多面体外接球问题1.doc

多面体外接球问题11三棱柱的各个顶点都在球的球面上，且平面。若球的表面积为，则这个三棱柱的体积是（ ）A B C D12已知如图所示的三棱锥的四个顶点均在球的球面上，和所在的平面互相垂直，则球的体积为（ ）A B C D3在三棱锥中，ABC与BCD都是边长为6的正三角形，平面ABC平面BCD，则该三棱锥的外接球的体积为（ ）A. B. C. D.4正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积是（ ）A B C D5一个棱长为的正三棱柱的六个顶点全部在同一个球面上，则此球的表面积为（ ）A B C D6一个正三棱锥(底面积是正三角形，顶点在底面上的射影为底面三角形的中心)的四个顶点都在半径为的球面上，其中底面的三个顶点在该球的一个大圆上，则刻正三棱锥的体积是（ ）A B C D7已知正四棱柱中，分别为的中点，则三棱锥的体积为（ ）A B C D8三棱锥中，平面，则该三棱锥外接球的表面积为（ ）A B C D9在三棱柱中，侧棱垂直于底面，且三棱柱的体积为3，则三棱柱的外接球的表面积为（ ）A B C D10已知四棱锥的所有顶点都在同一圆面上，底面是正方形且和球心在同一平面内，若此四棱锥的最大体积为，则球的表面积等于（ ）A B C D11球的球面上有四点，其中四点共面，是边长为2的正三角形，面面，则棱锥的体积的最大值为（ ）A B C D412如图所示，直四棱柱内接于半径为的半球，四边形为正方形，则该四棱柱的体积最大时，的长为（ ）A B C D13在正三棱锥中，是的中点，且，底面边长，则正三棱锥的外接球的表面积为（ ）A B C D14已知三棱锥,在底面中, 面,则此三棱锥的外接球的表面积为（ ）A B C D15已知直三棱柱的个顶点都在球的球面上，若，则球的表面积为为（ ）A B C D16在平行四边形中，将此平行四边形沿折成直二面角，则三棱锥外接球的表面积为（ ） A B C D17点在同一个球的球面上，若四面体体积的最大值为，则该球的表面积为（ ）A B C D18正三棱柱的底面边长为，侧棱长为2，且三棱柱的顶点都在同一个球面上，则该球的表面积为（ ）A B C D19一个几何体的顶点都在球面上，它们的正视图、侧视图、俯视图都是下图图中圆内有一个以圆心为中心边长为1的正方形则这个四面体的外接球的表面积是（ ）A2 B3 C4 D520三棱柱的各个顶点都在球的球面上，且，平面若球的表面积为，则这个三棱柱的体积是（ ）A B C D参考答案1C【解析】试题分析：平面,三棱柱内接球,为距形的中心, 设球半径为,则,即,三棱柱的高,三棱柱的体积,故选C。考点：1.棱柱外接球的性质；2.球的表面积公式及棱柱的体积公式。2C【解析】试题分析：因为，所以的中点为的外心，连接，则，又和所在的平面互相垂直，所以平面，上的每一点到距离相等，因此正三角形的中心即是外接球球心，其半径也是外接球半径，所以球半径，求体积为，故选C.考点：1、外接球的性质及勾股定理；2、面面垂直及球的体积公式.【方法点睛】本题主要考查外接球的性质及勾股定理、面面垂直及三棱锥外接球体积的求法，属于难题.要求外接球的表面积和体积，关键是求出求的半径，求外接球半径的常见方法有：若三条棱两垂直则用（为三棱的长）；若面（），则（为外接圆半径）；可以转化为长方体的外接球；特殊几何体可以直接找出球心和半径.本题是根据方法直接找出球心并求出半径进而得到求体积的.3D【解析】取BC的中点为M，E、F分别是正三角形ABC和正三角形BCD的中心，O是该三棱锥外接球的球心，连接AM、DM、OF、OE、OM、OB，则E、F分别在AM、DM上，OF平面BCD，OE平面ABC，OMBC，AMBC，DMBC，所以AMD为二面角ABCD的平面角，因为平面ABC平面BCD，所以AMDM，又AM=DM=，所以=，所以四边形OEMF为正方形，所以OM=，在直角三角形OMB中，球半径OB=，所以外接球的体积为= ，故选D.【命题意图】本题主要考查球的截面性质及球的体积计算，考查空间想象能力、运算求解能力、逻辑推理能力，是难题.4B【解析】试题分析：如图正四棱锥，是棱锥的高（是底面正方形中心），是外接球球心，在高上，由已知，设外接球半径为，则，故选B考点：棱锥与外接球，球的表面积【名师点睛】与外接球、内切球有关的问题，我们主要掌握一些特殊的几何体的外接球与内切球的位置，如正方体、长方体的外接球(内切球)对角线的交点，对角线是球的直径，正棱锥的外接球(内切球)的球心在其高上，圆柱、圆锥、圆台的外接球球心在其上下底中心连线上，当然解决此类问题，作几何体的轴截面也是解决问题的一个有用的途径5A【解析】试题分析：因为正三棱柱的刘个顶点都在同一球面上，所以球心在上、下底面中心连线的中点处，在中所以，即，所以球的表面积为故选A. 考点：多面体与球的组合体及球的截面性质.6C【解析】试题分析：由题意得知正三棱锥的顶点到底面的距离为，因为底面是正三角形且球半径为，所以底面边长为，底面面积为，所以体积为，故选C.考点：组合体问题及几何体的体积的计算.7A【解析】试题分析：由题意得，为等腰三角形，其中，高，所以的面积为，三棱锥的为，所以三棱锥的体积为，故选A.考点：三棱锥的体积的计算.8A【解析】试题分析：由题意得，平面，所以平面是三棱锥的外接圆的直径，因为中，所以，可得外接球的半径为，所外接球的表面积为，故选A.考点：球的组合体及球的表面积公式.【方法点晴】本题主要考查了特殊三棱锥中求外接球的表面积，着重考查了直线与平面垂直的判定与性质、勾股定理和球的表面积公式，同时考查了推理与运算能力，属于中档试题，本题的解答中，根据题意，证得平面是三棱锥的外接圆的直径，利用勾股定理几何体题中数据算得球的直径，得到球的半径，即可求解球的表面积.9A【解析】试题分析：由题意得，则，解得，则外接球的半径为，其表面积为.故正确答案为A.考点：简单组合体的体积、表面积的计算.10B【解析】试题分析：由题意得，当此四棱锥的体积取得最大值时，四棱锥为正四棱锥，因为该四棱锥的体积为，设球的半径为，又底面是正方形且和球心在同一平面内，所以正四棱锥的底面边长为，高为，所以，所以球的表面积为，故选B考点：四棱锥的体积与球的表面积公式【方法点晴】本题主要考查了球内接多面体问题、四棱锥的体积和球的表面积公式的应用，解得关键在于确定球的半径，再利用公式求解，属于中档试题，着重考查了学生的空间想象能力和推理、运算能力，本题的解答中线确定当此四棱锥的体积取得最大值时，该四棱锥为正四棱锥，根据棱锥的体积公式，列出方程求解球的半径，利用球的表面积公式计算球的表面积11A【解析】试题分析：设球心和的外心为，延长交于点，则由球的对称性可知，继而由面面可得所在的平面，所以是三棱锥的高；再由四点共面可知是的中心，故，当三棱锥的体积最大时，其高为，故三棱锥的体积的最大值为，应选A。考点：几何体的外接球等有关知识的运用。【易错点晴】球与几何体的外接和内切问题一直是高中数学中题的重要题型，也高考和各级各类考试的难点内容。本题将三棱锥与球外接整合在一起考查三棱锥的体积的最大值无疑是加大了试题的难度。解答本题时要充分利用题设中提供的有关信息，先确定球心的位置是三角形的外心，再求外接球的半径并确定当为三棱锥的高时，该三棱锥的体积最大并算出其最大值为。12D【解析】试题分析：设,则,所以直四棱柱的体积为,令,则,则,故,所以当时,即时,体积最大.故应选D.考点：导数的知识、四棱柱和球等知识的综合运用.13【解析】试题分析：根据三棱锥为正三棱锥，可证明出ACSB，结合SBAM，得到SB平面SAC，因此可得SA、SB、SC三条侧棱两两互相垂直最后利用公式求出外接圆的直径，结合球的表面积公式，可得正三棱锥S-ABC的外接球的表面积取AC中点，连接BN、SN，N为AC中点，SA=SC，ACSN，同理ACBN，SNBN=N，AC平面SBN，SB平面SBN，ACSB，SBAM且ACAM=A，SB平面SACSBSA且SBAC，三棱锥S-ABC是正三棱锥，SA、SB、SC三条侧棱两两互相垂直底面边长侧棱SA=2，正三棱锥S-ABC的外接球的直径为：，正三棱锥S-ABC的外接球的表面积是，故选：B考点：空间线面垂直的判定与性质；球内接多面体14D【解析】试题分析：底面三角形内，根据正弦定理，可得,满足勾股定理，,底面,所以,那么平面,所以,那么直角三角形有公共斜边,所以三棱锥的外接球的球心就是的中点,是其外接球的直径，,所以外接球的表面积,故选D.考点：球与几何体15C【解析】试题分析：由题意，三棱柱为直三棱柱，底面为直角三角形，把直三棱柱补成四棱柱，则四棱柱的体对角线是其外接球的直径，所以外接球半径为则三棱柱1外接球的表面积是故选C考点：几何体的外接球16A【解析】试题分析：因为平行四边形中，沿折成直二面角，所以三棱锥的外接球的直径为，且，所以三棱锥的外接球的半径为，所以三棱锥的外接球的表面积为；故选A考点：1.平面图形的折叠问题；2.多面体与球的组合17D【解析】试题分析：根据题意知，是一个直角三角形，其面积为其所在球的小圆的圆心在斜边的中点上，设小圆的圆心为， 四面体的体积的最大值，由于底面积不变，高最大时体积最大,所以与面垂直时体积最大，最大值为，即，如图 设球心为，半径为，则在直角中， ，即，则这个球的表面积为：,故选D.考点：立体几何圆的有关问题.【方法点睛】本题考查的知识点是球内接多面体，球的表面积，其中分析出何时四面体的体积的最大值，是解答的关键. 在本题中，四面体的体积的最大值，由于底面积不变，高最大时体积最大，即与面垂直时体积最大，根据几何体的特征，判定外接球的球心，求出球的半径，即可求出球的表面积.18B【解析】试题分析：因底面边长为,故底面中心到顶点的距离是,即球的截面圆的半径为,所以,其表面积为,故应选B.考点：球的面积与简单几何体的关系19B【解析】试题分析：由三视图可知：该四面体是正方体的一个内接正四面体，此四面体的外接球的半径为正方体的对角线长为，利用球的表面积公式得，故选B考点：球的结合体20C【解析】试题分析：由题意可知，三棱柱的底面是边