高考数学总复习 第二章 函数 2_4 幂函数与二次函数课件 理 新人教a版

2 4幂函数与二次函数 知识梳理 考点自测 1 幂函数 1 幂函数的定义 形如 R 的函数称为幂函数 其中x是 是 2 五种幂函数的图象 y x 自变量 常数 知识梳理 考点自测 3 五种幂函数的性质 R R R 0 x x R 且x 0 R 0 R 0 y y R 且y 0 增 x 0 时 增 x 0 时 减 增 增 x 0 时 减 x 0 时 减 知识梳理 考点自测 2 二次函数 1 二次函数的三种形式一般式 顶点式 其中为顶点坐标 零点式 其中为二次函数的零点 f x ax2 bx c a 0 f x a x h 2 k a 0 h k f x a x x1 x x2 a 0 x1 x2 知识梳理 考点自测 2 二次函数的图象和性质 知识梳理 考点自测 知识梳理 考点自测 1 幂函数y x 在第一象限的两个重要结论 1 恒过点 1 1 2 当x 0 1 时 越大 函数值越小 当x 1 时 越大 函数值越大 2 研究二次函数y ax2 bx c a 0 在区间 m n m n 上的单调性与值域时 分类讨论与m或n的大小 知识梳理 考点自测 3 一元二次方程f x x2 px q 0的实根分布 方程f x 0在区间 m 内有根的充要条件为f m 0或 方程f x 0在区间 m n 内有根的充要条件为f m f n 0 方程f x 0在区间 m 内有根的充要条件为f m 0或 知识梳理 考点自测 2 3 4 1 5 答案 知识梳理 考点自测 2 3 4 1 5 答案 解析 2 教材习题改编P39A组T1 1 已知函数y x2 ax 6在内是增函数 则a的取值范围为 A a 5B a 5C a 5D a 5 知识梳理 考点自测 2 3 4 1 5 3 如图是 y xa y xb y xc在第一象限的图象 则a b c的大小关系为 A a b cB a b cC b c aD a c b 答案 解析 知识梳理 考点自测 2 3 4 1 5 A b a cB a b cC b c aD c a b 答案 解析 知识梳理 考点自测 2 3 4 1 5 5 若幂函数的图象不经过原点 则实数m的值为 答案 解析 考点1 考点2 考点3 例1 1 若幂函数y f x 的图象经过点 4 2 则幂函数y f x 的图象是 2 已知幂函数f x n2 2n 2 n Z 的图象关于y轴对称 且在 0 内是减函数 则n的值为 A 3B 1C 2D 1或2 答案 解析 考点1 考点2 考点3 思考幂函数与指数函数有怎样的区别 幂函数有哪些重要的性质 解题心得1 幂函数中底数是自变量 指数是常数 而指数函数中底数是常数 指数是自变量 2 幂函数的主要性质 1 幂函数在 0 内都有定义 幂函数的图象都过定点 1 1 2 当 0时 幂函数的图象经过点 1 1 和 0 0 且在 0 内单调递增 3 当 1时 曲线下凸 当0 1时 曲线上凸 当 0时 曲线下凸 考点1 考点2 考点3 答案 解析 考点1 考点2 考点3 例2已知二次函数f x 满足f 2 1 f 1 1 且f x 的最大值是8 求f x 的解析式 考点1 考点2 考点3 考点1 考点2 考点3 方法三 由已知f x 1 0的两根为x1 2 x2 1 故可设f x 1 a x 2 x 1 即f x ax2 ax 2a 1 又函数的最大值为8 因此所求函数的解析式为f x 4x2 4x 7 考点1 考点2 考点3 思考求二次函数的解析式时如何选取恰当的表达形式 解题心得根据已知条件确定二次函数的解析式 一般用待定系数法 选择规律如下 1 已知三个点的坐标 宜选用一般式 2 已知顶点坐标 对称轴 最大 小 值等 宜选用顶点式 3 已知图象与x轴的两个交点坐标 宜选用交点式 考点1 考点2 考点3 对点训练2已知二次函数f x 有两个零点0和 2 且它有最小值 1 则f x 的解析式为 答案 解析 考点1 考点2 考点3 考向1二次函数在闭区间上的最值问题例3 1 已知函数f x x2 2ax 1 a在区间 0 1 上有最大值2 则a的值为 2 若函数y x2 2x 3在区间 0 m 上有最大值3 最小值2 则m的取值范围为 思考如何求二次函数在含参数的闭区间上的最值 答案 1 1或2 2 1 2 考点1 考点2 考点3 解析 1 函数f x x2 2ax 1 a x a 2 a2 a 1 对称轴方程为x a 当a1时 f x max f 1 a 则a 2 综上可知 a 1或a 2 2 作出函数y x2 2x 3的图象如图所示 由图象可知 要使函数在区间 0 m 上取得最小值2 则1 0 m 从而m 1 当x 0时 y 3 当x 2时 y 3 所以要使函数取得最大值为3 则m 2 故所求m的取值范围为 1 2 考点1 考点2 考点3 考向2与二次函数有关的存在性问题例4已知函数f x x2 2x g x ax 2 a 0 对任意的x1 1 2 都存在x0 1 2 使得g x1 f x0 则实数a的取值范围是 思考如何理解本例中对任意的x1 1 2 都存在x0 1 2 使得g x1 f x0 答案 解析 考点1 考点2 考点3 考向3与二次函数有关的恒成立问题例5 1 已知函数f x x2 mx 1 若对于任意x m m 1 都有f x x k在区间 3 1 上恒成立 则k的取值范围为 思考由不等式恒成立求参数取值范围的解题思路是什么 答案 解析 考点1 考点2 考点3 考向4与二次函数有关的零点分布问题例6已知方程x2 k 2 x 2k 1 0的两根中 一根在0和1之间 另一根在1和2之间 则实数k的取值范围是 思考已知与二次函数有关的零点分布 如何求参数的取值范围 答案 解析 考点1 考点2 考点3 解题心得1 二次函数在闭区间上的最值主要有三种类型 轴定区间定 轴动区间定 轴定区间动 不论哪种类型 解决的关键是考虑对称轴与区间的关系 当含有参数时 要依据对称轴与区间的关系进行分类讨论 当确定了对称轴和区间的关系 就明确了函数的单调性 从而确定函数的最值 2 已知函数f x g x 若对任意的x1 a b 都存在x0 a b 使得g x1 f x0 求g x 中参数的取值范围 说明g x1 在 a b 上的取值范围是f x0 在 a b 上的取值范围的子集 即 考点1 考点2 考点3 3 由不等式恒成立求参数取值范围的思路及关键 1 一般有两种解题思路 一是分离参数 将问题归结为求函数的最值 二是不分离参数 通常结合函数图象寻求使不等式恒成立的条件 2 两种思路都比较简便 至于用哪种方法 关键是看参数是否已分离 4 已知与二次函数有关的零点分布求参数的取值范围 主要采取数形结合的方法 通过二次函数的图象的开口方向 对称轴 特殊点对应的函数值等列出满足题意的不等式 解不等式得参数的取值范围 考点1 考点2 考点3 对点训练3 1 若函数f x x2 ax a在 0 2 上的最大值为1 则实数a等于 A 1B 1C 2D 2 2 已知a是实数 函数f x 2ax2 2x 3在 1 1 上的值恒小于零 则a的取值范围为 3 已知f x x2 2x 4 g x ax a 0 且a 0 若对任意的x1 1 2 都存在x2 1 2 使得f x1 g x2 成立 则实数a的取值范围是 4 若关于x的方程ax2 a 1 x a2 4 0的两根满足一个根大于1 另一个根小于1 则a的取值范围是 考点1 考点2 考点3 考点1 考点2 考点3 3 由题意知g x 在 1 2 上的最大值大于f x 在 1 2 上的最大值 f x 在 1 2 上单调递增 当x 2时 f x max 4 4 设f x ax2 a 1 x a2 4 关于x的方程ax2 a 1 x a2 4 0的一个根大于1 一个根小于1 则a 0 f 1 0 当a 0时 由f 1 a a 1 a2 40 得a 3 综上所述 实数a的取值范围是 3 0 1 考点1 考点2 考点3 1 幂函数y x R 的图象的特征 当 0时 图象过原点和点 1 1 在第一象限内从左到右图象逐渐上升 当 0时 图象过点 1 1 但不过原点 在第一象限内从左到右图象逐渐下降 2 求二次函数的解析式时 应根据题目给出的条件 选择恰当的表示形式 3 恒成立 与 存在性 问题的求解是 互补 关系 即f x g a