高考数学 强化双基复习课件18.ppt

36 数列的应用 典型例题 解 设第二个数为a 则第三个数为12 a 前三个数成等差数列 第一个数为3a 12 从而第四个数为16 3a 12 28 3a 依题意得 12 a 2 a 28 3a 化简整理得a2 13a 36 0 解得a 4或9 这四个数分别为0 4 8 16或15 9 3 1 1 有四个数 前三个数成等差数列 后三个数成等比数列 并且第一个数与第四个数的和是16 第二个数与第三个数的和是12 求这四个数 a2 1从而a1 1 d a3 1 d 整理得4 2d 2 17 2d 4 0 故an 2n 3或an 2n 5 解得2d 22或2 2 d 2或 2 当d 2时 an a2 n 2 d 1 2n 4 2n 3 当d 2时 an a2 n 2 d 1 2n 4 2n 5 f x 2 10 4x 2 由已知an log2f n log2 2 10 4n 2n 10 解得b 4 a 2 10 sn n n 9 ansn 2n n 5 n 9 n n 由ansn 0得 n 5 n 9 0 解得5 n 9 n n n 5 6 7 8 9 3 a1s1 64 a2s2 84 a3s3 72 a4s4 40 当5 n 9时 ansn 0 当10 n 22时 ansn a22s22 9724 104 当n 23时 ansn a23s23 11529 104 故整数104不是数列 ansn 中的项 解 1 由已知数列 an 1 an 是首项为 2 公差为1的等差数列 an 1 an a2 a1 n 1 1 n 3 an a1 a2 a1 a3 a2 an an 1 an an 1 n 4 n 2 6 2 1 0 1 2 n 4 而a1 2亦适合上式 解 2 显然当k 1 2 3时 ak bk 0 不适合题意 数列 ak 是递增数列 bk 是递减数列 数列 ak bk 是递增数列 5 已知等比数列 an 的各项均为正数 公比q 1 数列 bn 满足b1 20 b7 5 且 bn 1 bn 2 logma1 bn 2 bn logma3 bn bn 1 logma5 0 1 求数列 bn 的通项公式 2 设sn b1 b2 bn 求sn 解 1 将logma3 logma1 2logmq logma5 logma1 4logmq代入已知等式整理得 2 bn 2bn 1 bn 2 logmq 0 bn 2bn 1 bn 2 0 q 1 logmq 0 即bn bn 2 2bn 1 数列 bn 是等差数列 设其公差为d 则由b7 b1 6d可得d 解 2 令bn 0 得n 9 当n 9时 bn 0 当n 9时 bn 0 有 sn b1 b2 b9 b10 b11 bn 2 b1 b2 b9 b1 b2 bn 5 已知等比数列 an 的各项均为正数 公比q 1 数列 bn 满足b1 20 b7 5 且 bn 1 bn 2 logma1 bn 2 bn logma3 bn bn 1 logma5 0 1 求数列 bn 的通项公式 2 设sn b1 b2 bn 求sn 1 证 由an 3n 1 2an 1知 2 解 由an an 1及an 3n 1 2an 1知 an an 1 3n 1 3an 1 0 an 1 3n 2 an 1 an 3n 3an 3n 3 3n 1 2an 1 6an 1 0 0 an 1 3n 2 sk 2 sk2 k n k 4 满足 sk 2 sk2的正整数k的值是4 整理得k3 k 4 0 解 2 设 an 的公差为d 则在 sk 2 sk2中分别取k 1 2得 s1 2 s1且 s2 2 s4 即 a1 2 a1且 2a1 d 2 4a1 6d 解得a1 0 d 0或a1 0 d 6或a1 1 d 0或a1 1 d 2 若a1 0 d 0 则an 0 sn 0 sk 2 sk2成立 若a1 0 d 6 则s3 18 s9 216 s3 2 s9 若a1 1 d 0 则an 1 sn n sk 2 sk2成立 若a1 1 d 2 则an 2n 1 sn n2 sk 2 sk2成立 综上所述 共有三个满足条件的等差数列 an an 0 即0 0 0 an an 1 即1 1 1 an an 2n 1 即1 3 5 解 1 由已知可设等比数列 an 的公比为q 依题意得 an 2 2n 1 2n 即 an 的通项公式为an 2n sn 1 2 2 22 3 23 n 2n 2sn 1 22 2 23 3 24 n 2n 1 sn 2 22 23 2n n 2n 1 2n 1 2 n 2n 1 为使sn n 2n 1 30成立 应有2n 1 32 n 4 使sn n 2n 1 30成立的n的最小值为5 sn 1 2 2 22 3 23 n 2n 9 以数列 an 的任意相邻两项为坐标的点pn an an 1 n n 均在一次函数y 2x k的图象上 数列 bn 满足条件 bn an 1 an n n b1 0 1 求证 数列 bn 是等比数列 2 设数列 an bn 的前n项和分别为sn tn 若s6 t4 s5 9 求k的值 1 证 pn an an 1 n n 均在一次函数y 2x k的图象上 an 1 2an k 即 an 1 k 2 an k 又bn an 1 an an k 则bn 1 an 1 k 数列 bn 是等比数列 解得 k 8 2 解 b1 a1 k bn a1 k 2n 1 an bn k a1 k 2n 1 k s6 t6 6k a1 k 26 1 6k 63a1 5k t4 a1 k 25 1 15 a1 k s5 31a1 26k 9 10 1 已知数列 cn 其中cn 2n 3n 且数列 cn 1 pcn 为等比数列 求常数p 2 设 an bn 是公比不相等的两个等比数列 cn an bn 证明 数列 cn 不是等比数列 1 解 数列 cn 1 pcn 为等比数列 cn 1 pcn 2 cn 2 pcn 1 cn pcn 1 又cn 2n 3n 2n 1 3n 1 p 2n 3n 2 2n 2 3n 2 p 2n 1 3n 1 2n 3n p 2n 1 3n 1 即 2 p 2n 3 p 3n 2 2 p 2n 1 3 p 3n 1 2 p 2n 1 3 p 3n 1 解得p 2或3 2 证 设 an bn 的公比分别为p q p q 为证 cn 不是等比数列 只须证c22 c1 c3 事实上 c22 a1p b1q 2 a12p2 b12q2 2a1b1pq c1 c3 a1 b1 a1p2 b1q2 a12p2 b12q2 a1b1 p2 q2 p q p2 q2 2pq 又a1 b1不为零 c22 c1 c3 故 cn 不是等比数列 11 设等比数列 an 的各项为实数 前n项的和为sn 公比为q 1 若s5 s15 s10成等差数列 求证 2s5 s10 s20 s10成等比数列 2 若2s5 s10 s20 s10成等比数列 试问若s5 s15 s10一定成等差数列吗 请说明理由 1 证 由已知q 1 若q 1 则s5 5a1 s15 15a1 s10 10a1 不满足s5 s15 s10成等差数列 s5 s10 2s15 0 t 1 q5 1 q10 2 2q15 0 即tq5 2q10 q5 1 0 tq5 0 2q10 q5 1 0 以下有两种证法 2s5 s10 s20 s10成等比数列 法2 1 q5 2q10 2s5 s10 s20 s10成等比数列 2 解 不一定成立 例如q 1时 显然2s5 s10 s20 s10成等比数列 但s5 s15 s10不成等差数列 11 设等比数列 an 的各项为实数 前n项的和为sn 公比为q 1 若s5 s15 s10成等差数列 求证 2s5 s10 s20 s10成等比数列 2 若2s5 s10 s20 s10成等比数列 试问若s5 s15 s10一定成等差数列吗 请说明理由 12 设数列 an 的前n项和为sn 若 sn 是首项为s1各项均为正数且公比为q的等比数列 1 求数列 an 的通项公式an 用s1和q表示 2 试比较an an 2与2an 1的大小 并证明你的结论 解 1 由已知sn s1qn 1 q 0 当n 1时 a1 s1 当n 2时 an sn sn 1 s1 q 1 qn 2 2 当n 1时 a1 a3 2a2 s1 s1 q 1 q 2s1 q 1 s1 q2 3q 3 0 a1 a3 2a2 当n 2时 an an 2 2an 1 s1 q 1 qn 2 s1 q 1 qn 2s1 q 1 qn 1 s1 0 qn 2 0 当q 1时 q 1 3 0 an an 2 2an 1 0 an an 2 2an 1 s1 q 1 3qn 2 当0 q 1时 q 1 3 0 an an 2 2an 1 0 an an 2 2an 1 当q 1时 q 1 3 0 an an 2 2an 1 0 an an 2 2an 1 综上所述 当n 1时 a1 a3 2a2 当n 2时 若q 1 则an an 2 2an 1 若0 q 1 则an an 2 2an 1 若q 1 则an an 2 2an 1 13 下表给出一个 三角形数阵 已知每一列的数成等差数列 从第三行起每一行的数成等比数列 每一行的公比都相等 记第i行第j列的数为aij i j i j n 1 求a83 2 写出aij关于i j的表达式 3 记第n行的和为an 求数列 an 的前m项和bm的表达式 解 1 依题意 ai1 成等差数列 14 设各项均为正数的数列 an 和 bn 满足5an 5bn 5an 1成等比数列 lgbn lgan 1 lgbn 1成等差数列 且a1 1 b1 2 a2 3 求通项an bn 解 5an 5bn 5an 1成等比数列 5bn 2 5an 5an 1 2bn an an 1 又 lgbn lgan 1 lgbn 1成等差数列 又由lgb1 lga2 lgb2成等差数列 且b1 2 a2 3得 又a1 1亦适合上式 1 证 设等比数列 an 的公比为q 由题设知a1 0 q 0 当q 1时 sn na1 snsn 2 sn 12 na1 n 2 a1 n 1 2a12 a12 0 a12qn 0 snsn 2 sn 12 0 snsn 2 sn 12 lgsnsn 2 lgsn 12 lgsn lgsn 2 2lgsn 1 a12 0 na1 c n 2 a1 c n 1 a1 c 2 条件 不成立 即不存在常数c 0 使结论成立 当q 1时 sn c sn 2 c sn 1 c 2 当q 1时 sn c sn 2 c sn 1 c 2 a1qn a1 c 1 q 且a1qn 0 故只能有a1 c 1 q 0 即 0 q 1 但当0 q 1时 不满足条件 即不存在常数c 0 使结论成立 由 得snsn 2 sn 12 c sn sn 2 2sn 1 sn sn 2 2sn 1 sn c sn 2 c 2 sn 1 c c 0 式右