2018届高中数学第二章圆锥曲线与方程2.1.2由曲线求它的方程、由方程研究曲线的性质课件5.pptx

2 1 2由曲线求它的方程 一 已知曲线求方程1 求轨迹方程的一般步骤 1 建系 建立适当的坐标系 用有序实数对 x y 表示曲线上任意一点M的坐标 2 列式 写出适合条件P的点M的集合P M P M 3 代换 用坐标表示条件P M 列出方程f x y 0 4 化简 化方程f x y 0为最简形式 5 证明 说明以化简后方程的解为坐标的点都在曲线上 可简记为 建系 列式 代换 化简 证明 注意 1 求曲线方程以前 必须确定问题中的坐标系是否建立 若未建立 应先建系 建系是求曲线方程基础的一步 要根据几何关系适当建系 目的是简化求解过程且使曲线方程的形式简单 2 根据题目中的几何关系列出曲线上的点满足的坐标关系是关键一步 在这里常用到一些公式 如两点间距离公式 点到直线的距离公式 直线的斜率公式等 在化简过程中要保持等价变换 最后化为最简的方程形式 3 求曲线方程时步骤中的 2 5 两步一般可以省略 但应注意某些点的坐标是否适合方程 即要把多余的点剔除 将遗漏的点补上 4 求轨迹需要说明曲线类型 求轨迹方程则不必说明曲线类型 2 建立坐标系的基本原则 1 让尽量多的点落在坐标轴上 2 尽可能地利用图形的对称性 使对称轴为坐标轴 建立适当的坐标系是求曲线方程的首要一步 应充分利用图形的几何性质 如中心对称图形 可利用对称中心为原点建系 轴对称图形可利用对称轴为坐标轴建系 条件中有直角 可将两直角边作为坐标轴建系等 注意 坐标系选取的适当 可使运算过程简化 所得方程也较简单 否则 若坐标系选取不当 则会增加运算的繁杂程度 直接法求曲线方程 方法总结 轨迹方程 与 轨迹 的辨析 已知点M到x轴的距离等于到y轴的距离的2倍 求点M的轨迹方程 解析 设动点M的坐标为 x y 则点M到x轴 y轴的距离分别为 y x 由题意知 y 2 x 整理得y 2x 所以点M的轨迹方程为y 2x 用代入法或参数法求曲线方程 已知 ABC中 A 2 0 B 0 2 第三个顶点C在曲线y 3x2 1上移动 求 ABC重心的轨迹方程 思路分析 重心坐标可直接设为 x y 重心的变化是由顶点C的变化引起的 故只需找到两者之间的关系即可 即 x1 3x 2 y1 3y 2 又 x1 y1 在曲线y 3x2 1上 即有y1 3x 1 代入x1 y1 得 3y 2 3 3x 2 2 1 化简得 y 9x2 12x 3即为所求轨迹方程 方法总结 当已知某个动点在已知曲线上移动 而引起另一个动点的变化时 在求另一个动点满足的轨迹方程时 常用代入法 设定点M 3 4 动点N在圆x2 y2 4上运动 以OM ON为两边作平行四边形MONP 求点P的轨迹方程 用直接法或定义法求曲线方程 设圆C x 1 2 y2 1 过原点O作圆的任意弦 求所作弦的中点的轨迹方程 思路分析 设P x y 为弦的中点 可用直接法列出关于x y的方程 也可根据圆的性质判断出P点的轨迹 利用定义法求解 方法总结 1 适用定义法求轨迹的特点如果动点的轨迹满足某种已知曲线的定义 则可依据定义写出轨迹方程 2 定义法求轨迹方程的策略 要熟悉各种常见的曲线的定义 要善于利用数形结合的方法 利用图形具有的相关几何性质寻找等量关系 根据等量关系和曲线的定义确定动点的轨迹方程 1 由动点P向圆x2 y2 1引两条切线PA PB 切点分别为A B APB 60 则动点P的轨迹方程为 2 在Rt ABC中 AB 2a a 0 求直角顶点C的轨迹方程 参数法求轨迹方程 ABC的顶点A固定 点A的对边BC的长是2a 边BC上的高是b 边BC沿一条定直线移动 求 ABC外心的轨迹方程 解析 如图以BC所在定直线x轴 以过点A与x轴垂直的直线为y轴建立直角坐标系 则A点的坐标为 0 b 设 ABC的外心为M x y 作MN BC于点N 则MN是BC的垂直平分线 三 常见的求轨迹方程的几种方法1 直接法当动点直接与已知条件发生联系时 在设曲线上动点的坐标为 x y 后 可根据题设条件将普通语言运用基本公式 如两点间的距离公式 点到直线的距离公式 斜率公式 面积公式等 变换成表示动点坐标 x y 间的关系式的数学语言 从而得到轨迹方程 这种求轨迹方程的方法称为直接法 直接法求轨迹方程经常要联系平面图形的性质 2 定义法若动点运动的几何条件满足某种已知曲线的定义 可以设出其标准方程 然后用待定系数法求解 这种求轨迹方程的方法称为定义法 利用定义法求轨迹要善于抓住曲线的定义特征 3 代入法 相关点法 若所求轨迹上的动点P x y 与另一个已知曲线C F x y 0上的动点Q x1 y1 存在着某种联系 可把点Q的坐标用点P的坐标表示出来 然后代入已知曲线C的方程F x y 0 化简即得所求轨迹方程 这种求轨迹方程的方法叫做代入法 又称