几何讲座(一) 线段相等(A).doc

A几何讲座（一） 线段相等（A）第二讲 三角形的基本性质和全等三角形【知识提要】三角形三内角和为1800，内角等于与它不相邻的两内角和。可以用来确定角的大小和大小关系。三角形两边之和大于第三边，可以用来比较线段大小。三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半，可以用来证明直线平行和确定线段的倍分关系。全等三角形的对应边相等，对应角相等，可以用来证明线段相等，角相等。全等三角形往往需要添辅助线构造出来。1， 如图等边三角形ABC中，B和C的平分线交于点O，过O作OD/AB，OE/AC，OD和OE分别交BC于点D，E。O求证：BD=DE=ECDECB2， 证明：直角三角形斜边的中点到各顶点的距离相等。ECBNM3， 如图E，F分别是ABCD的边BC，AD的中点，连接BF，DE，分别交对角线于M，N。FDA求证：AM=MN=NCHFDC4， 过ABCD的对称中心O作一条直线分别交AB，OCD于E，F，交CB，AD的延长线于G，H。AB求证：EG=FH。EGE G5， 已知ABC，以AB，AC为边向外作正方形ABDE，AACFG，求证：（1）BG=CE （2）BGCEDP FBCDC6。如图正方形ABCD中，M是AB的中点，NMNMD，BN平分CBE，求证：MD=MN。 EMBA 7 直角梯形中，和底边不垂直的腰的中点到另一腰的两端点的距离相等。B8 ABC中，AB=3AC，AE是BAC的平分线交BC于ED，过B作BF交AE于E，交AC的延长线于F，D使BE=EF。求证：AD=DE。FCAFAE9 如图D，E，F分别在ABC的各边上DE/AF，DCB且DE=AF。延长FD到G，使FG=2DF。求证：ED，AG互相平分。G BD10。ABC中C=Rt，高CD与角平分线AEE相交于点F，试证CE=CFF ACAD11。如图ABC是等边三角形，且AD=BE=CF。A1证明：A1B1C1也是等边三角形。F C1B1ECB 12。四边形两组对边延长后分别相交，且交点的连线与四边形的一条对角线平行。证明：另一条对角线的延长线平分对边交点连成的线段。D13。自ABC的边AB，AC向外作正三角形ABD，ACE，P，M，Q分别为BD，BC，CE的中点。EA求证：MP=MQ QPCMBBA线段相等（B）1， 在梯形ABCD中，一直线平行两底，且顺次交AD，HGFEDB，AC，BC于E，F，G，H，求证：EF=GHDCBA2， 在四边形ABCD中，AC=BD，AC与BD交于E，M。N分别FENM是BC，AD的中点，MN交AC于F，交BD于G。G求证：EF=GEDCAGED3.已知：BD，CE是ABC的两条高，从BC的中点F作DE的垂线FG。求证：DG=GE。 FCBC FP4。在RtABC中，AB=AC，D是斜边BC的中点，P是DDC上一点，PE垂直AB于E，PF垂直AC于F。求证；DE=DFEBA D GB5在锐角ABC的AB，BC上，向形外分别NM作正方形ABDE，BCFG，求证：这两个正E方形的中心到第三边的中点的距离相等。FCAPAD6等腰ABC中，AB=AC，D在AB上，在AC的延长线上截取CE=BD，DE交BC于F，求证：DF=EFFCBESE7梯形ABCD中，AD/BC，BA和CD的延长线交于S，QDAAC和BD交于Q点，连直线SQ，分别交AD于E，BC于F，求证：AE=DE ，BF=CF CBF MF8以ABC的边AB，AC为边，向外作正方形ABEF，HEACGH，ADBC于D，DA的延长线交FH于点M。GA求证：FM=MH DCBA 9ABD和ACE都是直角三角形，且ABD=ACE=90，EC连接DE，M为DE中点。求证：MB=MC。 M DB G 10。ABC中AC AB，D是AC上一点，CD=AB，E，F分别是ABC，AC上的点，且BE=EC，AF=FD，直线EF与直线AB交于G。DF求证：AG=AFECBFDC11。在正方形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD上，K且EAF=45，AKEF于K。 求证：AK=ABEBADC12以正方形ABCD的顶点A为圆心，AC为半径画弧，与过B点且与AC平行的直线BP交于P，AP与BC交于E。求证：CE=CPEPBAE13正三角形ABC的边长为a，在BC的延长线上取一点D，使CD=b，在BA的延长线上取一点E，使AE=a+b，求证：EC=ED。ADCBA几何讲座（二） 线段的和差（A）1.证明：等腰三角形底边上的任一点到两腰的距离之和为一定值。FEPCB2.证明:等边三角形内的任一点到三边的垂线段之和为一定值。CD3.如图，从平行四边形的A，B，C，D向形外的任意直线BL作垂线AA1、BB1、CC1、DD1垂足为A1、B1、C1、D1A求证：AA1 + CC1 = BB1 + DD1 LD1C1B1A1 EAD4如图：已知BAC=90AB=AC，BDDE，CEDE。求证：DE = BD + CECB KDB5。如图，以直角ABC的两条直角边向形外作正方形BCED，ACFH，并且从D，H向斜边的延长线作垂线DK，HM分别交斜边的延长线于K，M，求证：（1）ABC可以分成两个三ECA角形，这两个三角形分别全等于BKD，AHM，M（2）DK + HM = ABHF C D6。已知：AB是等腰直角三角形ABC的斜边，AD是A的平分线。求证：AC + CD = ABBAA7 ABC中，BM、CN分别是B、C的外角平分线，NM且AMBM，ANCN，则MN等于ABC的周长之半。CBA线段的和差 （B）1 过ABC的重心G作一直线，则在同侧的两顶点B，C与直EG线的距离之和等于第三个顶点A与直线的距离。FD CB DA2 如图E是正方形ABCD中CD的中点，BAF=2EAD。E求证：AF = BC + CFFCBA 3 在ABC中，ADBC于D，B=2C。求证：AB+BD=CD DCBFDA 4 如图，E为正方形ABCD的边CD上任意点，连BE，EBF平分ABE，交AD于F.求证：AF + CE = BECB 5 P是正三角形ABC的外接圆的BC弧上任一点，求证：PA = PB + PC6。ABC中，AB=AC，A=100，B的平分线交AC于D，求证：AD + BD = BC BBP7.已知P为线段AB的中点，过A，P，B三点向任意直线作平行线，AE/PQ/BF，分别交直线于E，Q，F求证：BF+AE=2PQ，或BF-AE=2PQPAFQEAFQEA8.已知：P为正ABC内任意一点，PDAB，PEBC，PFAC，D，E，F为垂足.FD求证：AD+BE+CF为定值。PECBEA几何讲座（三） 线段的倍分(A)1 如图：等腰ABC中，延长一腰AB到D，使BD=BA，CB取AB中点E，连CE。求证：CD=2CE D 2。梯形的两对角线的中点连线，必平行于底边，并等于两底边差的一半。3求证三角形的三条中线必交于一点，这点和各边中点的距离等于这边上中线的三分之一。EFA4如图：在ABC中，CD=BC，连接AD，延长DA使DA=AE。CB连接CE，并延长BA交CE于F，D已知 AF5。ABC中，E为BC边上中线AD的中点，连BE交AC于F。EDCB求证：AF6 如图。D为BC上的点，,连接AD，E为AD的中点，EDCB作射线CE交AB于F，若,SCED=1,SAFE是多少？ FKH E7.如图，在ABC的AB，AC边上向形外作正方形ABEF，GAACGH，作BC边上的高线AD，并延长DA交FH于K.DCB求证:FK = KH ； AK =BC A线段的倍分（B）1.如图：ABC中，D为AB中点，在AC上取OED，CD和BE交O，BC求证： A D2.ABC中，AB=AC，D，E分别在AB， AC上，且FDE交高AH于F，求的值，EHCBA3.在ABC中，延长BC到D，使CD=2BC，E在AC上，F且AE=2EC，DE的延长线交AB于F.