极坐标与参数方程总结与习题.doc

丛文龙极坐标教案3.2极坐标系1、定义：在平面内取一个定点O，叫做极点，引一条射线Ox，叫做极轴，再选一个长度单位和角度的正方向（通常取逆时针方向）。对于平面内的任意一点M，用表示线段OM的长度，表示从Ox到OM的角，叫做点M的极径，叫做点M的极角，有序数对(, )就叫做点M的极坐标。这样建立的坐标系叫做极坐标系。2、极坐标有四个要素：极点；极轴；长度单位；角度单位及它的方向极坐标与直角坐标都是一对有序实数确定平面上一个点，在极坐标系下，一对有序实数、对应惟一点P(，)，但平面内任一个点P的极坐标不惟一一个点可以有无数个坐标，这些坐标又有规律可循的，P(，)（极点除外）的全部坐标为(,)或（，），(Z)极点的极径为0，而极角任意取若对、的取值范围加以限制则除极点外，平面上点的极坐标就惟一了，如限定0，0或0，等极坐标与直角坐标的不同是，直角坐标系中，点与坐标是一一对应的，而极坐标系中，点与坐标是一多对应的即一个点的极坐标是不惟一的 3、直线相对于极坐标系的几种不同的位置方程的形式分别为： 4、圆相对于极坐标系的几种不同的位置方程的形式分别为： 5、极坐标与直角坐标互化公式： 1直线的极坐标方程xOP(，)M(0，0)l00若直线l经过点M(0，0)，且极轴到此直线的角为 ，求直线l的极坐标方程。设直线l上任意一点的坐标为P(，)，由正弦定理，得： = 整理得直线l的极坐标方程为sin( ) =0 sin(0 )。一些特殊位置的直线方程如下：经过极点经过定点M(a，0)，且与极轴垂直经过定点M(b，)，且与极轴平行 = cos = asin = bxO(M)lxOlMaxOlM(b，)a2圆的极坐标方程MP00Ox若圆的圆心为M(0，0)，半径为r，求圆的极坐标方程。设P(，)为圆上任意一点，由余弦定理，得PM2 = OM2 +OP2 2OMOPcosPOM，则圆的极坐标方程是2 20cos( 0) + r2 = 0一些特殊位置的圆的方程如下(设圆的半径为r)：圆心在极点圆心在极点右侧圆心在极点上方圆心在极点左侧圆心在极点下方 = r = 2rcos = 2rsin = 2rcos = 2rsin xOxOxOOxxO（一）曲线的参数方程的定义：在取定的坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x、y都是某个变数t的函数，即并且对于t每一个允许值，由方程组所确定的点M（x，y）都在这条曲线上，那么方程组就叫做这条曲线的参数方程，联系x、y之间关系的变数叫做参变数，简称参数（二）常见曲线的参数方程如下：1过定点（x0，y0），倾角为的直线：（t为参数）其中参数t是以定点P（x0，y0）为起点，对应于t点M（x，y）为终点的有向线段PM的数量，又称为点P与点M间的有向距离根据t的几何意义，有以下结论设A、B是直线上任意两点，它们对应的参数分别为tA和tB，则线段AB的中点所对应的参数值等于2中心在（x0，y0），半径等于r的圆：（为参数）3中心在原点，焦点在x轴（或y轴）上的椭圆：（为参数）（或）中心在点（x0,y0）焦点在平行于x轴的直线上的椭圆的参数方程4中心在原点，焦点在x轴（或y轴）上的双曲线：（为参数）（或）5顶点在原点，焦点在x轴正半轴上的抛物线：（t为参数，p0）直线的参数方程和参数的几何意义过定点P（x0，y0），倾斜角为的直线的参数方程是（t为参数）【乘积用的】极坐标的点与直角坐标系的点的互化：1已知，下列所给出的不能表示点的坐标的是（ ）AA B C D2下列各点中与极坐标不表示同一个点的极坐标是（）B3点，则它的极坐标是（ ）CA B C D1点的极坐标为 。2若A，B，则|AB|=_，_。（其中O是极点）5，6；5将直角坐标化为极坐标。16.已知三点A(5，)，B(-8，)，C(3，)，则ABC形状为 . 锐角三角形17.点，则它的极坐标是 极坐标方程的轨迹1的底边以B点为极点，BC 为极轴，求顶点A 的轨迹方程。1、（提示：用正弦定理解ABC，）在极坐标系中，已知圆C的圆心C，半径=1，Q点在圆C上运动。（1）求圆C的极坐标方程；（2）若P在直线OQ上运动，且OQQP=23，求动点P的轨迹方程。2、（1）；（2）（提示：设P，Q（，依题意得：，代入可得。）17在平面直角坐标系中已知点A（3，0），P是圆上一个运点，且的平分线交PA于Q点，求Q 点的轨迹的极坐标方程。解:以O为极点,轴正半轴为极轴建立极坐标系,设,题型：一、极坐标方程与直角坐标方程的互化互化条件：极点与原点重合，极轴与x轴正半轴重合，长度单位相同.互化公式： 或 的象限由点(x,y)所在的象限确定.例1(2007海南宁夏)O1和O2的极坐标方程分别为，(I)把O1和O2的极坐标方程化为直角坐标方程；(II)求经过O1，O2交点的直线的直角坐标方程例3(1998年上海)以直角坐标系的原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,若椭圆两焦点的极坐标分别是(1,),(1,),长轴长是4,则此椭圆的直角坐标方程是_. 解：由已知条件知椭圆两焦点的直角坐标为(0,1),(0,-1).c=1,a=2,b2=a2-c2=3, 故所求椭圆的直角坐标方程为=15. 与参数方程为等价的普通方程为（ ）A. B. C. D. 二、已知曲线的极坐标方程,判断曲线类型例4(1990年全国)极坐标方程4sin2=5所表示的曲线是 (A)圆 (B)椭圆 (C)双曲线的一支 (D)抛物线解:由已知极坐标方程及三角公式得:2(1-cos)=5, 2=2cos+5,由互化公式得2=2x+5,平方整理得 y2=5(x+),方程表示的曲线是抛物线,故选D.评述:对于给出的极坐标方程相对于极坐标系而言不是标准的,一般将其等价转 化为直角坐标方程来判断其曲线类型.类题:1(1991年三南)极坐标方程4sin2=3表示的曲线是 (A)二条射线 (B)二条相交直线 (C) 圆 (D) 抛物线 (答案:B) 2(1987年全国)极坐标方程=sin+2cos所表示的曲线是 (A)直线 (B)圆 (C)双曲线 (D) 抛物线 (答案:B) 3(2001年广东、河南)极坐标方程2cos2=1所表示的曲线是(A)两条相交直线 (B)圆 (C)椭圆 (D)双曲线 (答案:D)4(2003北京)极坐标方程表示的曲线是(A)圆 (B)椭圆 (C)抛物线 (D)双曲线 (答案:D)例5(1994年全国)极坐标方程=cos(-)所表示的曲线是 (A) 双曲线 (B)椭圆 (C)抛物线 (D)圆 解:曲线=cos(-)=cos(-)是把圆=cos绕极点按逆时针方向旋 转而得,曲线的形状仍然是一个圆,故选D评述:把曲线的极坐标方程化为直角坐标方程较为麻烦,利用旋转不变性则更容易得出答案.方程cos(-0)=0表示一条直线,方程=acos(-0)表示半径为, 圆心为(,0)的圆,要注意两者的区别.2. 参数方程为表示的曲线是（ ）A. 一条直线 B. 两条直线 C. 一条射线 D. 两条射线1x01x01x0x01例6(2001年全国)极坐标方程=2sin(+)的图形是 (A) (B) (C) (D)解:圆=2sin(+)是把圆=2sin绕极点按顺时针方向旋转而得,圆心的极坐标为(1,),故选C. 类题:1(2002江苏)极坐标方程与=的图形是0x0x0x0x (A) (B) (C) (D) (答案:B)2(2004北京春)在极坐标系中，圆心在(且过极点的圆的方程为(A) (B) (C)(D) (答案:B)谜底三、判断曲线位置关系 例7(2000年京皖春)直线=和直线sin(-)=1的位置关系 (A) 垂直 (B) 平行 (C) 相交但不垂直 (D) 重合 解:直线sin(-)=1是把直线sin=1绕极点按逆时针方向旋转角 而得, 从而两直线平行,故选B. 评注:对直线sin(-)=1与直线sin=1的关系要十分熟悉.四、根据条件求直线和圆的极坐标方程 例8(2002北京春)在极坐标系中,如果一个圆的方程是r=4cosq+6sinq，那么过圆心且与极轴平行的直线方程是(A) rsinq=3 (B) rsinq = 3 (C) rcosq =2 (D) rcosq = 2解:将圆的极坐标方程化为直角坐标方程得:x2+y2=4x+6y,即(x-2)2+(y-3)2=13.圆心为(2,3),所求直线方程为y=3,即rsinq=3,故选A. 评述:注意直线的直角坐标方程极易求出. 类题:1(1992年上海)在极坐标方程中,与圆=4sin相切的一条直线的方程是 (A) sin=2 (B)cos=2 (C)cos= 4 (D) cos=- 4(答案:B) 2(1993年上海)在极坐标方程中,过点M(2,)且平行于极轴的直线的极坐标方程是_. (答案: sin=2)3(1994年上海)已知点P的极坐标为(1,),那么过点P且垂直于极轴的直线的极坐标方程为 (A)=1 (B)=cos (C)= (D)= (答案:C) 4(2000年全国)以极坐标系中点(1,1)为圆心,1为半径的圆的方程是 (A)=2cos(-) (B)=2sin(-) (C)=2cos(-1) (D)=2sin(-1) (答案:C)五、求曲线中点的极坐标例9(2003上海)在极坐标系中，定点A(1,),点B在直线上运动，当线段AB最短时，点B的极坐标是_.解:在直角坐标系中,A点坐标为(0,1),B在直线x+y=0上, AB最短,则B为,化为极坐标为.例10(1999年上海)极坐标方程52cos2+2-24=0所表示的曲线焦点的极坐标为_. 解:由52cos2+2-24=0得52(cos2-sin2)+2-24=0化为直角坐标方程得,该双曲线的焦点的直角坐标为(,0)与(-,0),故所求 焦点的极坐标为(,0)、(,). 评述:本题考查圆锥曲线极坐标方程的基础知识,掌握点的直角坐标与极坐标 的对应关系极为有用.例11(2001年京皖蒙春)极坐标系中,圆=4cos+3sin的圆心的坐标是 (A) (,arcsin) (B)(5,arcsin) (C)(5,arcsin) (D)(,arcsin)解:由= 4cos+3sin=5(cos+sin)=5cos(-)(其中sin=) 所以所求圆心坐标为(,arcsin),故选A.类题：(2002上海)若A、B两点的极坐标为A(4,),B(6,0),则AB中点的极坐标是_.(极角用反三角函数值表示). 答案.()3. 直线和圆交于两点，则的中点坐标为（ ）A. B. C. D. 4. 圆的圆心坐标是（ ）A. B. C. D. 六、求距离例12(2007广东文)在极坐标系中，直线的方程为sin=3，则点(2,)到直线的距离为_.解: 将直线的极坐标方程sin=3化为直角坐标系方程得:y=3,点(2,)在直角坐标系中为(,1),故点(2,) 到直线的距离为2.评注：本题主要考查极坐标系与直角坐标系之间的互化.例13(1992年全国、1996年上海)极坐标方程分别是=cos和=sin的两个圆的圆心距是 (A) 2 (B) (C) 1 (D) 解法一:两圆的圆心坐标分别为(,0)与(,),由此求得圆心距为,选D.解法二:将极坐标方程化成直角坐标方程得(x-)2+y2=与x2+(y-)2=, 由此求得圆心距为,选D.评述:本题考查对极坐标的理解,理解深刻者可在极坐标系上画出简图直接求解,一般理解者,化极坐标方程为直角坐标方程也能顺利得到正确答案.例14(1997年全国)已知直线的极坐标方程为sin(+)=,则极点到该直线的距离是_. 解法一:化直线方程为=,根据极坐标的概念极点到该直线的距离等于这个函数的最小值,当sin(+)=1时, 取最小值即为所求.解法二:对极坐标欠熟悉时,可把直线的极坐标方程化为直角坐标方程x+y=1, 应用点到直线的距离公式得原点到此直线的距离为.类题:1(2000年上海)在极坐标系中,若过点(3,0)且与极轴垂直的直线交曲线= 4cos于A、B两点，则|AB|=_. (答案:2)2(2004上海)在极坐标系中,点M(4,)到直线:的距离d=_ (答案:)22.已知直线的极坐标方程为，则点A到这条直线的距离为 -.26极坐标系下，直线 与圆的公共点个数是_七、判定曲线的对称性 例15(1999年全国)在极坐标系中,曲线= 4sin(-)关于 (A) 直线=轴对称 (B)直线=轴对称 (C) 点(2, )中心对称 (D)极点中心对称解:把圆= 4sin绕极点按逆时针方向旋转便得到曲线= 4sin(-)=, 知其圆心坐标为(2,),故圆的对称轴为=,应选B. 评述:方程表示的曲线是圆,为弄清轴对称或中心对称的问题,关键是求出其 圆心的坐标.若 1 + 2 = 0，1 + 2 = ，则点 M1 (1,1)与点M2(2,2)( )。A A关于极轴对称 B关于直线=对称 C关于极点对称 D重合八、求三角形面积ABOx例16(2006上海)在极坐标系中,O是极点，设点A(4,)，B(5,)，则OAB的面积是 .解:如图所示,在OAB中， 评述:本题考查极坐标及三角形面积公式.九、参数方程化一般方程：5. 与参数方程为等价的普通方程为（ ）A. B. C. D. 6. 直线被圆所截得的弦长为（ ）A. B. C. D. 1. 曲线的参数方程是，则它的普通方程为_. 5. 设则圆的参数方程为_. 参数方程 ( t 为参数)化为普通方程是。x2+y2=1 去掉点(-1,0)4、曲线的参数方程为(t是参数)，则曲线是（ ）A、线段 B、双曲线的一支 C、圆 D、射线9.参数方程 (t为参数)所表示的图形是 . 两条射线；11.画出参数方程（为参数）所表示的曲线_椭圆_7曲线的参数方程为(t是参数)，则曲线是 DA、线段 B、双曲线的一支 C、圆 D、射线【圆x2+y2-x-y=0】/简单的1. 参数方程表示什么曲线？2已知在直角坐标系x0y内，直线l的参数方程为 (t为参数)以Ox为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为.(1)写出直线l的普通方程和圆C的直角坐标方程； (2)判断直线l和圆C的位置关系.13C已知直线的参数方程：（为参数）和圆的极坐标方程（1）将直线的参数方程化为普通方程，圆的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）判断直线和圆的位置关系13C选修44参数方程与极坐标解：（1）消去参数，得直线的普通方程为； - - -2分即，两边同乘以得，消去参数，得的直角坐标方程为： -6分（2）圆心到直线的距离，所以直线和相交-10分8(2007海南、宁夏文、理) O1和O2的极坐标方程分别为()把O1和O2的极坐标方程化为直角坐标方程；()求经过O1，O2交点的直线的直角坐标方程3已知圆的参数方程为 （为参数），若是圆与轴正半轴的交点，以圆心为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求过点的圆的切线的极坐标方程解：由题设知，圆心， 设是过点的圆的切线上的任一点，则在中，有，即为所求切线的极坐标方程11已知曲线C的极坐标方程是以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线的参数方程是求直线与曲线C相交所成弦的弦长解：曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程为，即. 直线的参数方程化为普通方程为.曲线C的圆心（2，0）到直线的距离为，所以直线与曲线C相交所成的弦的弦长为15求直线（）被曲线所截的弦长.【7/5】将方程,分别化为普通方程：，(5分)(10分)10过点P（3，0）且倾斜角为30的直线和曲线相交于A、B两点求线段AB的长【】10C选修44：坐标系与参数方程解：直线的参数方程为，3分曲线可以化为5分将直线的参数方程代入上式，得设A、B对应的参数分别为，8分AB10分说明：掌握直线，圆，圆锥曲线的参数方程及简单的应用6 直线 （t为参数）与椭圆 （为参数）相交于A、B两点，求A、B间的距离解：直线的普通方程为椭圆的普通方程为联立方程组 消元得，则所以18已知椭圆C的极坐标方程为，点F1，F2为其左，右焦点，直线的参数方程为（1）求直线和曲线C的普通方程； （2）求点F1，F2到直线的距离之和. 【】18（23）解: （） 直线普通方程为； 3分曲线的普通方程为 6分（） ,， 7分点到直线的距离 8分点到直线的距离 9分 10分/求最值8. 已知A是曲线=3cos上任意一点，求点A到直线cos=1距离的最大值和最小值解：将极坐标方程转化成直角坐标方程：=3cos即：x2y2=3x,(x)2y2=cos=1即x=1直线与圆相交。所求最大值为2，最小值为0 14在极坐标系中,设圆上的点到直线的距离为,求的最大值.【4】14C（坐标系与参数方程选做题）解：将极坐标方程转化为普通方程：(2分) 可化为(5分)在上任取一点A,则点A到直线的距离为,它的最大值为4 (10分)16设P(x，y)是曲线C：（为参数，02）上任意一点，(1)将曲线化为普通方程; (2)求的取值范围.16（23）(1)(x+2)2+y2=1 (5分)(2)设y=kx,则kx-y=01= (7分)k2=,k= (9分) (10分)1已知点是圆上的动点，【】（1）求的取值范围；（2）若恒成立，求实数的取值范围。【负根号2减一】2. 点在椭圆上，求点到直线的最大距离和最小距离. 17点M（x,y）在椭圆上，则点M到直线的最大距离为_,此时，点M的坐标是_.1C在平面直角坐标系中，点是椭圆上的一个动点，求的最大值【2】1C选修44参数方程与极坐标解： 因椭圆的参数方程为 故可设动点的坐标为，其中. 因此 所以，当时，取最大值217已知曲线的极坐标方程是，设直线的参数方程是（为参数） （）将曲线的极坐标方程转化为直角