17.5一元二次方程的应用

17 5一元二次方程的应用 长丰县城关中学仇小瑞 问题情境 1 在一块宽20m 长32m的长方形空地上 修筑宽相等的三条小路 两条纵向 一条横向 纵向与横向垂直 把这块空地分成大小一样的6块 建成小花坛 如图 要使花坛的总面积为570m2 图中长度的单位 m 问小路的宽应是多少 解 设小路的宽是xm 根据题意 得 32 2x 20 x 570 整理 得 x 1 x 35 0 x1 1 x2 35 x2 36x 35 0 由题意 知 x 35是不可能的 因此x只能取x 1 答 所求小路的宽应为1m 忆一忆 列方程解应用题的一般步骤 1 审 读题弄清题意 找出题中已知条件和所要求的问题 找出等量关系 2 设 根据问题设未知数 直接或间接设法 3 列 根据等量关系列出方程 4 解 解所列方程 求出未知量的值 5 验 检验所求的方程的根是否正确 是否符合题意 6 答 根据问题和所求写出答案 例1 原来每盒27元的一种药品 经两次降价后每盒售价为9元 求该药品两次降价的平均降价率是多少 精确到1 分析 解应用的关键是找到等量关系 若设该种药品两次平均降价率是x 则第一次降价后的售价 起始价 起始价 降价率x 第二次降价后的售价 第一次降价后的售价 第一次降价后的售价 降价率x 由些可列出方程27 1 x 2 9 典例突破 解 设该种药品两次平均降价率是x 根据题意 得 27 1 x 2 9 整理 得 1 x 2 解这个方程 得 x1 1 58 x2 0 42 经检验 x1 1 58不合题意舍去 所以x 0 42 答 该药品两次降价的平均降价率约是42 点拨 2 关于增长率问题 对于正的增长率问题 在弄清增长的次数n和问题中每一个数据的意义后 即可利用公式a 1 x n b求解 其中a b 对于负的增长率问题 若经过n次相等下降后 则由公式a 1 x n b 其中a b 即可求解 1 找出相等关系的关键是审题 审题是列方程 组 的基础 找出相等关系是列方程 组 解应用题的关键 例2 如图 一农户原来种植的花生 每公顷产量为3000kg 出油率为50 即每100kg花生可加工花生油50kg 现在种植新品种花生后 每公顷收获的花生可加工出花生油1980kg 已知花生出油率的增长率是产量增长率的 求新品种花生生产量的增长率 例2 如图 一农户原来种植的花生 每公顷产量为3000kg 出油率为50 即每100kg花生可加工花生油50kg 现在种植新品种花生后 每公顷收获的花生可加工出花生油1980kg 已知花生出油率的增长率是产量增长率的 求新品种花生生产量的增长率 解 设新品种花生产量的增长率为x 根据题意 得 解得 x1 0 2 20 x2 3 2 不合题意舍去 答 新品种花生生产量的增长率为20 分析 设新品种花生产量的增长率为x 则新品种花生出油率的增长率为x 根据 新品种花生每公顷产量 新品种花生出油率 1980 可列出方程 3000 1 x 50 1 x 1980 随堂练习 1 某商品原价289元 经过连续两次降价后售价为256元 设平均每次降价的百分率为x 则下面所列方程正确的是 A 289 1 x 2 256 B 256 1 x 2 289 C 289 1 2x 256 D 256 1 2x 289 A 2 某种商品零售价经过两次降价后的价格为降价前的81 则平均每次降价为 3 家家乐专卖店今年3月份售出玩具3600个 5月份售出4900个 设每月平均增长率为x 根据题意 列出关于x的方程为 3600 1 x 2 4900 C A 20 B 19 C 10 D 9 5 4 某超市1月份的营业额为200万元 1月 2月 3月的营业额共1000万元 如果平均每月的增长率为x 则根据题意列出的方程为 200 1 1 x 1 x 2 1000 5 某磷肥厂去年4月份生产磷肥500t 因管理不善 5月份的磷肥产量减少了10 从6月份起强化了管理 产量逐月上升 7月份产量达到648t 求该厂6月份 7月份产量的月平均增长率 解 设该厂6月份 7月份产量的月平均增长率为x 则500 1 10 1 x 2 648 整理得25x2 50 x 11 0 解方程 得x1 0 2 x2 2 2 x2 2 2不符合题意 所以取x 0 2 答 设该厂6月份 7月份产量的月平均增长率为20 6 某省为解决农村饮水问题 省财政部门共投资20亿元对各市的农村饮用水的 改水工程 予以一定比例的补助 2014年 A市在省财政补助的基础上再投入600万元用于 改水工程 计划以后每年以相同的增长率投资 2016年该市计划投资 改水工程 1176万元 1 求A市投资 改水工程 的年平均增长率 2 从2014年到2016年 A市三年共投资 改水工程 多少万元 解 1 设A市投资 改水工程 年平均增长率为x 则 600 1 x 2 1176 解得 x 0 4或x 2 4 不合题意舍去 答 A市投资 改水工程 的年平均增长率为40 2 600 600 1 0 4 1176 2616 万元 答 A市三年共投资 改水工程