高中数学 第一章 立体几何初步 4_1 空间图形基本关系的认识-4_2 空间图形的公理(一)课件 北师大版必修2

4 1空间图形基本关系的认识4 2空间图形的公理 一 学习目标1 通过长方体这一常见的空间图形 体会点 直线 平面之间的位置关系 2 会用符号表达点 线 面的位置关系 3 掌握空间图形的三个公理及其推论 题型探究 问题导学 内容索引 当堂训练 问题导学 思考1 知识点一空间图形的基本位置关系 12条棱中 棱与棱有几种位置关系 答案 答案相交 平行 既不平行也不相交 对于长方体有12条棱和6个面 思考2 棱所在直线与面之间有几种位置关系 答案 答案棱在平面内 棱所在直线与平面平行和棱所在直线与平面相交 思考3 六个面之间有哪几种位置关系 答案 答案平行和相交 梳理 a b O a a A a a 任何一个平面内 知识点二空间图形的公理 思考1 照相机支架只有三个脚支撑说明什么 答案 答案不在同一直线上的三点确定一个平面 思考2 一把直尺两端放在桌面上 直尺在桌面上吗 答案 答案直尺在桌面上 思考3 教室的墙面与地面有公共点 这些公共点有什么规律 答案 答案这些公共点在同一直线上 梳理 的点 平面 两点 1 空间图形的公理 A B B l 所有 A l 个点的公共直线 不在一条直线上 P 通过这 P 2 公理2的推论推论1 一条直线和直线外一点确定一个平面 图 推论2 两条相交直线确定一个平面 图 推论3 两条平行直线确定一个平面 图 题型探究 例1根据图形用符号表示下列点 直线 平面之间的关系 类型一文字语言 图形语言 符号语言的相互转化 1 点P与直线AB 解答 解点P 直线AB 2 点C与直线AB 解答 解点C 直线AB 3 点M与平面AC 解点M 平面AC 4 点A1与平面AC 解点A1 平面AC 5 直线AB与直线BC 解直线AB 直线BC 点B 6 直线AB与平面AC 解答 解 7 平面A1B与平面AC 解平面A1B 平面AC 直线AB 1 用文字语言 符号语言表示一个图形时 首先仔细观察图形有几个平面 几条直线且相互之间的位置关系如何 试着用文字语言表示 再用符号语言表示 2 根据符号语言或文字语言画相应的图形时 要注意实线和虚线的区别 反思与感悟 跟踪训练1用符号语言表示下列语句 并画成图形 1 直线l经过平面 内两点A B 2 直线l在平面 外 且过平面 内一点P 解答 解A B A l B l 如图 解l P l P 如图 3 直线l既在平面 内 又在平面 内 4 直线l是平面 与 的交线 平面 内有一条直线m与l平行 解答 解 解 命题角度1点线共面问题例2 类型二平面的基本性质的应用 解答 解因为PQ a 所以PQ与a确定一个平面 解答 引申探究将本例中的两条平行线改为三条 即求证 和同一条直线相交的三条平行直线一定在同一平面内 解已知 a b c l a A l b B l c C 求证 a b c和l共面 证明 如图 a b a与b确定一个平面 l a A l b B A B 平面 与 都包含l和b 且b l B 由公理2的推论知 经过两条相交直线有且只有一个平面 平面 与平面 重合 a b c和l共面 在证明多线共面时 可用下面的两种方法来证明 1 纳入法 先由部分直线确定一个平面 再证明其他直线在这个平面内 2 重合法 先说明一些直线在一个平面内 另一些直线也在另一个平面内 再证明两个平面重合 反思与感悟 跟踪训练2已知 如图所示 l1 l2 A l2 l3 B l1 l3 C 求证 直线l1 l2 l3在同一平面内 证明 证明方法一 纳入平面法 l1 l2 A l1和l2确定一个平面 l2 l3 B B l2 直线l1 l2 l3在同一平面内 方法二 辅助平面法 l1 l2 A l1和l2确定一个平面 l2 l3 B l2 l3确定一个平面 同理可证B B C C 不共线的三个点A B C既在平面 内 又在平面 内 平面 和 重合 即直线l1 l2 l3在同一平面内 命题角度2点共线 线共点问题例3如图所示 在正方体ABCD A1B1C1D1中 E为AB的中点 F为AA1的中点 求证 CE D1F DA三线交于一点 证明 证明如图 连接EF D1C A1B E为AB的中点 F为AA1的中点 E F D1 C四点共面 D1F与CE相交 设交点为P P为平面A1D1DA与平面ABCD的公共点 又平面A1D1DA 平面ABCD DA 根据公理3 可得P DA 即CE D1F DA相交于一点 1 点共线 证明多点共线通常利用公理3 即两相交平面交线的唯一性 通过证明点分别在两个平面内 证明点在相交平面的交线上 也可选择其中两点确定一条直线 然后证明其他点也在其上 2 三线共点 证明三线共点问题可把其中一条作为分别过其余两条直线的两个平面的交线 然后再证两条直线的交点在此直线上 此外还可先将其中一条直线看作某两个平面的交线 证明该交线与另两条直线分别交于两点 再证点重合 从而得三线共点 反思与感悟 跟踪训练3已知 ABC在平面 外 其三边所在的直线满足AB P BC Q AC R 如图所示 求证 P Q R三点共线 证明 证明方法一 AB P P AB P 平面 由公理3可知 点P在平面ABC与平面 的交线上 同理可证Q R也在平面ABC与平面 的交线上 P Q R三点共线 方法二 AP AR A 直线AP与直线AR确定平面APR 又 AB P AC R 平面APR 平面 PR Q BC Q 平面APR 又Q Q PR P Q R三点共线 当堂训练 1 用符号表示 点A在直线l上 l在平面 外 正确的是 答案 2 3 4 5 1 解析 点A在直线l上 A l l在平面 外 l 故选B 解析 答案 2 3 4 5 1 B A A B B AB D A B C A B C 且A B C不共线 与 重合 3 下列推理错误的是 答案 2 3 4 5 1 解析当l A l时 也有可能A 如l A 故C错 解析 A 点AB 点BC 点C但不过点MD 点C和点M 4 如图 l A B C 且C l 直线AB l M 过A B C三点的平面记作 则 与 的交线必通过 2 3 4 5 1 解析因为平面 过A B C三点 M在直线AB上 所以 与 的交线必通过点C和点M 解析 答案 5 如图 在 ABC中 若AB BC在平面 内 判断AC是否在平面 内 2 3 4 5 1 解答 解AC在平面 内 因为AB在平面 内 所以A 又BC在平面 内 所以C 所以AC在平面 内 规律与方法 1 解决立体几何问题首先应过好三大语言关 即实现这三种语言的相互转换 正确理解集合符号所表示的