 a2e2 不共线 思考1 知识点二直线的向量参数方程式 什么是直线的向量参数方程 答案 答案若P在直线AB上 或P A B共线 则一定存在实数t 使得 思考2 直线的向量参数方程式有什么用途 答案利用直线的向量参数方程可证明三点共线 1 直线的向量参数方程式已知A B是直线l上任意两点 O是l外一点 如图所示 对直线l上一点P 存在唯一的实数t满足向量等式 反之 对每一个实数t 在直线l上都有的一个点P与之对应 向量等式 叫做直线l的向量参数方程式 其中实数t叫做参变数 简称 梳理 任意 唯一 参数 题型探究 类型一对基底概念的理解 例1如果e1 e2是平面 内两个不共线的向量 那么下列说法中不正确的是 e1 e2 R 可以表示平面 内的所有向量 对于平面 内任一向量a 使a e1 e2的实数对 有无穷多个 若向量 1e1 1e2与 2e1 2e2共线 则有且只有一个实数 使得 1e1 1e2 2e1 2e2 若存在实数 使得 e1 e2 0 则 0 A B C D 答案 解析 解析由平面向量基本定理可知 正确 对于 由平面向量基本定理可知 一旦一个平面的基底确定 那么任意一个向量在此基底下的实数对是唯一的 对于 当两向量的系数均为零 即 1 2 1 2 0时 这样的 有无数个 故选B 反思与感悟 考查两个向量是否能构成基底 主要看两向量是否非零且不共线 此外 一个平面的基底一旦确定 那么平面上任意一个向量都可以由这个基底唯一线性表示出来 跟踪训练1若e1 e2是平面内的一组基底 则下列四组向量能作为平面向量的基底的是A e1 e2 e2 e1B 2e1 e2 e1 e2C 2e2 3e1 6e1 4e2D e1 e2 e1 e2 解析选项A中 两个向量为相反向量 即e1 e2 e2 e1 则e1 e2 e2 e1为共线向量 选项B中 2e1 e2 2 e1 e2 为共线向量 选项C中 6e1 4e2 2 2e2 3e1 为共线向量 根据不共线的向量可以作为基底 只有选项D符合 答案 解析 类型二平面向量基本定理的应用 解答 例2如图所示 在 ABCD中 E F分别是BC DC边上的中点 解 四边形ABCD是平行四边形 E F分别是BC DC边上的中点 引申探究 解答 解取CF的中点G 连接EG E G分别为BC CF的中点 反思与感悟 将不共线的向量作为基底表示其他向量的方法有两种 一种是利用向量的线性运算及法则对所求向量不断转化 直至能用基底表示为止 另一种是列向量方程组 利用基底表示向量的唯一性求解 解答 a b不共线 当堂训练 1 下列关于基底的说法正确的是 平面内不共线的任意两个向量都可作为一组基底 基底中的向量可以是零向量 平面内的基底一旦确定 该平面内的向量关于基底的线性分解形式也是唯一确定的 A B C D 解析零向量与任意向量共线 故零向量不能作为基底中的向量 故 错 正确 答案 2 3 4 5 1 解析 答案 解析 2 3 4 5 1 3 已知向量e1 e2不共线 实数x y满足 2x 3y e1 3x 4y e2 6e1 3e2 则x y 答案 解析 15 2 3 4 5 1 12 解析 向量e1 e2不共线 2 3 4 5 1 a b 2a c 答案 解析 再由三角形法则和平行四边形法则即可得到 解答 2 3 4 5 1 2 3 4 5 1 解连接FD DC AB AB 2CD E F分别是DC AB的中点 DC綊FB 四边形DCBF为平行四边形 规律与方法 1 对基底的理解 1 基底的特征基底具备两个主要特征 基底是两个不共线向量 基底的选择是不唯一的 平面内两向量不共线是这两个向量可以作为这个平面内所有向量的一组基底的条件 2 零向量与任意向量共线 故不能作为基底 2 准确理解平面向量基本定理 1 平面向量基本定理的实质是向量的分解