四川省绵阳市2019届高三数学下学期第三次诊断性考试试题理（含解析）.docx

四川省绵阳市2019届高三数学下学期第三次诊断性考试试题 理（含解析）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合M=x|1x3，N=1，2，则MN=（）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据集合交集定义可得所求结果【详解】，故选B【点睛】本题考查集合的交集运算，解题的关键是弄清两集合交集中元素的特征，进而得到所求集合，属于基础题2.i虚数单位，复数z满足z（1+i）=i，则|z|=（）A. B. C. 1D. 【答案】B【解析】试题分析：由得，所以，故答案为B考点：复数的运算3.中国仓储指数是反映仓储行业经营和国内市场主要商品供求状况与变化趋势的一套指数体系如图所示的折线图是2017年和2018年的中国仓储指数走势情况根据该折线图，下列结论中不正确的是（ ）A. 2018年1月至4月的仓储指数比2017年同期波动性更大B. 2017年、2018年的最大仓储指数都出现在4月份C. 2018年全年仓储指数平均值明显低于2017年D. 2018年各月仓储指数的中位数与2017年各月仓储指数中位数差异明显【答案】D【解析】【分析】根据折线图逐一验证各选项.【详解】通过图象可看出，2018年1月至4月的仓储指数比2017年同期波动性更大, 这两年的最大仓储指数都出现在4月份, 2018年全年仓储指数平均值明显低于2017年,所以选项A，B，C的结论都正确；2018年各仓储指数的中位数与2017年各仓储指数中位数基本在52%， 选项D的结论错误 故选：D【点睛】本题考查折线图，考查基本分析判断能力，属基础题.4.已知变量x，y满足，则x2+y2的最大值为（）A. 10B. 5C. 4D. 2【答案】A【解析】【分析】先作可行域，再根据目标函数表示可行域内的点到原点距离的平方，结合图象确定最大值取法，计算即得结果.【详解】作出变量x，y满足，所对应的可行域（如图阴影部分），由 解得A（3，-1）而z=x2+y2表示可行域内的点到原点距离的平方，数形结合可得最大距离为OA=，z=x2+y2的最大值为：10故选：A【点睛】本题考查线性规划求最值，考查数形结合思想方法以及基本分析求解能力，属中档题.5.将函数的图象向左平移个单位，得到函数g（x）的图象，则g（x）的解析式为（）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据三角函数图象平移变换的规律可得所求的解析式【详解】将函数的图象向左平移个单位后所得图象对应的解析式为故选A【点睛】解题中容易出现的错误是忽视在横方向上的平移只是对变量而言的这一结论，当的系数不是1时，在解题时需要提出系数、化为系数是1的形式后再求解6.已知an是正项等比数列，且a1a8=4a5，a4与2a6的等差中项为18，则a5=（）A. 2B. 4C. 8D. 16【答案】C【解析】【分析】根据条件列关于首项与公比的方程组，解得首项与公比，再根据等比数列通项公式得结果.【详解】设正项等比数列an的公比为q0，a1a8=4a5，a4与2a6的等差中项为18，a12q7=4a1q4，a4+2a6=36即a1（q3+2q5）=36，解得a1=，q=2，则a5= a1q4=8故选：C【点睛】本题考查等比数列基本量，考查基本分析求解能力，属基础题.7.函数的大致图象是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】函数 ，可得 ， 是奇函数，其图象关于原点对称，排除C，D；当时， ，令 得：，得出函数在上是增函数，排除B，故选A.点睛：在解决函数图象问题时，主要根据函数的单调性、奇偶性作出判断.本题首先根据，得出是奇函数，其图象关于原点对称.再利用导数研究函数的单调性，从而得出正确选项8.已知一个封闭的长方体容器中装有两个大小相同的铁球，若该长方体容器的三个相邻侧面的面积分别为6，8，12，则铁球的直径最大只能为（）A. B. 2C. D. 4【答案】B【解析】【分析】根据题意求出长方体的三条棱的长度，最长棱的一半即为球的直径的最大值【详解】设长方体三条棱的长分别为，由题意得，解得再结合题意可得，铁球的直径最大只能为故选B【点睛】本题考查长方体的有关计算和空间想象能力，解题时要明确当球与长方体的对面都相切时半径最大，故只需求出长方体的最长棱即可，属于基础题9.已知双曲线：的两个焦点分别为，以原点为圆心，为半径作圆，与双曲线相交若顺次连接这些交点和，恰好构成一个正六边形，则双曲线的离心率为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】设双曲线和圆在第一象限的交点为，根据正六边形可得点的坐标，然后再根据点在双曲线上得到间的关系式，于是可得离心率【详解】由题意得，以原点为圆心的圆的半径为设双曲线和圆在第一象限的交点为，由正六边形的几何性质可得，点的坐标为又点在双曲线上，整理得，解得或又，故选C【点睛】求双曲线的离心率时，将提供的双曲线的几何关系转化为关于双曲线基本量的方程或不等式，利用和转化为关于e的方程或不等式，通过解方程或不等式求得离心率的值或取值范围10.在的展开式中，项的系数为（）A. B. C. 30D. 50【答案】B【解析】【分析】根据多项式展开式确定含的项组成情况，再根据乘法计数原理与加法计数原理求结果.【详解】表示5个因式的乘积，在这5个因式中，有2个因式都选，其余的3个因式都选1，相乘可得含的项；或者有3个因式选，有1个因式选，1个因式选1，相乘可得含的项，故项的系数为，故选：B【点睛】本题考查乘法计数原理与加法计数原理以及多项式展开式项的系数，考查基本分析求解能力，属基础题.11.若x，y，zR+，且3x=4y=12z，（n，n+1），nN，则n的值是（）A. 2B. 3C. 4D. 5【答案】C【解析】【分析】设，用表示出，然后根据对数的运算性质和换底公式进行变形求解可得所在的范围，进而得到答案【详解】设，则，；又，即故选C【点睛】本题考查对数的换底公式、对数的性质以及基本不等式，具有一定的灵活性和难度，解题的关键是用参数表示出，考查变换和计算能力12.已知抛物线C：y2=4x的焦点为F，过点F且斜率为1的直线与抛物线C交于A、B两点，若在以线段AB为直径的圆上存在两点M、N，在直线：x+y+a=0上存在一点Q，使得MQN=90，则实数a的取值范围为（）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】先联立直线与抛物线，根据抛物线定义以及韦达定理得线段AB中点以及弦长，即得圆方程，再根据直线与圆位置关系列不等式，解得结果.【详解】过点F（1，0）且斜率为1的直线方程为：联立AB的中点坐标为（3，2），|AB|=x1+x2+p=8，所以以线段AB为直径的圆圆D：，圆心D为：（3，2），半径为r=4，在圆C上存在两点M，N，在直线上存在一点Q，使得MQN=90，在直线上存在一点Q，使得Q到C（3，2）距离等于，只需C（3，2）到直线的距离小于或等于4，故选：A【点睛】本题考查直线与抛物线位置关系以及直线与圆位置关系，考查综合分析求解能力，属中档题.二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.函数，则 _【答案】1【解析】【分析】根据自变量范围代入对应解析式，即得结果.【详解】根据题意，则；故答案为：1【点睛】本题考查分段函数求值，考查基本分析求解能力，属基础题.14.已知向量=（sin2，1），=（cos，1），若， ，则_【答案】【解析】【分析】先根据向量平行坐标关系得sin2cos=0，再根据二倍角正弦公式化简得sin=，解得结果.【详解】向量=（sin2，1），=（cos，1），若，则sin2cos=0，即2sincos=cos；又，cos0，sin=，故答案：【点睛】本题考查向量平行坐标关系以及二倍角正弦公式，考查基本分析求解能力，属中档题.15.在九章算术中有称为“羡除”的五面体体积的求法现有一个类似于“羡除”的有三条棱互相平行的五面体，其三视图如图所示，财该五面体的体积为_【答案】24.【解析】【分析】由三视图得到五面体的直观图，然后根据几何体的结构特征，利用分割的方法求得其体积【详解】由三视图可得，该几何体为如下图所示的五面体，其中，底面为直角三角形，且，侧棱与底面垂直，且过点作，交分别于，则棱柱为直棱柱，四棱锥的底面为矩形，高为所以故答案为：【点睛】本题考查三视图还原几何体和不规则几何体体积的求法，考查空间想象能力和计算能力，解题的关键是由三视图得到几何体的直观图，属于基础题16.已知数列的前n项和为，=1， =3，且，若对任意都成立，则实数的最小值为_【答案】【解析】【分析】先根据和项与通项关系得，再利用叠加法得，利用分组求和法得，【详解】数列的前项和为，=1， =3，且，所以：，故：，因为，所以所以：， ，则：，故：，所以：=，所以：，因为对任意都成立，所以设则当时，当时，因此即故的最小值为故答案为：【点睛】本题考查和项与通项关系、累加法求通项公式以及数列单调性，考查基本分析求解能力，属中档题.三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.已知ABC的内角A，B，C所对边分别为a、b、c，且2acosC=2b-c（1）求角A的大小；（2）若AB=3，AC边上的中线BD的长为，求ABC的面积【答案】（1）A=；（2）6【解析】【分析】（1）先根据正弦定理化边为角，再利用三角形内角关系以及两角和正弦公式化简得cosA=，即得结果，（2）根据余弦定理求AD，再根据三角形面积公式得结果.【详解】（1）2acosC=2b-c，由正弦定理可得：sinAcosC+sinC=sinB，sinB=sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinCsinC=cosAsinC，sinC0，cosA=，由A（0，），可得角A=；（2）在ABD中，AB=3，BD=，cosA=，由余弦定理可得：13=9+AD2-3AD，解得：AD=4（负值舍去），BD为AC边上的中线，D为AC的中点，AC=2AD=8，SABC=ABACsinA=6【点睛】本题考查正弦定理、余弦定理以及三角形面积公式，考查基本分析求解能力，属中档题.18.甲、乙两家物流公司都需要进行货物中转，由于业务量扩大，现向社会招聘货车司机，其日工资方案如下：甲公司，底薪80元，司机毎中转一车货物另计4元：乙公司无底薪，中转40车货物以内（含40车）的部分司机每车计6元，超出40车的部分司机每车计7元假设同一物流公司的司机一填中转车数相同，现从这两家公司各随机选取一名货车司机，并分别记录其50天的中转车数，得到如下频数表：甲公司送餐员送餐单数频数表送餐单数3839404142天数101510105乙公司送餐员送餐单数频数表送餐单数3839404142天数51010205（1）现从记录甲公司的50天货物中转车数中随机抽取3天的中转车数，求这3天中转车数都不小于40的概率；（2）若将频率视为概率，回答下列两个问题：记乙公司货车司机日工资为X（单位：元），求X的分布列和数学期望E（X）；小王打算到甲、乙两家物流公司中的一家应聘，如果仅从日工资的角度考虑，请利用所学的统计学知识为小王作出选择，并说明理由【答案】（1）；（2）见解析，若从日工资的角度考虑，小王应该选择乙公司【解析】【分析】（1）根据古典概型概率公式以及组合数求结果，（2）先确定随机变量，再分别求对应概率，最后根据数学期望公式得期望，先求甲公司日工资数学期望，再与期望比较大小即得结果【详解】（1）设“这三天中转车数都不小于40”的事件为A，则P（A）=（2）设乙公司货车司机中转货车数为t，则X=，则X的所有取值分别为228，234，240，247，254，其分布列为：日工资228234240247254概率PE（X）=228+234+240+247+254=241.8设甲公司货车司机日工资为Y，日中转车数为，则Y=4+80，则Y的所有可能取值为232，236，240，244，248，则分布列为：日工资232236240244248概率PE（Y）=+248=238.8由E（X）E（Y），知：若从日工资的角度考虑，小王应该选择乙公司【点睛】本题考查古典概型概率公式以及分布列和数学期望，考查基本分析求解能力，属中档题.19.如图，在四棱锥中，底面是菱形，且，分别为，的中点，且.（1）求证：平面平面；（2）求锐二面角的余弦值.【答案】（1）见解析；（2）【解析】【分析】（1）先过P作POAD，再通过平几知识计算得POBO，利用线面垂直判定定理得PO平面ABCD，再根据面面垂直判定定理得结果，（2）先根据条件建立空间直角坐标系，设立各点坐标，列方程组解得平面ACE的一个法向量，根据向量数量积得向量夹角，最后根据二面角与向量夹角关系得结果.【详解】（1）过P作POAD，垂足为O，连结AO，BO，由PAD=120，得PAO=60，在RtPAO中，PO=PAsinPAO=2sin60=2=，BAO=120，BAO=60，AO=AO，PAOBAO，BO=PO=，E，F分别是PA，BD的中点，EF=，EF是PBD的中位线，PB=2EF=2=，PB2=PO2+BO2，POBO，ADBO=O，PO平面ABCD，又PO平面PAD，平面PAD平面ABCD（2）以O为原点，OB为x轴，OD为y轴，OP为z轴，建立空间直角坐标系，A（0，1，0），P（0，0，），B（，0，0），D（0，3，0），E（0，），F（，），=（0，），=（，0），易得平面ABCD的一个法向量=（0，0，1），设平面ACE的法向量=（x，y，z），则，取x=1，得=（1，-，1），设锐二面角的平面角的大小为，则cos=|cos|=，锐二面角E-AC-D的余弦值为【点睛】本题考查线面垂直判定定理、面面垂直判定定理以及利用空间向量求二面角，考查空间想象能力以及基本论证与求解能力，属中档题.20.已知A为焦距为的椭圆E：（ab0）的右顶点，点P（0，），直线PA交椭圆E于点B，（1）求椭圆E的方程；（2）设过点P且斜率为的直线与椭圆E交于M、N两点（M在P、N之间），若四边形MNAB的面积是PMB面积的5倍求直线的斜率【答案】（1）+=1；（2）k=【解析】【分析】（1）先根据条件得B点坐标，代入椭圆方程，再与焦距联立方程组解得（2）根据面积关系得，联立直线方程与椭圆方程，利用韦达定理建立等量关系解得斜率.【详解】（1）由题意，得焦距2c=2，2c=2，c=，所以点B为线段AP的中点，因为点P（0，2），A（a，0），B（，），因为点B（，）在椭圆E上，+=1，即b2=4，2=b2+c2=9，椭圆E的方程为+=1（2）由题可得SPAN=6SPBM，即|PA|PN|sinAPN=6|PB|PM|sinBPM，|PN|=3|，设M（x1，y1），N（x2，y2），于是=（x1，y1-2），=（x2，y2-2），3（x1，y1-2）=（x2，y2-2），x2=3 x1，即=3，于是+=，即=，联立，消去y，整理得（9k2+4）x2+36kx+72=0，由=（36k）2-4（9k2+4）720，解得k2，x1+x2=-，x1x2=，代入可解得k2=，满足k2，k=，即直线l的斜率k=【点睛】本题考查椭圆方程以及直线与椭圆位置关系，考查综合求解能力，属中档题.21.已知函数有两个不同的极值点x1，x2，且x1x2（1）求实数a的取值范围；（2）求证：x1x2a2【答案】（1）（e，+）；（2）见解析【解析】【分析】（1）先求导数，再根据导函数有两个不同的零点，确定实数a所需满足的条件，解得结果，（2）先根据极值点解得a，再代入化简不等式x1x2a2，设，构造一元函数，利用导数研究函数单调性，最后构造单调性证明不等式.【详解】（1）函数，x0，f（x）=x-alnx，函数有两个不同的极值点x1，x2，且x1x2f（x）=x-alnx=0有两个不等根，令g（x）=x-alnx，则=，（x0），当a0时，得g（x）0，则g（x）在（0，+）上单调递增，g（x）在（0，+）上不可能有两个零点当a0时，由g（x）0，解得xa，由g（x）0，解得0xa，则g（x）在（0，a）上单调递减，在（a，+）上单调递增，要使函数g（x）有两个零点，则g（a）=a-alna0，解得ae，实数a的取值范围是（e，+）（2）由x1，x2是g（x）=x-alnx=0的两个根，则，两式相减，得a（lnx2-lnx1）=x2-x1），即a=，即证x1x2，即证=，由x1x2，得=t1，只需证ln2t-t-，设g（t）=ln2t-t-，则g（t）=，令h（t）=2lnt-t+，h（t）=-（）20，h（t）在（1，+）上单调递减，h（t）h（1）=0，g（t）0，即g（t）在（1，+）上是减函数，g（t）g（1）=0，即ln2tt-2+（1，+）上恒成立，x1x2a2【点睛】本题考查利用导数研究函数零点以及利用导数证明不等式，考查综合论证求解能力，属难题.22.在平面直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为（1+cos2）=8sin（1）求曲线C的普通方程；（2）直线l的参数方程为,t为参数直线与y轴交于点F与曲线C的交点为A，B，当|FA|FB|取最小值时，求直线的直角坐标方程【答案】（1）x2=4y；（2）y=1【解析】【分析】（1）根据x=cos，y=sin将极坐标方程化为普通方程，（2）将直线参数方程代入抛物线方程，利用韦达定理以及参数几何意