电磁感应(补充题).doc

电磁感应【1】 地球表面的磁感应强度约为T,若将一个电阻,半径为20cm的金属圆环翻转,则流过该圆环截面的电荷量的最大值为多少?若将该金属圆环放在中子星的表面作同样的翻转,流过圆环截面的最大电荷量又为多少 (中子星表面的磁感应强度为T)?分析 由（13-4）式可知，金属环在翻转中要获得流穿过环截面的感应电量的最大值，应将翻转前金属环面的法线方向置于地磁场方向，则通过环面的磁通量有最大值，翻转后磁通量为最大负值，这样翻转才有最大的磁通量改变，才能产生最大的感应电量【解】 在地球表面, 最大感应电荷量为 C在中子星表面, 最大感应电荷量为 C【2】半径分别为和的金属圆环共轴放置，且,在大圆环中有恒定电流,而小圆环则以恒定速度沿轴线方向运动,问当小圆环运动到什么位置时,其内部的感应电流为最大? v R I r x图13-2分析本题中载流大圆环半径远大于小圆环的半径，小圆环所围面积内的磁场可视为均匀，其中各点的磁感应强度均近似等于位于大圆环轴线上的小圆环圆心处的值在真空中恒定电流的磁场一章（11-10）式给出，载流圆环轴线上某点的磁感应强度是该点到圆环圆心距离x的函数，小圆环沿轴线远离大圆环运动时，所围面积的磁通量减小，小圆环中将产生感生电动势和感应电流应用极值条件可以求出感应电流为最大时小圆环的位置. 解 如图13-2所示，小圆环所围面积内的磁感应强度近似等于其圆心处的值，由（11-10）式得小圆环以恒定的速度运动到轴线上x处，圆环中的感生电动势为圆环中感生电动势最大时感应电流也为最大值令，得 z C D A y x图13-3解得，并取计算可得0电动势的方向为.【8】如图13-8，在水平放置的光滑平行导轨上，放置质量为的金属杆,其长度为,导轨一端由一电阻相连(其他电阻忽略),导轨又处于竖直向下的均匀磁场B中,当杆以初速度为运动时,求(1)金属杆能够移动的距离;(2)在此过程中电阻R所放的焦耳热. a R B b 图13-8 分析 金属杆以的初速度在磁场中向右运动,金属杆与导轨组成的回路中有感应电流,因而金属杆受到向左的安培力作用.在安培力作用下杆的运动速度渐慢,最后为0.速度的变化使安培力为变力.于是本题不能简单地用匀加速直线运动公式计算,而应从牛顿第二定律出发建立运动方程后求解根据能量守恒定律，在此过程中杆的初动能全部转化电阻所发出的焦耳热 解 （1）取向右为x正向，当杆的速度为，金属杆ba上的感应电动势为感应电流为 方向沿b到a.在金属杆ba上取电流元I方向从b到a，I，安培力，所以作用于杆的安培力沿x轴的负方向.负号表示与v反向应用牛顿第二定律，得 设杆的移动距离为，由上式分离变量两边积分，有得 即杆可移动的最大距离为 (2)由焦耳热公式, 电阻R上释放的焦耳热为 (1) 又 分离变量两边积分,时刻有 (2)(2)式代入(1)式,且当时,得 即杆从开始运动到停止,其间电阻所放的焦耳热在量值上等于【9】磁场沿方向,磁感强度大小为,在平面内有一矩形线框,在时刻的位置如图13-9所示,求在以下几种情况下,线框中的感应电动势与的函数关系:(1)线框以速度的速度平行于轴匀速运动;(2)线框从静止开始,以的加速度平行于轴运动;(3)线框在平面内平行于轴重复以上两种运动.分析 磁场沿x轴方向，矩形线框沿轴运动，所以DC、BA边上的电动势为0. 磁感强度是的函数，边上的各点B相等，BC边上的各点B相等.此题可以用动生电动势定义式和法拉第定律两种方法求解不过，对此类既有感生又有动生电动势的题，一般来说先求磁通量，再用法拉第定律求解较易 z D b C 0.50m l v A B 0.20m B O y x图13-9解1 （1）的方向为z轴负向，DC、BA边的感应电动势为0，设边感应电动势为，边的为，方向分别为从到、从到，矩形框的总电动势为V方向为逆时针方向（2）矩形框作加速运动时，框上的动生电动势为其中 故 t 解2（1）以下均取逆时针方向为回路绕行方向，若，则其沿回路绕行方向，反之亦然穿过矩形框的磁通量为其中y=vt矩形框中的电动势为V（2）取回路逆时针绕行，矩形框作加速运动时穿过框的磁通量为其中 即 矩形框上的电动势为 (3)线框沿z轴方向运动时，不变，则均为0. 【10】如图13-10所示,在两无限长载流导线组成的平面内,有一固定不动的矩形导体回路.两电流方向相反,若有电流,求线圈中的感应电动势的大小和方向. 分析 在本题中，应用法拉第电磁感应定律求感应电动势有两条途径：分别求出两个直电流在框上产生的感应电动势，再进行叠加；或者，先求出两直电流的合磁感强度，再求磁通量，应用法拉第定律载流长直导线磁场是不均匀的，欲求磁通量，应该取平行于长直导线的细长条面元，面元内各点磁感强度可视为大小相等方向相同，其磁通量等于磁感强度与面积的乘积，再积分计算整个矩形框的磁通量因两直电流方向相反，靠近线框的直电流在框上电动势大一些，它的贡献决定了线框上电动势的方向 dx I I h x d1 d2 l 图13-10 解 框内任一点磁感应强度为取逆时针方向为回路绕行方向,如图13-10,在线框上取面元dS ,且dS=hdx,穿过框的磁通量为其中矩形框上的电动势为因(l+d2)d1d2(l+d1)，得，即沿顺时针方向.【11】如图13-11所示, 均匀磁场与半径为r的圆线圈垂直 (图中表示绕行回路的正方向).如果磁感强度随时间的变化的规律为,其中B0和为常量, 试将线圈中的感应电动势表示为时间的函数,并标明方向.分析 本题用法拉第定律可方便求解.解 回路绕行方向为逆时针, 穿过圆线圈的磁通量为B r dl 图13-11 圆线圈上的电动势为方向沿回路正方向即逆时针方向.【12】 如图13-12所示，在与均匀磁场垂直的平面内有一折成角的V型导线框，其边可以自由滑动，并保持与其它两边接触.今使，当t=0时，由点出发，以匀速平行于滑动，已知磁场随时间的变化规律为，求线框中的感应电动势与时间的关系. M B v O N 图13-12分析 导线在磁场中运动，磁感强度又随时间变化，因而线框中的电动势由动生电动势和感生电动势两部分组成，可以直接求出面积不断变化的回路任一时刻的磁通量，再应用法拉第电磁感应定律求解也可以分别计算由于边滑动产生的动生电动势和由于线框中磁感强度随时间变化引起磁通量变化产生的感生电动势解1 取顺时针方向为回路绕行方向, t时刻穿过V型导线框的磁通量为其中 ，应用法拉第电磁感应定律，导线框上的感应电动势为 负号表明E与回路绕行方向相反，即沿逆时针方向 解2 由于边滑动产生的动生电动势为沿方向时刻回路面积，取逆时针方向为回路绕行方向，回路法向矢量与B相反，则=总感应电动势为=沿逆时针方向【13】一导线弯成如图13-13的形状，在均匀磁场中绕轴转动，角速度为.若电路的总电阻为，当时从图示的位置开始转动.（1）当磁感强度为常量时；（2）当时，求导线中的感应电流和感应电动势.解 （1）B为常量，t时刻穿过线圈的磁通量为，线圈上的感应电动势为 l2 l1 O O B G 图13-13 线圈上的感应电流为 (2)时,t时刻穿过线圈的磁通量为线圈上的电动势为线圈上的感应电流为【14】均匀磁场B被限制在如图13-14所示的圆柱型空间中, 从0.5T以0.1T/s的速率减小,(1)确定涡旋电场电场线的形状和方向并示于图中；(2)求图中半径为r=10cm的导体回路上各点的涡旋电场场强和回路中的感生电动势；(3)设回路的电阻为,求其中感应电流的大小；(4)回路中任意两点间的电势差为多大?(5)如果在回路某点将其切断,两端稍微分开,问此时两端的电势差为多大?分析例题讨论了这种在圆柱形空间中随时间改变的均匀磁场所产生的涡旋电场，可以直接利用其结果计算该涡旋电场中的电场强度的大小和方向 B r a b E涡 图13-14解 (1)由例题的讨论知，该圆柱形空间中随时间改变的均匀磁场产生涡旋电场，其电场线是圆心在轴线上的一系列同心圆，又因，该涡旋电场中的电场强度为同心圆上沿顺时针绕行的切线方向，如图13-14所示(2)利用例题的结果，r = 10cm的回路上涡旋电场强度大小为回路上的感生电动势为方向为顺时针方向(3)回路中感应电流为 (4)根据一段含源电路的欧姆定律，弧上的电势差等于该段导线上电阻引起的电势差减去该圆弧上的感应电动势，即(5)断开一个缺口后回路不再闭合，因此回路中无电流，则cd两点间电势差为由于，表明d点电势高【15】在半径为的圆柱形空间中,存在着变化的均匀磁场,有一长为的导体棒放在磁场中,如图13-15(a)所示,设磁场的变化率为,(1)用感生电动势定义求棒中的感生电动势；(2)用法拉第电磁感应定律求棒中的感生电动势；(3)若导体棒在图示位置时有一个方向与棒垂直指向点、大小为的速度，再求棒上的感应电动势分析 这是与上题特征相同的磁场利用例题的结果，涡旋电场线是一系列同心圆，在圆的切线方向，所以用感生电动势定义计算时应注意棒上各点的与有一夹角如果应用电磁感应法拉第定律计算，将棒连接半径,构成闭合回路,考虑到沿半径方向，则回路中的感应电动势就等于导体棒中的感应电动势当导体棒运动时，闭合回路中的磁通量随时间变化，求出任一时刻t回路所围面积的磁通量，便可求解解 (1)如图13-15(b)所示，在棒上取线元,方向从.该处在切线方向，大小为，与的夹角为，且，得ab棒上感应电动势的方向从，大小为 B O r R dl a b E涡 l(b)图13-15 B O a b vt a b l (c) B R O a b l (a) (2)连接成闭合回路,设回路逆时针绕行，穿过回路的磁通量为闭合回路上的感应电动势为因沿半径方向，则回路中的感应电动势就等于导体棒中的感应电动势，即方向从.(3) 如图13-15(c),经时间棒向着点移动,连接、成闭合回路,设回路逆时针绕行.穿过回路的磁通量为导体棒中的感应电动势为若,则从；若,则从.【16】如图13-16(a),均匀磁场被限制在半径为R的圆柱形空间，磁感强度对时间的变化率，在圆柱形空间外与磁场垂直的平面内有一导体.（1）计算上的感应电动势；（2）两点间的电势差有多高？（3）在图中表示出两点的涡旋电场强度. 分析磁场局限在圆柱形空间内部，连接，计算穿过三角形的磁通量时，只需计算该三角形所包围的圆柱形空间内扇形面积的磁通量 EkB B B R B R B d d O l O EkA l r b EkA b A A (a) (b)图13-16 解1(1) 如图13-16(a)，连接，穿过的磁通量与穿过扇形的磁通量相等为（2） ，应用楞次定律判定电动势从，所以点的电势高.（3）都在该点切线方向，且沿逆时针绕行的切线方向.解2 (1) 如图13-16(b),在上取线元方向从到，到圆心的距离为，据(13-7)式,有而，AB上的感生电动势为其中，得【17】 c R dr b c R r b（a） （b）图13-17截面为矩形的环形螺线管，平均半径为，截面边长为和，螺线管共有匝导线，管内充满磁导率为的均匀磁介质，如图13-17（a）所示，试求其自感系数.分析螺绕环的磁感线是以对称中心为圆心的一系列同心圆，每条磁感线都要穿过矩形截面，于是求自感系数的问题归结为求穿过矩形截面的磁通量由于沿螺绕环半径方向的磁场分布不均匀，需在矩形截面上取面元，算出，再积分得.解如图13-17(b)，在矩形截面上取面元，与螺绕环中心距离为.由安培环路定理(11-15)式得处的磁感应强度为穿过螺绕环的磁通链为 螺绕环的自感系数为 【18】如图13-18, 两平行长直导线，其中心距离为，载有等大反向的电流（可以想象它们在相当远的地方汇成单一回路），每根导线的半径均为，如果不计导线内部磁通量的贡献，试求单位长度的自感系数.分析 两平行长直导线间的磁感应强度为两长直导线在该处磁感应强度之代数和.沿着以下思路解题：先求出两导线间的B，再求两导线间的磁通量,再求自感系数.解 如图13-18,由磁场叠加原理，在两条导线间距左边一根为远（）处磁感应强度为取长为l的一段导线，通过图中阴影部分的磁通量为 d I l R I 图13-18 长为l的一段导线的自感系数为单位长导线的自感系数为 【19】如图13-19,两圆形线圈共轴放置在一平面内，它们的半径分别为和，匝数分别为和，试求它们之间的互感系数.（大线圈中有电流时，小线圈所在处的磁场可看作是均匀的.） 分析 题目给出条件，线圈与线圈共轴，所以线圈所在处的磁感应强度可视为均匀，且等于线圈圆心处的磁感应强度. R1 N2 N1 R2 图13-19 解 因,当大线圈中有电流时，小线圈所在处各点的磁感应强度近似相等，且等于圆心处的磁感应强度，即 穿过小线圈的磁通链为 互感系数为 【20】在如图13-20所示的电路中，线圈连线上有一长为的导线棒可在垂直于均匀磁场B的平面内左右滑动并保持与线圈连线接触，导体棒的速度与棒垂直.设线圈和线圈的互感系数为，电阻为和.分别就以下两种情况求通过线圈和线圈的电流：（1）以匀速v运动；（2）由静止开始以加速度a运动. C B v D 图13-20 分析 边运动，线圈中有感应电流. 由于互感,线圈中的电流变化将在线圈中产生感应电流. 解（1）匀速运动时,线圈中的感应电流是常量，为它在线圈中引起的磁通量的变化率为在线圈中引起的互感电动势，因此线圈中的感应电流为零 （2）加速运动时, 线圈中的感应电流为 在线圈中引起的磁通量为 R r O O d图13-21在线圈中引起的互感电动势为因此线圈中的感应电流为【21】如图13-21所示的两个共轴圆形线圈，它们的间距为，半径为和,且，大线圈中有电流时，小线圈所在处的磁场可看作是均匀的，试求（1）大线圈中的电流时小线圈中的感应电动势；（2）两线圈的互感系数；（3）当小线圈偏转，使得两线圈平面法线的夹角分别为时，再求.解 (1)大线圈在小线圈处产生的磁感强度为大线圈电流产生的磁场穿过小线圈的磁通量为大线圈电流变化, 在小线圈中产生的互感电动势为 (1)（2）两电流的互感电动势又可表示为 将(1)式代入上式，得 （3）两线圈平面法向夹角为时穿过小线圈的磁通量为互感系数 夹角为时，得 夹角为时，得 【22】试求题13-10中二长直导线组成的回路与矩形框之间的互感系数. 分析 在本题中，显然求出长直导线在矩形框处的磁通量，然后求互感系数较容易.解 利用习题13-10的结果，两长直导线在矩形线圈处产生的磁通量为得互感系数为 【23】两线圈的自感系数分别为和，它们的互感系数为，当两线圈串联时，试证它的等效自感系数为，其中的正负号分别是对应图13-23中的两种连接情况分析两线圈串联后的等效自感系数，应该等于输入端与输出端间自感电动势与回路电流变化率之比任一线圈两端的感应电动势应等于各自的自感电动势与另一线圈在其上产生的互感电动势的代数和根据楞次定律，线路顺接如图13-23(a)时，互感电动势与自感电动势方向相同；反接如图13-23(b)时，互感电动势与自感电动势方向相反.假如再拓展考虑两线圈顺并联和反并联的情况.这时流经两线圈的电流分别为和,但互感系数不变，且并联后的总电动势.可解出顺并联时,反并联时. (a) (b) 图13-23 解 顺连接如图13-23（a）,设左边的线圈为(1),右边的线圈为(2).根据楞次定律,线圈(1)上的总电动势 ,应为其上的自感电动势与线圈(2)在线圈(1)上产生的互感电动势之和,有同理 输入端与输出端间的电动势为两线圈串联顺接时的等效自感系数为 反连接如图13-23（b）,根据楞次定律,线圈(1)上的总电动势E 1 ,应为其上的自感电动势E11与线圈(2)在线圈(1)上产生的互感电动势E12之差,有同理 输入端与输出端间的电动势为 两线圈串联反接时的等效自感系数为 【24】在一细线密绕螺线管内填满了某种磁导率为（常量）的均匀介质，若该介质的电阻率为，在介质中存在感应电流的情况，由定义求该螺线管的自感系数设螺线管半径为、长为、总匝数为，且，忽略边缘效应 分析 缠绕螺线管的传导电流变化时，传导电流要产生自感电动势.现螺线管内充满磁导率为的磁介质，变化的传导电流在介质中激发感应电流,变化的感应电流也要产生自感电动势.总的自感电动势为.由传导电流激发的螺线管内磁场，方向沿轴线，且分布均匀，所以由变化的传导电流激发的感应电流是以轴线为圆心的圆电流.考虑到介质有电阻，感应电流在介质的径向分布不均匀，因而感应电流产生的磁场方向沿轴线，为非均匀磁场，在计算感应电流产生的磁通量时要注意 B di r dr l I 图 13-24 解 据(11-21)式,传导电流在螺线管内产生的磁感强度,方向沿轴向大小为其中传导电流变化时，在螺线管内引起的自感电动势为传导电流变化时, 激发的感应电流是以轴线为圆心的圆电流.考虑到介质有电阻，感应电流在介质中径向分布不均匀.螺线管内的磁介质视为由一系列同轴介质圆筒组成，如图13-24，取高为，半径为，厚为的薄壁介质圆筒为体积元，穿过圆筒底面的磁通量为体积元上的感应电动势为根据电阻的表达式(10-5),体积元电阻为 ，体积元上的感应电流为产生的磁感应强度在管内沿轴向分布.取与计算载流长直螺线管内磁场类似的边长为l的矩形框为安培环路，据(11-21)式,体积元上的感应电流产生的磁感强度为方向与B相反感应电流产生的穿过螺线管截面的磁通量为感应电流产生的自感电动势为总自感电动势为 螺线管的自感系数为【25】螺绕环载流，单位长度上有匝线圈，平均半径为，管芯由如图13-35所示的两层不同介质组成，其截面积分别为和，磁导率分别为和，求：（1）自感系数；（2）两层介质内的磁能密度和；（3）总磁能（体积可用截面积乘以平均周长）. 分析 管芯由两层截面积分别为和，磁导率分别为和介质组成，又因给了平均半径，可以认为螺绕环管内的磁场强度数值相等，于是可求出两介质层中的磁感强度和.通过螺绕环截面的磁通量等于通过两介质层磁通量之和.Rn 图13-25 解 （1）由例题12-1,可得螺绕环内在磁导率为的介质中，磁感强度为在磁导率为的介质中，磁感强度为穿过两介质的磁通量为穿过两介质的磁通链为 螺绕环的自感系数为 （2）磁导率为介质中的磁能密度为 磁导率为介质中的磁能密度为 （3）总磁能为 【26】一圆柱形长直导线中各处电流密度相等，总电流为I，试证单位长度内储藏的磁能为.分析 导体本身也是磁