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第二章流体静力学 机械工程学院 第1节流体静压强及其特性第2节流体平衡微分方程及其积分第3节重力场中的平衡流体第4节静压强的计算与测定第5节液体的相对平衡第6节液体对平面壁面的作用力第7节液体对平面壁面的作用力第8节物体浮沉简述 流体静力学就是研究平衡流体的力学规律及其应用的科学 所谓平衡 或者说静止 是指流体宏观质点之间没有相对运动 达到了相对的平衡 平衡流体因为没有相对运动 故不显示其黏性 因此流体处于静止状态包括了两种形式 一种是流体对地球无相对运动 叫绝对静止 也称为重力场中的流体平衡 如盛装在固定不动容器中的液体 另一种是流体整体对地球有相对运动 但流体对运动容器无相对运动 流体质点之间也无相对运动 这种静止叫相对静止或叫流体的相对平衡 例如盛装在作等加速直线运动和作等角速度旋转运动容器内的液体 2 1流体静压强及其特性 一 静压强和压力 静止的流体无相互运动不表现出黏性 即不存在摩擦力 剪力 只存在法向的压应力 比压 说明 点的静压强简称点压强 表示为单位面积上的作用力 静压力和静压强是不同的概念 单位也不同 在流体内部或流体与壁面间 存在的单位面积上的法向作用力 流体处于静止状态时 流体的压强称为流体静压强 流体处于静止状态时 在流体内部 或流体与固体壁面间 存在的单位面积上 负的法向表面力 没有给出方向 没有给出方向 大小 给出方向 负法向给出大小 表面力 压强定义 2 1流体静压强及其特性 1 质量力 作用在所研究的流体质量中心 与质量成正比 重力 惯性力 单位质量力 重力 二 作用在流体上的力 2 1流体静压强及其特性 2 表面力 外界对所研究流体表面的作用力 作用在外表面 与表面积大小成正比 应力 切线方向 切向应力 剪切力 内法线方向 法向应力 压强 F A Fn F 表面力具有传递性 流体相对运动时因粘性而产生的内摩擦力 说明 对静止的液体仅存在质量力 重力 和静压力 对于做等加速直线运动或匀速旋转运动的液体 相对平衡的液体 则存在惯性力 根据达兰贝尔原理 加上一个假想的由牵连运动而形成的惯性力 可将相对平衡液体作为绝对平衡来处理 可列入静力学范畴 另做讨论 种类 法向分力 沿表面的内法线方向的压力 单位面积上的法向力称为流体的正应力 切向分力 沿表面切向的摩擦力 单位面积上的切向力就是流体粘性引起的切应力 作用机理 表面力 是周围流体分子或固体分子对分离体表面的分子作用力的宏观表现 三 流体静压强特性 流体静压强方向必然重合于受力面的内法线方向 一点的静压强在各方向等值 即 证明 假设 在静止流体中 流体静压强方向不与作用面相垂直 与作用面的切线方向成 角 则存在切向压强pt 流体要流动 与假设静止流体相矛盾 2 1流体静压强及其特性 质量力 表面压强 证明 取微小四面体O ABC 证明 某一点的静压强在各方向等值 2 1流体静压强及其特性 与方位无关 与位置有关 所以 p的全微分为 静压强是空间坐标的连续函数 求静压强分布规律 研究平衡状态的一般情况推导平衡微分方程式 流体静力学最基本方程组 2 2流体平衡微分方程及其积分 一 流体平衡微分方程 平衡流体中选定点M为中心的微六面体 该中心的坐标为 x y z 其压强为p x y z 该体的质量为dm dxdydz 它在质量力 表面力作用下处于平衡状态 2 2流体平衡微分方程及其积分 向的静压力 表面力 X向的质量力 2 2流体平衡微分方程及其积分 同理有 运动微分方程 2 2流体平衡微分方程及其积分 i x y z 可简写为 i x y z 物理意义 静止流体中 单位质量流体所承受的质量力与静压强 表面力 的合力达到平衡 称为流体平衡微分方程 是由瑞士科学家欧拉在1755年提出的 故称欧拉平衡方程 它是流体静力学最基本的方程组 流体静力学的其他计算公式都是从此方程组推导出来的 2 2流体平衡微分方程及其积分 物理意义 静止流体中 单位质量流体上的质量力与静压强的合力达到平衡总结 平衡流体微团的质量力与表面力 无论在任何方向上都应保持平衡 即质量力与该方向上表面力的合力应该大小相等 方向相反 实用范围 所有静止流体或相对静止的流体 2 2流体平衡微分方程及其积分 i x y z 二 平衡微分方程的积分形式 上面三式相加 整理得 2 2流体平衡微分方程及其积分 所以 流体静压强是空间坐标的连续函数 它的全微分方程为 在静止流体中 空间点的坐标增量为dx dy dz时 相应的流体静压强增加dp 压强的增量幅度取决于质量力 2 2流体平衡微分方程及其积分 压强微分公式 左边是压强的全微分 积分后得到一点的静压强 而平衡流体的静压强由其坐标位移确定 故该式右边也必须是一个坐标函数的全微分 2 2流体平衡微分方程及其积分 如果单位质量力与某一个坐标函数W W x y z 具有下列关系 即W对某一个坐标的偏导数的负值等于该坐标方向上的质量分力 二 平衡微分方程的积分形式续 代入压强微分公式可得 积分方程 积分得到 C为积分常数 带入初始条件可得 2 2流体平衡微分方程及其积分 如果单位质量力与某一个坐标函数W W x y z 具有下列关系 即W对某一个坐标的偏导数的负值等于该坐标方向上的质量分力 二 平衡微分方程的积分形式续 坐标函数W W x y z 可以描述质量力的标量函数 称为质量力的势函数 由势函数决定的力称为有势力 流体平衡条件 只有在有势的质量力作用下 不可压缩的均质流体才能处于平衡状态 这就是流体平衡的条件 三 等压面 流体中压力相等的点所组成的面称为等压面 说明 定义 绝对静止的液体 等压面才为水平面 做水平匀速直线运动的容器中的液体的等压面也是水平面 作等加速直线运动时 等压面为斜平面 匀速旋转运动容器中的液体的等压面为抛物面 在下节中另述 等压面的选择 同一液体的等压面可任取 对不同介质的流体取分界面 平衡状态 互不掺混的两种液体的分界面也是等压面 2 2流体平衡微分方程及其积分 三 等压面 等压面也是等势面 等压面与质量力垂直 见备课笔记 2 2流体平衡微分方程及其积分 由公式知道 压强变化与 W W0 有关 但是它只与质量力有关 因而处于平衡状态的不可压缩的流体中 其压强变化值 将在流体中等值传递 帕斯卡定律 2 3重力场中的平衡流体 1 流体静力学基本方程 由欧拉公式 重力作用下的静止液体 在如图坐标系中 自由液面高度Z0 压强Pa 经过积分 并利用边界条件得到 基本方程 因为 故 2 3重力场中的平衡流体 1 流体静力学基本方程 推论 1 静压强大小与液体体积无直接关系 相同液体内部的压强只与深度h有关 2 两点之间的压强差 等于两点之间单位面积的垂直液柱的高度 3 平衡状态下液体内部任意点压强的变化 将等值传递到其他处 由于Z1 Z2的任意性 基本方程不同表达 4 重力作用下静止流体中各点的单位重量流体的总势能是相等的 2 物理意义 静止液体中各点位置水头Z1 Z2和测压管高度可以相互转换 但各点测压管水头却永远相等 即敞口测压管最高液面处于同一水平面 测压管水头面 位置水头 测压管高度 静止液体中各位置水头和静压高度pe1 g亦可以相互转换 但各点静压水头 位置水头 静压高度 永远相等 即闭口的玻璃管最高液面处在同一水平面 静压水头面 3 几何意义 静压高度 位置水头 静压管水头 测压管高度 静压水头面 1 在重力作用下的静止液体中 静压强随深度按线性规律变化 即随深度的增加 静压强值成正比增大 三个重要结论 2 在静止液体中 任意一点的静压强由两部分组成 自由液面上的压强p0 该点到自由液面的单位面积上的液柱重量 gh 3 在静止液体中 位于同一深度 h 常数 的各点的静压强相等 即任一水平面都是等压面 1 压力单位和测量基准 压力单位 国际标准 Pa 工程应用 MPa bar 公斤力水力学 m 两种基准 以绝对真空为基零 绝对压强 以大气压强为基零 相对压强 真空度 表压强 2 4流体静压强的计算与测定 2 液柱式测压计 用测压管的高度 测量流体中大于大气压强的表压强 加上刻度即可作为测压计 2 4流体静压强的计算与测定 U形测压计测真空度 压差计测量压差 相对压强 2 4流体静压强的计算与测定 U形测压计测表压强 如 微压计 倾斜式压力计 放大倍数 2 4流体静压强的计算与测定 优点 携带方便 装置简单 安装容易 测读方便 经久耐用等优点 是测量压强的主要仪器 常用的是一种弹簧测压计 构造 见实物 原理 其内装有一端开口 一端封闭端面为椭圆形的镰刀形黄铜管 开口端与被测定压强的液体连通 测压时 由于压强的作用 黄铜管随着压强的增加而发生伸展 从而带动扇形齿轮使指针偏转 把液体的相对压强值在表盘上显示出来 2 4流体静压强的计算与测定 2 5液体的相对平衡 一 等加速直线运动的液体的相对平衡 如图有 代入下式 等压面 压力方程 1平面上的等加速运动 积分 边界条件 2 5液体的相对平衡 2斜面等加速运动 质量力分量 全微分方程 压力方程 等压面 2 5液体的相对平衡 二 等角速度旋转容器中液体的平衡 代入静力学运动微分方程 积分 边界条件 自由液面 2 5液体的相对平衡 三 相对平衡的应用 1离心铸造机2离心泵 边缘开口 2 6液体对壁面的作用力 静止液体作用在平面上的总压力包括三个问题 1 总压力的大小 2 总压力的作用点 3 总压力的方向 2 6液体对壁面的作用力 一 平面壁的总作用力及作用点 方向 平面壁上所受液体静压强的总和 dA上的压强为 dA上总压力 总压力大小 结论 静止液体作用在任一淹没平面上的总压力等于液体的密度 重力加速度 平面面积和形心淹深的乘积 2 6液体对壁面的作用力 总压力的作用点 计算方法和定义 淹没在静止液体的平面上总压力的作用点 即总压力作用线与平面的交点 称为压力中心 由合力矩定理可知 总压力对OX轴之矩等于各微元面积上的总压力对OX轴之矩的代数和 平行轴定义 受压面积A对其心轴 过形心C 平行x轴 的二次矩 2 6液体对壁面的作用力 2 6液体对壁面的作用力 2 6液体对壁面的作用力 二 静止流体作用于曲面壁的总压力 液体作用在曲面上的总压力为 总压力的倾斜角为 作用点通过压力体体积的形心 2 6液体对壁面的作用力 二 静止流体作用于曲面壁的总压力 曲面ABCD所承受的垂直压力FZ恰为体积ABCD5678内的液体重量 其作用点为压力体ABCD5678的重心 曲面ABCD所承受的水平压力Fx为该曲面的垂直投影面积Ax上所承受的压力 其作用点为这个投影面积Ax的压力中心 作用点通过压力体体积的形心 V 压力体体积Fz 压力体重量 其作用点与平面的相同 2 7液体对曲面壁的作用力 实压力体 或 正压力体 液体和压力体位于曲面同侧a 虚压力体 或 负压力体 液体和压力体位于曲面异侧b 2 7液体对曲面壁的作用力 受压曲面 压力体的底面 自由液面或自由液面的延长面 压力体的顶面 由受压曲面边界向自由液面或自由液面的延长面所作的铅垂柱面 压力体的侧面 压力体组成 例题 例2 5 2 如图 涵洞进口装有一圆形平板闸门 闸门平面与水平面成60 铰接于B点并可绕B点转动 门的直径d 1m 门的中心C位于上游水面下HC 4m 门重G 980N 当门后无水时 求从A处将门吊起所需的力T 解 闸门所受水的总压力 F gHcA gHc r2 1000 9 8 4 0 52 30 79kN 压力中心D到B的距离 T到B的垂直距离G到B的垂直距离根据理论力学平衡理论 例2 5 3与水平液面成 角的斜壁有半径为R的圆孔 现用半球面将孔堵上 孔心深度为H 如图2 30所示 求球面所受的液体作用力F的大小及方向 不计大气压力 例2 5 4弧形闸门 宽B 5m 45 r 2m 转轴与水平面平齐 求 水对闸门轴的压力P解 H rsin 2 sin45 1 414m压力体abc的面积 Pz V gV gBAabc 1000 9 8