高中数学第一章常用逻辑用语2充分条件与必要条件课件北师大版选修2_1

第一章常用逻辑用语 2充分条件与必要条件 学习目标1 理解充分条件 必要条件 充要条件的定义 2 会求某些简单问题成立的充分条件 必要条件 充要条件 3 能够利用命题之间的关系判定充要关系或进行充要条件的证明 题型探究 问题导学 内容索引 当堂训练 问题导学 知识点一充分条件与必要条件 若p 则q 形式的命题为真命题是指 由条件p可以得到结论q 通常记作 p q 读作 p推出q 此时我们称p是q的条件 同时 我们称q是p的条件 若p q 但q p 称p是q的条件 若q p 但p q 称p是q的条件 充分 必要 充分不必要 必要不充分 思考 知识点二充要条件 在 ABC中 角A B C为它的三个内角 则 A B C成等差数列 是 B 60 的什么条件 因为A B C成等差数列 故2B A C 又因为A B C 180 故B 60 反之 亦成立 故 A B C成等差数列 是 B 60 的充分必要条件 答案 梳理 1 一般地 如果既有p q 又有q p 就记作p q 此时 我们说 p是q的条件 简称充要条件 2 充要条件的实质是原命题 若p 则q 和其逆命题 若q 则p 均为真命题 如果p是q的充要条件 那么q也是p的充要条件 即如果p q 那么p与q互为充要条件 充分必要 3 从集合的角度判断充分条件 必要条件和充要条件 其中p A x p x 成立 q B x q x 成立 题型探究 命题角度1在常见数学问题中的判断例1下列各题中 p是q的什么条件 1 p a b 0 q a2 b2 0 解答 类型一判断充分条件 必要条件 充要条件 a b 0 a2 b2 0 a2 b2 0 a b 0 p是q的必要不充分条件 2 p 四边形的对角线相等 q 四边形是矩形 解答 四边形的对角线相等 四边形是矩形 四边形是矩形 四边形的对角线相等 p是q的必要不充分条件 解答 4 p m 1 q x2 x m 0无实根 解答 若方程x2 x m 0无实根 则 1 4m 0 p是q的充分不必要条件 5 p ab 0 q 直线ax by c 0与两坐标轴都相交 解答 由ab 0 即a 0且b 0 此时直线ax by c 0与两坐标轴都相交 又当ax by c 0与两坐标轴都相交时 a 0且b 0 即ab 0 故p是q的充要条件 判断充分条件和必要条件的方法 1 定义法 2 等价命题法 原命题与其逆否命题是 同真同假 的等价命题 这一点在充要条件的判断中经常用到 3 集合法 P是Q的充分不必要条件 集合P Q P是Q的必要不充分条件 集合PQ P是Q的充要条件 集合P Q P是Q的既不充分也不必要条件 集合PQ 且P Q 4 传递法 对于较复杂的关系 常用 等符号进行传递 画出它们的综合结构图 可降低解题难度 反思与感悟 跟踪训练1指出下列各题中 p是q的什么条件 1 p ax2 ax 1 0的解集是R q 0 a 4 解答 当a 0时 1 0满足题意 故p是q的必要不充分条件 易知p 1 x 5 q 1 x 5 所以p是q的充要条件 解答 3 p A B A q A B B 解答 因为A B A A B B 所以p是q的充要条件 所以q p 所以p是q的充分不必要条件 解答 命题角度2在实际问题中的判断例2如图所示的电路图中 闭合开关A 是 灯泡B亮 的什么条件 解答 如图 1 闭合开关A或者闭合开关C都可能使灯泡B亮 反之 若要灯泡B亮 不一定非要闭合开关A 因此 闭合开关A 是 灯泡B亮 的充分不必要条件 如图 2 闭合开关A而不闭合开关C 灯泡B不亮 反之 若要灯泡B亮 则开关A必须闭合 说明 闭合开关A 是 灯泡B亮 的必要不充分条件 如图 3 闭合开关A可使灯泡B亮 而灯泡B亮 开关A一定是闭合的 因此 闭合开关A 是 灯泡B亮 的充要条件 如图 4 闭合开关A但不闭合开关C 灯泡B不亮 反之 灯泡B亮也可不必闭合开关A 只要闭合开关C即可 说明 闭合开关A 是 灯泡B亮 的既不充分又不必要条件 充分 的含义是 有它即可 必要 的含义是 无它不可 用日常生活中的现象来说明 条件 和 结论 之间的关系 更容易理解和接受 用 条件 和 结论 之间的关系来解释生活中的现象 更加明白 透彻 反思与感悟 跟踪训练2俗语云 好人有好报 好人 是 有好报 的A 充分条件B 必要条件C 既不充分又不必要条件D 无法判断 答案 解析 结合该俗语的文化背景 易得选项A符合人们的认识实际 命题角度1充要条件的探求例3求ax2 2x 1 0至少有一个负实根的充要条件是什么 类型二充要条件的探求与证明 解答 1 当a 0时 原方程变为2x 1 0 即x 符合要求 2 当a 0时 ax2 2x 1 0为一元二次方程 它有实根的充要条件是 0 即4 4a 0 a 1 综上所述 ax2 2x 1 0至少有一个负实根的充要条件是a 1 探求一个命题的充要条件 可以利用定义法进行探求 即分别证明 条件 结论 和 结论 条件 也可以寻求结论的等价命题 还可以先寻求结论成立的必要条件 再证明它也是其充分条件 反思与感悟 跟踪训练3已知数列 an 的前n项和Sn n 1 2 t t为常数 试问t 1是否为数列 an 是等差数列的充要条件 请说明理由 解答 是充要条件 充分性 当t 1时 Sn n 1 2 1 n2 2n a1 S1 3 当n 2时 an Sn Sn 1 2n 1 又a1 3适合上式 an 2n 1 n N 又 an 1 an 2 常数 数列 an 是以3为首项 2为公差的等差数列 故t 1是 an 为等差数列的充分条件 必要性 an 为等差数列 则2a2 a1 a3 解得t 1 故t 1是 an 为等差数列的必要条件 综上 t 1是数列 an 为等差数列的充要条件 命题角度2充要条件的证明 证明 点P在直线AB上 即点P在直线l上 证明充要条件时要从充分性和必要性两个方面分别证明 首先分清哪个是条件 哪个是结论 然后确定推出方向 即充分性需要证明 条件 结论 必要性需要证明 结论 条件 反思与感悟 跟踪训练4已知ab 0 求证 a b 1是a3 b3 ab a2 b2 0的充要条件 证明 充分性 a b 1 b 1 a a3 b3 ab a2 b2 a3 1 a 3 a 1 a a2 1 a 2 a3 1 3a 3a2 a3 a a2 a2 1 2a a2 0 即a3 b3 ab a2 b2 0 必要性 a3 b3 ab a2 b2 0 a b a2 ab b2 a2 ab b2 0 a2 ab b2 a b 1 0 ab 0 a 0且b 0 a2 ab b2 0 a b 1 0 a b 1 综上可知 当ab 0时 a b 1是a3 b3 ab a2 b2 0的充要条件 类型三利用充分条件 必要条件求参数的值 或范围 1 求A 要使f x 有意义 则3 x 2 2 x 0 化简整理得 x 1 x 1 0 解得x 1或x 1 A x x 1或x 1 解答 2 记p x A q x B 若p是q的必要不充分条件 求实数a的取值范围 要使g x 有意义 则 x a 1 2a x 0 即 x a 1 x 2a 2a B x 2a x a 1 p是q的必要不充分条件 B A 2a 1或a 1 1 解答 在有些含参数的充要条件问题中 要注意将条件p和q转化为集合 从而转化为两集合之间的子集关系 再转化为不等式 或方程 从而求得参数的取值范围 根据充分条件或必要条件求参数范围的步骤 1 记集合M x p x N x q x 2 若p是q的充分不必要条件 则M N 若p是q的必要不充分条件 则N M 若p是q的充要条件 则M N 3 根据集合的关系列不等式 组 4 求出参数的范围 反思与感悟 答案 解析 则m的取值范围为 当堂训练 2 3 4 5 1 1 人们常说 无功不受禄 这句话表明 受禄 是 有功 的A 充分条件B 必要条件C 充要条件D 既不充分又不必要条件 无功不受禄可写为命题 若无功 则不受禄 逆否命题为 若受禄 则有功 显然 受禄 是 有功 的充分条件 答案 解析 2 设命题p x2 3x 2 0 q 0 则p是q的A 充分不必要条件B 必要不充分条件C 充要条件D 既不充分又不必要条件 命题p 1 x 2 命题q 1 x 2 故p是q的充分不必要条件 答案 解析 2 3 4 5 1 2 3 4 5 1 3 x2 4x 5 0 是 x 5 的A 充分不必要条件B 必要不充分条件C 充要条件D 既不充分又不必要条件 根据方程得x2 4x 5 0 解得x 1或x 5 故 x2 4x 5 0 是 x 5 的必要不充分条件 故选B 答案 解析 2 3 4 5 1 4 记不等式x2 x 6 0的解集为集合A 函数y lg x a 的定义域为集合B 若 x A 是 x B 的充分条件 则实数a的取值范围为 由于A x x2 x 6a 而 x A 是 x B 的充分条件 则有A B 则有a 3 答案 解析 3 5 a 0 是 直线l1 x 2ay 1 0与l2 2x 2ay 1 0平行 的 条件 充要 答案 解析 2 3 4 5 1 1 a 0 l1 x 1 0 l2 2x 1 0 l1 l2 即a 0 l1 l2 2 若l1 l2 当a 0时 当a 0时 l1 x 1 0 l2 2x 1 0 显然l1 l2 a 0是直线l1与l2平行