数值计算方法教案5-1.doc

第5章 多项式逼近与曲线拟合教学目的 1. 理解连续函数空间，正交多项式理论；2. 掌握最佳平方逼近及最小二乘逼近函数的求解方法；3. 理解非线性模型举例的有关知识的基础上会求模型的逼近函数。教学重点及难点 重点是最佳平方逼近及最小二乘逼近函数的求解。难点是会求非线性模型的逼近函数。教学时数 6学时教学过程1 引言在科学计算中有下述两类逼近问题。1关于数学函数的逼近问题由于电子计算机只能做算术运算，因此，在计算机上计算数学函数（例如等在有限区间上计算）必须用其他简单的函数来逼近（例如用多项式或有理分式来逼近数学函数，）且用它来代替原来精确的数学函数的计算。这种函数逼近的特点是：（a）要求是高精度逼近；（b）要快速计算（计算量越小越好）。2建立实验数据的数学模型给定函数的实验数据，需要用较简单和合适的函数来逼近（或拟合实验数据）。例如，已知实验数据希望建立数学模型（近似表达式），这种逼近的特点是：（a）适度的精度是需要的；（b）实验数据有小的误差；（c）对于某些问题，可能有某些特殊的信息能够用来选择实验数据的数学模型。事实上，我们已经学过一些用多项式逼近一个函数的问题，例如（1）用在点Taylor多项式逼近函数设在a,b上各阶导数存在且连续，则有 其中在和之间。于是，可用次多项式）来逼近，即且误差为：且当时，则有误差估计显然有：说明是利用在处函数值及各阶导数值来摸拟的性质，且当越接近于，误差就越小，越偏离，误差就越大。由此，在a,b上要提高逼近的精度，就要提高的次数，这就使得计算量增大。（2）用插值多项式逼近函数设已知则存在唯一次插值多项式使其中且互不相同，于是可作为近似函数，即 插值多项式逼近也是利用个点上的函数值来模似的性质，在个节点上逼近无误差，当时，逼近，也可能使误差较大。如果实际问题要求：对（其中是给定精度要求），用插值多项式去逼近就可能失败。例1 设，试考查用4次Taylor多项式逼近的误差。解 用在展开的4次Taylor多项式逼近；其中在和0之间。于是有误差估计： 且有当误差随增加（）而增加（对同理可说明），说明误差在整个区间-1，1不是均匀分布，如图3-1。现提出下述函数逼近问题。问题：设为上连续函数，寻求一个近似函数（多项式）使在上均匀逼近。下面给出最佳逼近的数学提法： A: 为上实连续函数; A是结构复杂难于计算的连续函数类B: 为实数；B为较简单且便于计算的函数类，例如为代数多项式或三角项式或分式有理函数等。设给定要求在B中寻求一个函数使误差-在某种度量意义下最小。1 最佳一致逼近设给定作为度量误差-的“大小”标准，寻求次数的多项式使最大误差最小，即如果这样多项式存在，称为在上次最佳一致逼近多项式。这个逼近问题近问题称炒最佳一致逼近（或称为Chebyshev逼近，或称为极大极小逼近）。在理论上可以证明，对任意的上连续函数的次最佳一致逼近多项式存有且唯一。最佳一致逼近主要用于初等函数的计算。2最佳平方逼近以均方误差作为度量误差-的大小“标准， 寻求使均方误差最小，即 = 其中为权函数。如果这样的多项式存在，称为在中的最佳平方逼近多项式。这种逼近问题称为最佳平方逼近。对于离散数据的逼近问题有：3 最小二乘逼近如果仅仅在有限个点上给定，即已知实验数据寻求次数多项式使编差平方（或带权）和最小，即如果这样的多项式存在，称为实验数据的最小二乘逼近函数或称为实验数据的最小二乘拟合多项式或称为的经验公式（数学模型）。对于给定，需要研究的问题是：（1）在各种度量意义下最佳逼近多项式是否存在，是否唯一。本章主要讲座最佳平方逼近，最小二乘逼近存在性及唯一性。（2）如何具体寻找或构造各种最佳逼近意义下多项式。 2 连续函数空间，正交多项式理论2 1连续函数空间上所有实连续函数集合记为C，关于函数的加法及与实数乘法运算为一线性空间，对于称为中一个元素，下面将在内引进内积，范数等概念。1内积设为任一对元素，定义为一实数称为元素的内积, 其中称为权函数权函数的定义：满足三点要求：(1)且于内可积；(2)对任给的非负整数K积分存在且为有限值；(3) 对于上任何非负连续函数g(x)如果则有g(x)0。满足这三点要求的可称为权函数例如在【-1，1】上=1，=1/显然，连续函数空间中元素的内积满足下述性质： 内积运算满足交换律为常数 内积运算数乘算律 内积运算对加法具有分配律当且仅当又称为内积空间。 函数自身内积具有非负性3 范数定义1 关于函数的某个实值非负函数如果满足下述条件：当且仅当 非负性为实数） 齐次性三角不等式：对任意， ，有 称为的范数或模。定义2（1）设，称 为的“”范数（2） 设称 为的“2”范数或模。（3） 设称为的“1”范数可以验证满足范数的3个条件（见定理1）。定理1 设则有（1）哥西-许瓦兹(Cauchy-Schwarz)不等式 （2）三角不等式证明（1）对任对（不妨设）及任何实数则有其中 则有 即（2）考查由哥西-许瓦兹不等式，则有3距离概念定义3 设为之间距离（其中）。4正交函数组定义4 （1）设，如果称。（2）设有函数组 称上带权正交函数组。（3）如果 称为上带权标准正交组。例2 三角函数组于上组成一正交组。解 显然有（1）（2）（3）（4）（1，1）=5函数组的线性无关定义5 设有函数组，其中（1）如果存在不全为零数使 ，对所有都成立，则称函数组在上为线性相关。（2）如果，对所有成立，则，称在上是线性无关。例3 函数组，其中于为线性无关。证明 反证法。设于为线性相关，即存在不全为零的数使 （2。1）对所有（2。1）式成立，而为次数多项式，最多有个零点，而（2。1）式说明有无穷多零点，矛盾。定理2 内函数组于线性无关充要条件是行列式行列式称为函数组的Gram行列式。证明 必要性：设于线性无关，采用反证法。若行列式G，于是，齐次方程组有非零解，即存在不全为零解使 （22）记 于是，由（22）式有从而有， 故即存在不全为零数使说明于线性相关，与假设矛盾，故充分性：设，求证于线性无关。反证法：若于线性相关，于是，存在不全为零使 （2.3）（2.3）式两边与作内积得到 （2.4）由于不全为零，说明齐次方程组（2.4）有非零解故系数矩阵的行列式为零，即与假设矛盾。22正交多项式理论定义6 设为中线性无关组，称集合为由生成的集合。显然，为的一个子空间。下面讨论，对于给定上权函数，如何由 中基构造中正交基。定理3 （格兰姆-史密特（Gram-Schmidt）正交化）（1）设（2）为给定的权函数（在任何一个子区间不恒为零的可积函数）。则由基可构造于以为权函数的正交多项式组； 其中为首项（即项）系数为1的次多项式，。证明 （1）令=1。（2）构造选取使即选取（3）设已构造且满足是首项系数为1的次多项式当现由组合构造选择系数使即选取 于是，得到为具有权函数的正交多项式组，即 推论 若（1）设为带权的正交多项式组。其中首项系数为1的次多项式；（2）设为任一次数多项式，则于线性无关； P(x)可由正交多项式组表示即 ，其中证 （2）由设 (2.5)按照定义有 (2.6)将(2.6)代入(2.5)进行合并整理即得推论说明。定理4 (正交多项式的三项递推公式)设为a, b具有权函数的正交组，其中是首项系数为1的次多项式，则满足递推公式:且于的正交多项式组是唯一的，其中是首项系数为1的k次多项式证明 显然次多项式,由推论,则有 (2.7)用与(2.7)两边作内积,则有 所以 (1)考查其中 所以,(2)考查,或 (3)于是,或 定理5 设是上带权的正交多项式序列,则次多项式在内恰好有个不同的实根.1勒让德（Legendre）多项式取，权函数，则由定理4可得于具有权函数的正交多项式组且有为首项系数为1的次多项式。定义7 次多项式 称为Legendre 多项式。显然有 （2。8） （1）求的首项系数即求首项系数，由于是次多项式，即为求的阶导数后的系数从而，首项系数且（2）具有简单性质（）（）令，则,当时（3）Legendre多项式为-1，1具有权函数的正交多项式，即证明 设，且记及于是， (分部积分） (再分部积分） 当时，记(令且)又由唯一性，于是有（4）Legendre多项式的奇偶性（5）Legendre多项式的三项递推2切比雪夫（Chebshev）多项式取权函数则由定理4可得于具有权函数的正交多项式组且有当。为首项系数为1的次多项式。定义8 次多项式称为次Chebyshev多项式，显然有： （29）显然，首项系数为。（1）Chebyshev多项式，是具有权函数的正交多项式组。即 事实了，由直接计算可得，令 当当 (2) Chebyshev三项递推公式其中 由三角公式 =2得到 或（3）Chebyshev多项式零点由 其中 于是