高中数学 第二章 数列 2_3_3 等比数列的前n项和（二）课件 苏教版必修5

第2章 2 3等比数列 2 3 3等比数列的前n项和 二 1 熟练应用等比数列前n项和公式的有关性质解题 2 会用错位相减法求和 学习目标 题型探究 问题导学 内容索引 当堂训练 问题导学 知识点一等比数列前n项和公式的函数特征 思考 答案 若数列 an 的前n项和Sn 2n 1 那么数列 an 是不是等比数列 若数列 an 的前n项和Sn 2n 1 1呢 若等比数列 an 的前n项和为Sn 则Sn S2n Sn S3n S2n成等比数列吗 知识点二等比数列前n项和的性质 思考 答案 设 an 的公比为q 则Sn a1 a2 an S2n Sn an 1 an 2 a2n a1qn a2qn anqn qnSn S3n S2n a2n 1 a2n 2 a3n an 1qn an 2qn a2nqn qn S2n Sn Sn S2n Sn S3n S2n成等比数列 公比为qn 在上一节 我们是如何求公比不为1的等比数列 an 的前n项和Sn a1 a2 an的 知识点三错位相减法 思考 答案 在等式两端乘以公比 两式会出现大量的公共项 通过相减消去即可 梳理如果数列 an 是等差数列 bn 是等比数列 求数列 anbn 的前n项和时 一般使用如下方法 Sn a1b1 a2b2 anbn qSn a1b1q a2b2q anbnq a1b2 a2b3 anbn 1 得 1 q Sn a1b1 a2 a1 b2 a3 a2 b3 an an 1 bn anbn 1 题型探究 类型一等比数列前n项和公式的函数特征应用 例1已知数列 an 的前n项和Sn an b a是既不为0也不为1的常数 若 an 是等比数列 则b 答案 1 解析 当n 2时 an Sn Sn 1 a 1 an 1 当n 1时 an S1 a b an 为等比数列 a1 a2 a3成等比数列 a 0且a 1 a 1 a b b 1 经验证当b 1时 an 为等比数列 b 1 反思与感悟 跟踪训练1若 an 是等比数列 且前n项和为Sn 3n 1 t 则t 答案 显然q 1 此时应有Sn A qn 1 解析 类型二等比数列前n项和的性质 证明 方法一设此等比数列的公比为q 首项为a1 当q 1时 Sn na1 S2n 2na1 S3n 3na1 方法二根据等比数列的性质 有S2n Sn qnSn Sn 1 qn S3n Sn qnSn q2nSn 反思与感悟 处理等比数列前n项和有关问题的常用方法 1 运用等比数列的前n项和公式 要注意公比q 1和q 1两种情形 在解有关的方程 组 时 通常用约分或两式相除的方法进行消元 2 灵活运用等比数列前n项和的有关性质 解答 跟踪训练2在等比数列 an 中 已知Sn 48 S2n 60 求S3n 因为S2n 2Sn 所以q 1 答案 3 解析 a2 a4 a6 a8 a1q a3q a5q a7q q a1 a3 a5 a7 反思与感悟 注意观察序号之间的联系 发现解题契机 整体思想能使问题解决过程变得简洁 跟踪训练3设数列 an 是以2为首项 1为公差的等差数列 数列 bn 是以1为首项 2为公比的等比数列 则 27 2 是首项为b2 公比为2的等比数列 答案 解析 类型三错位相减法求和 解答 反思与感悟 一般地 如果数列 an 是等差数列 bn 是等比数列 求数列 anbn 的前n项和时 可采用错位相减法 解答 跟踪训练4求和 Sn x 2x2 3x3 nxn x 0 分x 1和x 1两种情况 当x 1时 Sn x 2x2 3x3 nxn xSn x2 2x3 3x4 n 1 xn nxn 1 1 x Sn x x2 x3 xn nxn 1 当堂训练 1 一个七层的塔 每层所点的灯的盏数都等于上面一层的2倍 一共点381盏灯 则底层所点灯的盏数是 答案 解析 1 2 3 4 192 1 2 3 4 答案 解析 1 2 3 4 1 2 3 4 3 一个等比数列的前7项和为48 前14项和为60 则前21项和为 1 2 3 4 答案 解析 由题意得S7 S14 S7 S21 S14组成等比数列48 12 3 即S21 S14 3 S21 63 63 答案 当n 1时 a1 S1 3 k 当n 2时 an Sn Sn 1 3n k 3n 1 k 3n 3n 1 2 3n 1 由题意知 an 为等比数列 所以a1 3 k 2 所以k 1 1 2 3 4 4 在数列 an 中 an 1 can c为非零实数 且前n项和为Sn 3n k 则实数k 1 解析 规