【步步高】高三数学大一轮复习 12.3几何概型教案 理 新人教A版 .DOC

12.3几何概型2014高考会这样考1.以小题形式考查与长度或面积有关的几何概型；2.和平面几何、函数、向量相结合考查几何概型，题组以中低档为主复习备考要这样做1.准确理解几何概型的意义，会构造度量区域；2.把握与古典概型的联系和区别，加强与数学其他知识的综合训练1 几何概型如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称为几何概型2 几何概型中，事件a的概率计算公式p(a).3 要切实理解并掌握几何概型试验的两个基本特点(1)无限性：在一次试验中，可能出现的结果有无限多个；(2)等可能性：每个结果的发生具有等可能性难点正本疑点清源1 几何概型的试验中，事件a的概率p(a)只与子区域a的几何度量(长度、面积或体积)成正比，而与a的位置和形状无关2 求试验中几何概型的概率，关键是求得事件所占区域和整个区域的几何度量，然后代入公式即可求解3 几何概型的两种类型(1)线型几何概型：当基本事件只受一个连续的变量控制时(2)面型几何概型：当基本事件受两个连续的变量控制时，一般是把两个变量分别作为一个点的横坐标和纵坐标，这样基本事件就构成了平面上的一个区域，即可借助平面区域解决1 在区间1,2上随机取一个数x，则x0，1的概率为_答案解析如图，这是一个长度型的几何概型题，所求概率p.2 点a为周长等于3的圆周上的一个定点，若在该圆周上随机取一点b，则劣弧的长度小于1的概率为_答案解析如图可设l1，则由几何概型可知其整体事件是其周长3，则其概率是.3 已知直线yxb，b2,3，则直线在y轴上的截距大于1的概率是_答案解析区域d为区间2,3，d为区间(1,3，而两个区间的长度分别为5,2.故所求概率p.4 一个路口的红绿灯，红灯的时间为30秒，黄灯的时间为5秒，绿灯的时间为40秒，则某人到达路口时看见的是红灯的概率是 ()a. b. c. d.答案b解析以时间的长短进行度量，故p.5 (2012湖北)如图，在圆心角为直角的扇形oab中，分别以oa，ob为直径作两个半圆在扇形oab内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是 ()a1b.c.d.答案a解析方法一设分别以oa，ob为直径的两个半圆交于点c，oa的中点为d，如图，连接oc，dc.不妨令oaob2，则oddadc1.在以oa为直径的半圆中，空白部分面积s1111，所以整体图形中空白部分面积s22.又因为s扇形oab22，所以阴影部分面积为s32.所以p1.方法二连接ab，由s弓形acs弓形bcs弓形oc可求出空白部分面积设分别以oa，ob为直径的两个半圆交于点c，令oa2.由题意知cab且s弓形acs弓形bcs弓形oc，所以s空白soab222.又因为s扇形oab22，所以s阴影2.所以p1.题型一与长度有关的几何概型例1在集合am|关于x的方程x2mxm10无实根中随机地取一元素m，恰使式子lg m有意义的概率为_思维启迪：通过转化集合a和lg m有意义将问题转化成几何概型答案解析由m240得1m4.即am|1m0，即使lg m有意义的范围是(0,4)，故所求概率为p.探究提高解答几何概型问题的关键在于弄清题中的考察对象和对象的活动范围当考察对象为点，点的活动范围在线段上时，用线段长度比计算；当考察对象为线时，一般用角度比计算事实上，当半径一定时，由于弧长之比等于其所对应的圆心角的度数之比，所以角度之比实际上是所对的弧长(曲线长)之比在半径为1的圆内一条直径上任取一点，过这个点作垂直于直径的弦，则弦长超过圆内接等边三角形边长的概率是_答案解析记事件a为“弦长超过圆内接等边三角形的边长”，如图，不妨在过等边三角形bcd的顶点b的直径be上任取一点f作垂直于直径的弦，当弦为cd时，就是等边三角形的边长(此时f为oe中点)，弦长大于cd的充要条件是圆心o到弦的距离小于of，由几何概型公式得：p(a).题型二与面积有关的几何概型例2设有关于x的一元二次方程x22axb20.(1)若a是从0,1,2,3四个数中任取的一个数，b是从0,1,2三个数中任取的一个数，求上述方程有实根的概率；(2)若a是从区间0,3任取的一个数，b是从区间0,2任取的一个数，求上述方程有实根的概率思维启迪：(1)为古典概型，利用列举法求概率(2)建立ab平面直角坐标系，将问题转化为与面积有关的几何概型解设事件a为“方程x22axb20有实根”当a0，b0时，方程x22axb20有实根的充要条件为ab.(1)基本事件共有12个：(0,0)，(0,1)，(0,2)，(1,0)，(1,1)，(1,2)，(2,0)，(2,1)，(2,2)，(3,0)，(3,1)，(3,2)其中第一个数表示a的取值，第二个数表示b的取值事件a中包含9个基本事件，事件a发生的概率为p(a).(2)试验的全部结果所构成的区域为(a，b)|0a3,0b2，构成事件a的区域为(a，b)|0a3,0b2，ab，所以所求的概率为p(a).探究提高数形结合为几何概型问题的解决提供了简捷直观的解法用图解题的关键：用图形准确表示出试验的全部结果所构成的区域，由题意将已知条件转化为事件a满足的不等式，在图形中画出事件a发生的区域，通用公式：p(a).抛掷一个质地均匀的、每个面上标有一个数字的正方体玩具，它的六个面中，有两个面标的数字是0，两个面标的数字是2，两个面标的数字是4，将此玩具连续抛掷两次，以两次朝上一面的数字分别作为点p的横坐标和纵坐标(1)求点p落在区域c：x2y210内的概率；(2)若以落在区域c上的所有点为顶点作面积最大的多边形区域m，在区域c上随机撒一粒豆子，求豆子落在区域m上的概率解(1)以0、2、4为横、纵坐标的点p共有(0,0)、(0,2)、(0,4)、(2,0)、(2,2)、(2,4)、(4,0)、(4,2)、(4,4)共9个，而这些点中，落在区域c内的点有：(0,0)、(0,2)、(2,0)、(2,2)共4个，所求概率为p.(2)区域m的面积为4，而区域c的面积为10，所求概率为p.题型三与角度、体积有关的几何概型例3如图所示，在abc中，b60，c45，高ad，在bac内作射线am交bc于点m，求bm1的概率思维启迪：根据“在bac内作射线am”可知，本题的测度是角度解因为b60，c45，所以bac75，在rtabd中，ad，b60，所以bd1，bad30.记事件n为“在bac内作射线am交bc于点m，使bm1”，则可得bambad时事件n发生由几何概型的概率公式，得p(n).探究提高几何概型的关键是“测度”，如本题条件若改成“在线段bc上找一点m”，则相应的测度变成线段的长度一只蜜蜂在一个棱长为30的正方体玻璃容器内随机飞行若蜜蜂在飞行过程中始终保持与正方体玻璃容器的6个表面的距离均大于10，则飞行是安全的，假设蜜蜂在正方体玻璃容器内飞行到每一个位置的可能性相同，那么蜜蜂飞行是安全的概率为()a. b. c. d.答案c解析由题意，可知当蜜蜂在棱长为10的正方体区域内飞行时才是安全的，所以由几何概型的概率计算公式，知蜜蜂飞行是安全的概率为.转化与化归思想在概率中的应用典例：(12分)已知向量a(2,1)，b(x，y)(1)若x1,0,1,2，y1,0,1，求向量ab的概率；(2)若x1,2，y1,1，求向量a，b的夹角是钝角的概率审题视角(1)向量ab转化为x2y，而x、y的值均为有限个，可以直接列出，转化为古典概型问题；(2)和(1)中条件类似，但x、y的值有无穷多个，应转化为几何概型问题规范解答解(1)设“ab”为事件a，由ab，得x2y.基本事件空间为(1，1)，(1,0)，(1,1)，(0，1)，(0,0)，(0,1)，(1，1)，(1,0)，(1,1)，(2，1)，(2,0)，(2,1)，共包含12个基本事件；3分其中a(0,0)，(2,1)，包含2个基本事件则p(a)，即向量ab的概率为.5分(2)设“a，b的夹角是钝角”为事件b，由a，b的夹角是钝角，可得ab0，即2xy0，且x2y.7分基本事件空间为，b，10分则p(b)，即向量a，b的夹角是钝角的概率是.12分温馨提醒(1)对含两个变量控制的概率问题，若两个变量取值有限个，可转化为古典概型；若取值无穷多个，则可转化为几何概型问题(2)本题错误的主要原因是不能将问题化归为几何概型问题，找不到问题的切入点所以要注意体会和应用转化与化归思想在解决几何概型中的作用.方法与技巧1 区分古典概型和几何概型最重要的是看基本事件的个数是有限个还是无限多个2 转化思想的应用对一个具体问题，可以将其几何化，如建立坐标系将试验结果和点对应，然后利用几何概型概率公式失误与防范1 准确把握几何概型的“测度”是解题关键；2 几何概型中，线段的端点、图形的边框是否包含在事件之内不影响所求结果a组专项基础训练(时间：35分钟，满分：57分)一、选择题(每小题5分，共20分)1 (2012辽宁)在长为12 cm的线段ab上任取一点c.现作一矩形，邻边长分别等于线段ac，cb的长，则该矩形面积小于32 cm2的概率为 ()a. b. c. d.答案c解析设acx，cb12x，所以x(12x)32，解得x8.所以p.2 (2012北京)设不等式组表示的平面区域为d，在区域d内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离大于2的概率是 ()a. b. c. d.答案d解析如图所示，正方形oabc及其内部为不等式组表示的区域d，且区域d的面积为4，而阴影部分表示的是区域d内到坐标原点的距离大于2的区域易知该阴影部分的面积为4.因此满足条件的概率是.3 点p在边长为1的正方形abcd内部运动，则点p到顶点a的距离|pa|1的概率为()a. b. c. d答案a解析由题意可知，点p到顶点a的距离|pa|1的区域为以点a为圆心，以1为半径的圆的四分之一，它对应的面积为，所以所求概率为.4 在区间1,1上随机取一个数x，则sin 的值介于与之间的概率为()a. b. c. d.答案d解析1x1，.由sin ，得，即x1.故所求事件的概率为.二、填空题(每小题5分，共15分)5 平面内有一组平行线，且相邻平行线间的距离为3 cm，把一枚半径为1 cm的硬币任意投掷在这个平面内，则硬币不与任何一条平行线相碰的概率是_答案解析如图所示，当硬币中心落在阴影区域时，硬币不与任何一条平行线相碰，故所求概率为.6 设p在0,5上随机地取值，则方程x2px0有实根的概率为_答案解析一元二次方程有实数根0，而p24(p1)(p2)，解得p1或p2，故所求概率为p.7 在区间，内随机取两个数分别记为a，b，则使得函数f(x)x22axb2有零点的概率为_答案解析根据函数f(x)x22axb2有零点得4a24(b2)0，即a2b2，建立如图所示的平面直角坐标系，则试验的全部结果构成的区域为正方形abcd及其内部，使函数f(x)有零点的区域为图中阴影部分，且s阴影42232.故所求概率为p.三、解答题(共22分)8 (10分)已知正方体abcda1b1c1d1的棱长为1，在正方体内随机取点m，求使四棱锥mabcd的体积小于的概率解如图，正方体abcda1b1c1d1.设mabcd的高为h，则sabcdh，又sabcd1，h0且1，即2ba.依条件，可知试验的全部结果所构成的区域为.构成所求事件的区域为.由得交点坐标为，所以所求事件的概率为p.b组专项能力提升(时间：25分钟，满分：43分)一、选择题(每小题5分，共15分)1 在区间0,1上任取两个数a，b，则函数f(x)x2axb2无零点的概率为()a. b. c. d.答案c解析要使该函数无零点，只需a24b20，即(a2b)(a2b)0，a2br，故所求的概率p(a).3 (2012陕西)如图所示是用模拟方法估计圆周率值的程序框图，p表示估计结果，则图中空白框内应填入()ap bpcp dp答案d解析xi，yi为01之间的随机数，构成以1为边长的正方形面，当xy1时，点(xi，yi)均落在以原点为圆心，以1为半径且在第一象限的圆内，当xy1时对应点落在阴影部分中(如图所示)有，n4mm，(mn)4m，.二、填空题(每小题5分，共15分)4 在区间0,1上随意选择两个实数x，y，则使1成立的概率为_答案解析d为直线x0，x1，y0，y1围成的正方形区域，而由1，即x2y21(x0，y0)知d为单位圆在第一象限内部分(四分之一个圆)，故所求概率为.5 (2011江西)小波通过做游戏的方式来确定周末活动，他随机地往单位圆内投掷一点，若此点到圆心的距离大于，则周末去看电影；若此点到圆心的距离小于，则去打篮球；否则，在家看书则小波周末不在家看书的概率为_答案解析去看电影的概率p1，去打篮球的概率p2，不在家看书的概率为p.6 如图所示，在单位圆o的某一直径上随机地取一点q，则过点q且与该直径垂直的弦长长度不超过1的概率是_答案1解析弦长不超过1，即|oq|，而q点在直径ab上是随机的，事件a弦长超过1由几何概型的概率公式得p(a).弦长不超过1的概率为1p(a)1.三、解答题7 (13分)设ab6，在线段ab上任取两点(端点a、b除外)，将线段ab分成了三条线段，