高中数学 第三章 基本初等函数（ⅰ）3_1_2 指数函数（二）课件 新人教b版必修1

3 1 2指数函数 二 第三章 3 1指数与指数函数 学习目标1 掌握指数函数与其他函数复合所得的函数单调区间的求法及单调性的判断 2 能借助指数函数性质比较大小 3 会解简单的指数方程 不等式 4 了解与指数函数相关的函数奇偶性的判断方法 题型探究 问题导学 内容索引 当堂训练 问题导学 思考 知识点一不同底指数函数图象的相对位置 y 2x与y 3x都是增函数 都过点 0 1 在同一坐标系内如何确定它们两个的相对位置 答案 答案经描点观察 在y轴右侧 2x 3x 即y 3x图象在y 2x上方 经 0 1 点交叉 位置在y轴左侧反转 y 2x在y 3x图象上方 一般地 在同一坐标系中有多个指数函数图象时 图象的相对位置与底数大小有如下关系 梳理 1 在y轴右侧 图象从上到下相应的底数由大变小 在y轴左侧 图象从下到上相应的底数由大变小 即无论在y轴的左侧还是右侧 底数按逆时针方向变大 这一性质可通过令x 1时 y a去理解 如图 2 指数函数y ax与y a 0且a 1 的图象关于y轴对称 思考 知识点二比较幂的大小 若x1 x2 则a与a a 0且a 1 的大小关系如何 答案 答案当a 1时 y ax在R上为增函数 所以ax1 ax2 当0 a 1时 y ax在R上为减函数 所以ax1 ax2 x1 x2 梳理 比较幂大小的方法 1 对于同底数不同指数的两个幂的大小 利用指数函数的性来判断 2 对于底数不同指数相同的两个幂的大小 利用指数函数的的变化规律来判断 3 对于底数不同 指数也不同的两个幂的大小 则通过来判断 单调 图象 中间值 思考 知识点三解指数方程 不等式 若 则x1 x2的大小关系如何 答案 答案当f x 在区间 m n 上单调递增 减 时 若x1 x2 m n 则f x1 f x2 x1 x2 x1 x2 所以 当0 a 1时 x1 x2 当a 1时 x1 x2 此原理可用于解指数方程 不等式 梳理 简单指数不等式的解法 1 形如af x ag x 的不等式 可借助y ax的求解 2 形如af x b的不等式 可将b化为以a为底数的指数幂的形式 再借助y ax的求解 3 形如ax bx的不等式 可借助两函数y ax y bx的图象求解 单调性 单调性 知识点四与指数函数复合的函数单调性 思考 答案 形如y af x a 0 且a 1 的函数的性质 1 函数y af x 与函数y f x 有的定义域 2 当a 1时 函数y af x 与y f x 具有的单调性 当0 a 1时 函数y af x 与函数y f x 的单调性 相同 梳理 相同 相反 题型探究 例1解下列关于x的方程 解答 类型一解指数方程 32x 4 3 2 x 2 2x 4 2 x 2 x 2 解答 2 22x 2 3 2x 1 0 解 22x 2 3 2x 1 0 4 2x 2 3 2x 1 0 令t 2x t 0 则方程可化为4t2 3t 1 0 1 af x b型通常化为同底来解 2 解指数方程时常用换元法 用换元法时要特别注意 元 的范围 转化为解二次方程 用二次方程求解时 要注意二次方程根的取舍 反思与感悟 跟踪训练1解下列方程 1 33x 2 81 解答 解 81 34 33x 2 34 3x 2 4 解得x 2 3 52x 6 5x 5 0 解答 解令t 5x 则t 0 原方程可化为t2 6t 5 0 解得t 5或t 1 即5x 5或5x 1 x 1或x 0 命题角度1比较大小例2比较下列各题中两个值的大小 1 1 7 2 5 1 7 3 类型二指数函数单调性的应用 解答 解 1 7 1 y 1 7x在 上是增函数 2 5 3 1 7 2 5 1 7 3 2 1 70 3 1 50 3 解答 解方法一 1 7 1 5 在 0 上 y 1 7x的图象位于y 1 5x的图象的上方 而0 3 0 1 70 3 1 50 3 1 70 3 1 50 3 3 1 70 3 0 83 1 解答 解 1 70 3 1 70 1 0 83 1 0 80 1 1 70 3 0 83 1 当两个数不能利用同一函数的单调性作比较时 可考虑引入中间量 常用的中间量有0和 1 反思与感悟 跟踪训练2比较下列各题中的两个值的大小 1 0 8 0 1 1 250 2 解答 解 0 0 8 1 y 0 8x在R上是减函数 0 2 0 1 0 8 0 2 0 8 0 1 即0 8 0 1 1 250 2 解答 命题角度2解指数不等式例3解关于x的不等式 a2x 1 ax 5 a 0 且a 1 解答 解 1 当01时 a2x 1 ax 5 2x 1 x 5 解得x 6 综上所述 当01时 不等式的解集为 x x 6 解指数不等式的基本方法是先化为同底指数式 再利用指数函数单调性化为常规的不等式来解 注意底数对不等号方向的影响 反思与感悟 跟踪训练3已知 a2 a 2 x a2 a 2 1 x 则x的取值范围是 答案 解析 命题角度3与指数函数复合的单调性问题例4 1 求函数y 的单调区间 解答 在 3 上 y x2 6x 17是减函数 在 3 上 y x2 6x 17是增函数 解答 同理可得减区间是 2 复合函数单调性问题归根结底是由x1 x2到f x1 与f x2 的大小 再到g f x1 与g f x2 的大小关系问题 反思与感悟 跟踪训练4求下列函数的单调区间 1 y 解答 解设y au u x2 2x 3 由u x2 2x 3 x 1 2 4 得u在 1 上为减函数 在 1 上为增函数 当a 1时 y关于u为增函数 当01时 原函数的增区间为 1 减区间为 1 当0 a 1时 原函数的增区间为 1 减区间为 1 解答 解已知函数的定义域为 x x 0 而根据y 的图象可知在区间 1 和 1 上 y是关于u的减函数 原函数的增区间为 1 和 1 当堂训练 1 若a 0 5 b 0 5 c 0 5 则a b c的大小关系是A a b cB a b cC a c bD b c a 答案 2 3 4 5 1 解析 2 方程42x 1 16的解是 答案 2 3 4 5 1 解析 3 函数f x 的单调递增区间为A 0 B 0 C 1 D 1 答案 2 3 4 5 1 解析 f x 的单调递增区间为u x x2 1的单调递减区间 即 0 4 设0 a 1 则关于x的不等式的解集为 答案 2 3 4 5 1 解析 解析 0 a 1 y ax在R上是减函数 1 又 2x2 3x 2 2x2 2x 3 解得x 1 5 若指数函数y ax在 1 1 上的最大值与最小值的差是1 则底数a 解析若0 a 1 则a 1 a 1 即a2 a 1 0 若a 1 则a a 1 1 即a2 a 1 0 答案 解析 2 3 4 5 1 规律与方法 1 比较两个指数式值的大小的主要方法 1 比较形如am与an的大小 可运用指数函数y ax的单调性 2 比较形如am与bn的大小 一般找一个 中间值c 若amc且c bn 则am bn 2 解简单指数不等式问题的注意点 1 形如ax ay的不等式 可借助y ax的单调性求解 如果a的值不确定 需分01两种情况进行讨论 2 形如ax b的不等式 注意将b化为以a为底的指数幂的形式 再借助y