高中数学 第三单元 导数及其应用 3_3_2 利用导数研究函数的极值（一）课件 新人教b版选修1-1

第三章 3 3导数的应用 3 3 2利用导数研究函数的极值 一 1 了解函数极值的概念 能从几何方面直观理解函数的极值与导数的关系 2 掌握函数极值的判定及求法 3 掌握函数在某一点取得极值的条件 学习目标 题型探究 问题导学 内容索引 当堂训练 问题导学 知识点一函数极值的概念 思考1 函数在点x a处的函数值与这点附近的函数值有什么大小关系 函数y f x 的图象如图所示 函数在点x a处的函数值f a 比它在点x a附近的其他点的函数值都小 答案 思考2 f a 为多少 在点x a附近 函数的导数的符号有什么规律 答案 f a 0 在点x a附近的左侧f x 0 思考3 函数在点x b处的情况呢 答案 函数在点x b处的函数值f b 比它在点x b附近的其他点的函数值都大 f b 0 且在点x b附近的左侧f x 0 右侧f x 0 梳理已知函数y f x 及其定义域内一点x0 对于存在一个包含x0的开区间内的所有点x 如果都有f x f x0 则称函数f x 在点x0处取 记作y极小值 f x0 并把x0称为函数f x 的一个 与统称为极值 与统称为极值点 极大值 极大值点 极小值 极小值点 极大值 极小值 极大值点 极小值点 知识点二求函数y f x 的极值的方法 解方程f x 0 当f x0 0时 1 如果在x0附近的左侧f x 0 右侧f x 0 那么f x0 是极大值 2 如果在x0附近的左侧f x 0 右侧f x 0 那么f x0 是极小值 题型探究 类型一求函数的极值和极值点 解答 例1求下列函数的极值 1 f x 2x3 3x2 12x 1 函数f x 2x3 3x2 12x 1的定义域为R f x 6x2 6x 12 6 x 2 x 1 解方程6 x 2 x 1 0 得x1 2 x2 1 当x变化时 f x 与f x 的变化情况如下表 所以当x 2时 f x 取极大值21 当x 1时 f x 取极小值 6 解答 令f x 0 得x 1 当x变化时 f x f x 的变化情况如下表 因此当x 1时 f x 有极小值3 无极大值 求可导函数f x 的极值的步骤 1 确定函数的定义域 求导数f x 2 求方程f x 0的根 3 利用f x 与f x 随x的变化情况表 根据极值点左右两侧单调性的变化情况求极值 特别提醒 在判断f x 的符号时 借助图象也可判断f x 各因式的符号 还可用特殊值法判断 反思与感悟 跟踪训练1已知函数f x ex ax b x2 4x 曲线y f x 在点 0 f 0 处的切线方程为y 4x 4 1 求a b的值 因为f x ex ax b aex 2x 4 ex ax a b 2x 4 所以f 0 a b 4 4 又f 0 b 4 由 可得a b 4 解答 2 讨论f x 的单调性 并求f x 的极大值 解答 f x ex 4x 4 x2 4x f x ex 4x 8 2x 4 4ex x 2 2 x 2 x 2 4ex 2 解f x 0 得x1 2 x2 ln2 当x变化时 f x f x 的变化情况如下表 f x 在 2 ln2 上单调递增 在 2 ln2 上单调递减 当x 2时 函数f x 取得极大值 极大值为f 2 4 1 e 2 类型二已知函数极值求参数 例2已知f x x3 3ax2 bx a2在x 1时有极值0 求常数a b的值 解答 因为f x 在x 1时有极值0 且f x 3x2 6ax b 当a 1 b 3时 f x 3x2 6x 3 3 x 1 2 0 所以f x 在R上为增函数 无极值 故舍去 当a 2 b 9时 f x 3x2 12x 9 3 x 1 x 3 当x 3 1 时 f x 为减函数 当x 1 时 f x 为增函数 所以f x 在x 1时取得极小值 因此a 2 b 9 引申探究若本例的条件改为 x 3 x 1是f x x3 3ax2 bx a2的两个极值点 求常数a b的值 解答 反思与感悟 已知函数极值的情况 逆向应用确定函数的解析式时 应注意以下两点 1 根据极值点处导数为0和极值两个条件列方程组 利用待定系数法求解 2 因为导数值为0不是此点为极值点的充要条件 所以利用待定系数法求解后必须验证根的合理性 跟踪训练2已知函数f x ax3 bx2 cx在x x0处取得极大值5 其导函数y f x 的图象经过点 1 0 2 0 如图所示 求 1 x0的值 解答 由图象可知 在区间 1 上f x 0 在区间 1 2 上f x 0 在区间 2 上f x 0 故f x 在 1 2 上单调递增 在 1 2 上单调递减 因此f x 在x 1处取得极大值 所以x0 1 2 a b c的值 f x 3ax2 2bx c 由f 1 0 f 2 0 f 1 5 解答 类型三函数极值的综合应用 例3设函数f x x3 6x 5 x R 1 求函数f x 的单调区间和极值 解答 f x 3x2 6 令f x 0 2 若关于x的方程f x a有三个不同的实根 求实数a的取值范围 解答 由 1 的分析知 y f x 的图象的大致形状及走向如图所示 直线y a与y f x 的图象有三个不同的交点 即方程f x a有三个不同的实根 反思与感悟 利用导数可以判断函数的单调性 研究函数的极值情况 并能在此基础上画出函数的大致图象 从直观上判断函数图象与x轴的交点或两个函数图象的交点的个数 从而为研究方程根的个数问题提供了方便 解答 由f x x3 6x2 9x 3 可得f x 3x2 12x 9 x2 x 3 m 则由题意可得x3 6x2 9x 3 x2 x 3 m有三个不相等的实根 即g x x3 7x2 8x m的图象与x轴有三个不同的交点 g x 3x2 14x 8 3x 2 x 4 当x变化时 g x g x 的变化情况如下表 当堂训练 1 2 3 4 5 1 如图为y f x 的导函数的图象 则下列判断正确的是 f x 在 3 1 上为增函数 x 1是f x 的极小值点 f x 在 2 4 上为减函数 在 1 2 上是增函数 x 2是f x 的极小值点 A B C D 答案 解析 1 2 3 4 5 当x 3 1 时 f x 0 所以f x 在 3 1 上为减函数 在 1 2 上为增函数 故 不正确 x 1是f x 的极小值点 故 正确 当x 2 4 时 f x 0 f x 是减函数 故 正确 x 2是f x 的极大值点 故 不正确 1 2 3 4 5 由f x x2 4 0 得x1 2 x2 2 函数f x 的极大值与极小值的和为f 2 f 2 8 解析 答案 1 2 3 4 5 因为f x 3x2 2ax 3 则f 3 3 3 2 2a 3 3 0 所以a 5 3 函数f x x3 ax2 3x 9 已知f x 在x 3时取得极值 则a等于A 2B 3C 4D 5 答案 解析 1 2 3 4 5 f x 3x2 2ax a 6 因为f x 既有极大值又有极小值 所以 2a 2 4 3 a 6 0 解得a 6或a 3 4 已知f x x3 ax2 a 6 x 1有极大值和极小值 则a的取值范围为A 12D a6 答案 解析 1 2 3 4 5 解答 1 2 3 4 5 2 判断f x 的单调区间 并求极值 解答 1 2 3 4 5 令f x 0 解得x 1 当x变化时 f x f x 的变化情况如下表 1 2 3 4 5 f x 的单调递减区间为 0