数列求和及数列实际问题.doc

数列求和及数列实际问题【知识要点】1探索并掌握一些基本的数列求前n项和的方法；2能在具体的问题情境中，发现数列的数列的通项和递推关系，并能用有关等差、等比数列知识解决相应的实际问题.【知识梳理】1数列求和的常用方法（1）公式法：适用于等差、等比数列或可转化为等差、等比数列的数列；（2）裂项相消法：适用于其中 是各项不为0的等差数列，c为常数；部分无理数列、含阶乘的数列等；常见裂项：、 =、nn！=(n+1)!n!、 、 =等.（3）错位相减法：适用于其中 是等差数列，是各项不为0的等比数列.常用错项相消法., 其中是等差数列， 是等比数列，记，则，（4）倒序相加法：类似于等差数列前n项和公式的推导方法.（5）分组求和法（6）累加（乘）法等.2常用结论（1）1+2+3+.+n =_. （2）1+3+5+.+(2n-1) =_. （3）_. （4） _. （5）_; （6）_.【典型例题】例1（1）求.（2）数列为等差数列，且公差不为0，首项也不为0，求和：解 , =.例2、设a为常数，求数列a，2a2，3a3，nan，的前n项解析：若a=0时，Sn=0；若a=1，则Sn=1+2+3+n=；若a1，a0时，Sn-aSn=a（1+a+an-1-nan），Sn=.和.例3、数列的通项，其前n项和为. (1) 求解: (1) 由于,故,故 (); (2) 求数列的前n项(2) 两式相减得故 和. 例4(1)求 推广到一般：设数列是公差为，且首项为的等差数列解：因为，.，求和：例5、某企业进行技术改造，有两种方案，甲方案：一次性贷款10万元，第一年便可获利1万元，以后每年比前一年增加30%的利润；乙方案：每年贷款1万元，第一年可获利1万元，以后每年比前一年增加5千元；两种方案的使用期都是10年，到期一次性归还本息. 若银行两种形式的贷款都按年息5%的复利计算，试比较两种方案中，哪种获利更多解：甲方案是等比数列，乙方案是等差数列，甲获利：（万元），银行贷款本息：（万元），故甲纯利：（万元），乙获利：（万元）；银行本息和：（万元）故乙方案纯利：（万元）；综上可知，甲方案更好.？ （取）【基础训练】1、若数列an的通项公式为，求其前n项和Sn2、求解析：， .3、求数列1，3+5，7+9+11，13+15+17+19，前n项和解：前n项中共有个奇数，故.4、求数列的前n项和解：数列的通项为：所以：.5、证明：(1)等差数列中，Sm+n=Sm+Sn+mnd； (2)等比数列中，Sm+n=Sn+qnSm=Sm+qmSn；6、设数列的前n项和=，求解：=，得=， =+（） =+，两边同乘以，得=+2， 是首项为1公差为2的等差数列， =2+=，解得： =.例5.【能力提高】一、填空题1、一条信息，若一人得知后，一小时内将信息传给两人，这两人又在一小时内各传给未知信息的另外两人如此下去，要传遍55人的班级所需时间大约为_小时5解 n小时后有2n人得知，总数为1+2+22+2n=2n+1155即2n+156n+16n5 2、已知 （nN*），则数列的最大项为_ 3、等比数列公比, =1，则其前4项和【解析】由得：，即，解得：q2，又=1，所以，= . 4、在数列an中，a1=1，an=an1+an2+a2+a1（nN*，n2），则通项公式是an=解 由an=an1+an2+a2+a1=Sn1（n2），又an=SnSn1=an1an=2（n2），由a2=a1=1，an=2n2（n2），an=_ 5、已知成等比数列，如果和都成等差数列，则2_.6、等差数列an、bn前n项和分别为Sn和Tn，满足=，则等于_.7、已知数列an满足a1+2a2+3a3+nan=n(n+1)(n+2)，则它的前n项和Sna1+2a2+3a3+nan=n(n+1)(n+2) a1+2a2+3a3+(n-1)an-1 =(n-1)n(n+1) 由-得nan=n(n+1)(n+2-n+1)an=3n+3=6+3(n-1), a1=6，d=3. Sn=6n+3=(n2+3n).=_.8、等差数列前n项和为，若，,则10_.1357151311917192123312927259、将正奇数按如下规律填在5列的数表中：则2007排在该表的第 行，第 列（行是从上往下数，列是从左往右数第251行，第5列. 解：仔细观察可发现第1列偶数行是以15为首项，16为公差的等差数列，所以通项公式可写为，其中取正偶数，当时，数下来在第251行上有：第二个数开始分别为2001，2003，2005，2007，所以，2007排在该表的第251行，第5列.）二、选择题10、已知为偶函数，且，当时，若nN*，则（ 解：由为偶函数可得：，又由可得，所以，即的周期为4， ） A 2006 B 2006 C 2 D 11、已知数列log2(an1)（nN*）为等差数列，且a13，a25，则= D（ ）A2BC1D12、已知等比数列满足，且，则当时， C( ).A. B. C. D. 13、设等比数列 的前n 项和为 ，若 =3 ，则 = B( ) A. 2 B. C. D. 3三、解答题14、已知数列满足：（m为正整数），若，求m所有可能的取值4 5 32解 （1）若为偶数，则为偶, 故当仍为偶数时， 故当为奇数时，故得m=4。（2）若为奇数，则为偶数，故必为偶数，所以=1可得m=5.15、已知为一次函数，且、成等比数列，求Sn=的表达式解 设，则=2k+b，=5k+b，=4k+b，依题意：2= 即（5k+b）2=（2k+b）（4k+b）化简得k（17k+4b）=0 k0，b=k又=8k+b=15 将代入得k=4，b=17Sn=（4117）+（4217）+（4n17）=4（1+2+n）17n =2n215n16、某种汽车(A)购车费用10万元，(B)每年应交保险费、养路费及汽油费合计9千元，(C)汽车的维修费平均为第一年2千元，第二年4千元，第三年6千元各年的维修费平均数组成等差数列，问此种汽车使用多少年报废最合算(即使多少年，年平均费用最少解：设选择n年最合算，则年平均费用(单位：万元)为：S =(0.2+0.4+0.2n)+10+0.9n=n+10+0.9n=n+0.1n2+10=+12+1=3当且仅当=即n=10时取等号。故汽车使用10年报废最合算，年平均费用为3万元。)并分析A、B、C三笔费用分别对选择最合算的使用年限的影响。17、已知数列an的相邻两项an,an+1是方程x2-cnx+()n=0的两根(nN*)且a1=2,Sn=c1+c2+cn (1)求解：an,an+1是方程x2-cnx+()n=0的两根anan+1=()n,an+an+1=cn又 a1=2 a2=同理 an+1,an+2是方程x2-cn+1x+()n+1=0的两根an+1an+2=()n+1取立得=即a1,a3,a5是公比为的等比数列，a2,a4,a6是公比为的等比数列。当n=2k-1时a1=2 a2k-1=2()k-1,即an=2()当n=2k时，a2= a2k=()k-1,即an=()-1(1) an (2)求S2n(2)cn=an+an+1 当n为奇数时，n+1为偶数，有cn=2()+()-1 =()当n为偶数时，n+1为奇数，有cn=()-1+2()=()-1c1,c3c2n-1为首项c1=，公比为的等比数列；c2,c4c2n为首项c2=，公比为的等比数列故 S2n=c1+c2+c3+c4+c2n-1+c2n=(c1+c3+c2n-1)+(c2+c4+c2n)=+ =1-()n18、已知数列的前n项和（nN*）。（1）令，求证数列是等差数列，并求数列的解：（I