高中数学第1章导数及其应用1_3_2极大值与极小值二课件苏教版选修2_2

1 3 2极大值与极小值 二 第1章1 3导数在研究函数中的应用 学习目标1 进一步理解极值的概念 2 会应用极值解决相关问题 题型探究 知识梳理 内容索引 当堂训练 知识梳理 1 极大值与导数之间的关系 2 极小值与导数之间的关系 题型探究 解答 类型一求函数的极值 1 求a的值 由题意 曲线在x 1处的切线斜率为0 即f 1 0 2 求函数f x 的极值 解答 当x 0 1 时 f x 0 故f x 在 1 上为增函数 故f x 在x 1处取得极小值 极小值为f 1 3 1 研究函数首先要研究其定义域 2 令导函数等于零 求出使导函数等于零的自变量的值 3 正确列出表格 使区间不重不漏 界点清楚 反思与感悟 1 当a 1时 求曲线y f x 在点 1 f 1 处的切线方程 解答 即12x 2y 1 0为所求切线的方程 解答 f x x2 x 6 令f x 0 得x 2或x 3 当x变化时 f x f x 的变化状态如下表 所以f x 在 2 上是增函数 在 2 3 上是减函数 在 3 上是增函数 例2已知函数f x x3 6x2 9x 3 若函数y f x 的图象与y f x 5x m的图象有三个不同的交点 求实数m的取值范围 类型二极值的综合应用 解答 解由f x x3 6x2 9x 3 可得f x 3x2 12x 9 则由题意可得x3 6x2 9x 3 x2 x 3 m有三个不相等的实根 即g x x3 7x2 8x m的图象与x轴有三个不同的交点 g x 3x2 14x 8 3x 2 x 4 当x变化时 g x g x 的变化情况如下表 由g x 的图象与x轴有三个不同交点 极值问题的综合应用主要涉及极值的正用和逆用 以及与单调性问题的综合 题目着重考查已知与未知的转化 以及函数与方程的思想 分类讨论的思想在解题中的应用 在解题过程中 熟练掌握单调区间问题以及极值问题的基本解题策略是解决综合问题的关键 反思与感悟 跟踪训练2已知a为实数 函数f x x3 3x a 1 求函数f x 的极值 并画出其图象 草图 解答 解由f x x3 3x a 得f x 3x2 3 令f x 0 得x 1或x 1 当x 1 时 f x 0 当x 1 时 f x 0 所以函数f x 的极小值为f 1 a 2 极大值为f 1 a 2 由单调性 极值可画出函数f x 的大致图象 如图所示 这里 极大值a 2大于极小值a 2 2 当a为何值时 方程f x 0恰好有两个实数根 解答 解结合图象 当极大值a 2 0或极小值a 2 0时 曲线f x 与x轴恰有两个交点 即方程f x 0恰有两个实数根 综上 当a 2时 方程恰有两个实数根 当堂训练 1 函数f x 的定义域为开区间 a b 导函数f x 在 a b 内的图象如图所示 则函数f x 在开区间 a b 内有 个极小值 答案 2 3 4 5 1 解析 1 2 3 4 5 1 解析由图可知 在区间 a x1 x2 0 0 x3 内f x 0 在区间 x1 x2 x3 b 内f x 0 即f x 在 a x1 内单调递增 在 x1 x2 内单调递减 在 x2 x3 内单调递增 在 x3 b 内单调递减 所以 函数f x 在开区间 a b 内只有一个极小值 极小值为f x2 2 关于函数f x x3 3x2有下列命题 其中正确命题的序号是 f x 是增函数 f x 是减函数 无极值 f x 的增区间是 0 和 2 减区间是 0 2 f 0 0是极大值 f 2 4是极小值 答案 2 3 4 5 1 解析 2 3 4 5 1 解析f x 3x2 6x 令f x 0 则x 0或x 2 易知当x 0 时 f x 0 当x 0 2 时 f x 0 所以f x 的增区间是 0 和 2 减区间是 0 2 极大值是f 0 极小值是f 2 3 若函数f x x 2x在x0处有极小值 则x0 2 3 4 5 1 答案 解析 4 设函数f x 6x3 3 a 2 x2 2ax 若f x 的两个极值点为x1 x2 且x1x2 1 则实数a的值为 2 3 4 5 1 答案 解析 解析f x 18x2 6 a 2 x 2a 由已知f x1 f x2 0 从而x1x2 1 所以a 9 9 5 设函数f x 的定义域为R x0 x0 0 是f x 的极大值点 以下结论一定正确的是 填序号 x R f x f x0 x0是f x 的极小值点 x0是 f x 的极小值点 x0是 f x 的极小值点 2 3 4 5 1 答案 解析 取函数f x x x 1 2 则x 1是f x 的极大值点 但 1不是f x 的极小值点 排除 f x x x 1 2 1不是 f x 的极小值点 排除 f x 的图象与f x 的图象关于原点对称 由函数图象的对称性可得 x0应为函数 f x 的极小值点 填 2 3 4 5 1 规律与方法 1 已知函数极值情况 逆向应用 确定函数的解析式 进而研究函数性质时 需注意 1 常根据取极值点处导数为