二项式系数.doc

第二节 二项式定理1.二项式定理：(1)(ab)nCanCan1bCanrbrCbn.(2)通项公式：Tr1Canrbr (r0,1,2,n)为展开式第r+1项.(3)展开式的特点：共有n1项；第r1项的二项式系数为C； 2.二项式系数的性质:(1) CC.(2)若n为偶数,中间一项1的二项式系数最大；若n奇数,中间两项、1的二项式系数相等并且最大(3) CCCC2n.(4) CCCCCC2n1.3.二项式中的最值问题求(abx)n展开式中系数最大的项，通常用待定系数法，设展开式各项系数分别为A1，A2，An1设第r1项系数最大，则4.二项式定理的主要应用(1)赋值求值；(2)证明某些整除问题或求余数；(3)证明有关等式与不等式；(4)进行近似计算.例1.(1)求的值。(2)求展开式中含x项的系数为？(3)求展开式中所有x的有理项。练习1:(1x3)(x)6展开式中的常数项为_例2.已知(+)n(nN*)的展开式中第五项的系数与第三项的系数的比是10:1.(1)求展开式中各项系数和及二项式系数和；(3)求展开式中系数最大的项和二项式系数最大的项例3.已知(3x1)7a0x7a1x6a6xa7.(1)求a0a1a2a7的值；(2)求|a0|a1|a2|a7|的值；(3)求a1a3a5a7的值解析(1)令x1，得a0a1a7(311)727128.(2)易知a1，a3，a5，a7为负值，|a0|a1|a2|a7|a0a1a2a7(a0a1a2a7)3(1)1747.(3)令f(x)(3x1)7，则f(1)a0a1a2a3a7，f(1)a0a1a2a7.2(a1a3a5a7)f(1)f(1)2747.a1a3a5a7262138128.题型五 整除与余数问题例5(1)求证：122225n1能被31整除(nN*)；(2)求SCCC除以9的余数分析将已知的式子适当整理化简，再根据题目的要求选择合适的解法解析(1)证明：122225n125n132n1(311)n1C31nC31n2C31C131(C31n1C31n1C)，显然上式括号内为整数原式能被31整除(2)SCCC2271891(91)91C99C98C9C19(C98C97C)29(C98C97C1)7.显然上式括号内的数是正整数故S被9除的余数为7.点评有关整除性问题是二项式定理的应用之一，其关键在于如何把问题转化为一个二项式，注意结合二项式的展开式和整除的有关性质解决问题.变式迁移5求1090除以7的余数解析解法一：109010045(982)45它的展开式中除末项外，均能被7整除，其末项为：245815(71)15其展开式除末项外，均能被7整除，末项为1，所以1090除以7余1.解法二：1090100030(14371)30.它的展开式中除末项外，均能被7整除，其末项为1，故余数为1.题型六 证明不等式例6求证：2(1)n3(nN*)证明当n1时，(1)n2.当n2时，(1)n1CC()2C()n11CC2.又C，所以(1)n222(1)()()33，综上有2(1)n3.点评此不等式的证明中，利用二项式定理，将二项式展开，再采用放缩法和其他有关知识，将不等式证明到底.变式迁移6求证：3n(n2)2n1(nN*，且n2)证明因为nN*，且n2.所以3n(21)n展开至少有四项(21)n2nC2n1C212nn2n12n12nn2n1(n2)2n1所以3n(n2)2n1.方 法 路 路 通1有些三项式展开式问题可以通过变形二项式问题加以解决；有时也可以通过组合解决，但要注意分类清楚，不重不漏2对于二项式系数问题首先要熟记二项式系数的性质，其次要掌握赋值法，赋值法是解决二项式系数问题的一个重要手段3近似计算要首先观察精确度，然后选取展开式中若干项4用二项式定理证明整除性问题，一般将被除式变为有关除式的二项式再展开，常采用“配凑法”“消去法”配合整除的有关知识来解决5利用二项式定理证明不等式时，设计将待证的不等式用二项式定理展开成较简单的表达式，对高次可考虑用放缩法处理.知 能 层 层 练1(2010江西卷)(1x)10展开式中x3项的系数为()A720 B720 C120 D1202若nN*且n为奇数，则6nC6n1C6n2C61被8除所得的余数是()A0 B2 C5 D33.若(12x)2009a0a1xa2009x2009(xR),则的值为()A2 B0 C1 D24(xy)10的展开式中，x7y3的系数与x3y7的系数之和等于_5.已知()n(nN*)的展开式中第五项的系数与第三项的系数的比是101.(1)求展开式中各项系数的和；(2)求展开式中含x的项；(3)求展开式中系数最大的项和二项式系数最大的项解析由题意知，第五项系数为C(2)4，第三项的系数为C(2)2，则有，解得n8.(1)令x1得各项系数的和为(12)81.(2)通项公式Tr1C()8r()rC(2)rx2r，令2r，则r1，故展开式中含x的项为T