无穷大与无穷小,极限的四则运算.doc

河北科技大学教案用纸第 4 次课 2 学时上次课复习：本次课题（或教材章节题目）：第五节 无穷小与无穷大、第六节 极限的四则运算教学要求：1.理解无穷小、无穷大的概念， 2.掌握无穷小与无穷大的关系，3.掌握无穷小的性质，4.掌握极限的四则运算及复合函数极限的求法。 重 点：无穷小的概念及性质、极限的四则运算。难 点：复合函数的极限教学手段及教具：讲授内容及时间分配：无穷小的概念， 10分钟无穷大的概念 5分钟无穷小与无穷大的关系 10分钟函数、极限及无穷小三者之间的关系 10分钟无穷小的运算性质 15分钟极限的四则运算 25分钟复合函数的极限 15分钟课后作业P54 2. 3. 4.P63-64 1.(2)(3)(5)(7)(8)(9)(11) 3.参考资料1.5 无穷小与无穷大一、无穷小若当（或）时的极限为零，就称为当（或）时的无穷小，即有定义1：对若，使得当时，有成立，就称为当时的无穷小，记为。注：除上两种之外，还有的情形。：无穷小不是一个数，而是一个特殊的函数（极限为0），不要将其与一个绝对值非常小的数混淆，因为任一常数不可能任意地小，除非是0，即0是唯一可作为无穷小的常数。【例1】 因为，所以当时为无穷小；同理：，所以当时为无穷小，定理1：当自变量在同一变化过程（或）中，（i）具有极限的函数等于其极限值与一个无穷小之和，即：为的极限。（ii）若一函数可表示为一常数与无穷小之和，那么该常数就是其极限。二、无穷大 若当或时，就称为当或时的无穷大。定义2：若对，使得当时，有，就称当时的无穷大，记作:。注：同理还有时的定义。 ：无穷大也不是一个数，不要将其与非常大的数混淆。 ：若或，按通常意义讲，的极限不存在。【例2】 可证明，所以当时为无穷大。 曲线的渐近线：一般地，若是曲线y=f(x)的一条水平渐近线。若是曲线y=f(x)的一条垂直渐近线。定理2：当自变量在同一变化过程中时，（i）若为无穷大，则为无穷小。（ii）若为无穷小，且，则为无穷大。（证明略）1.6 极限运算法则定理1：有限个无穷小的和仍为无穷小，即设.证明：考虑两个无穷小的情形。 设时 均为无穷小。 注：可以推广到有限多个无穷小的代数和的情形。但是，无穷多个无穷小的和不一定是无穷小，如：定理2：有界函数与无穷小的乘积仍为无穷小，即设有界，。证明：证明时的情况，设函数在的某邻域内有界，即，当时，有，又设为当时的无穷小，即，故对，当时，有所以，即为无穷小；同理可证时的情形。推论1：常数与无穷小的乘积仍为无穷小，即若为常数，。推论2：有限个无穷小的乘积仍为无穷小，设。定理3：若，则存在，且。证明： 只证，过程为，对，当 时，有，对此，当时，有，取，当时，有 所以。 其它情况类似可证。注：本定理可推广到有限个函数的情形。定理4：若，则存在，且。证明：因为，由1.5定理1（i）（均为无穷小），记，由定理2的推论1.2及定理1为无穷小，再由1.5定理1（iii）。推论1：（为常数）。推论2：（为正整数）。定理5：设，则。证明：设（为无穷小），考虑差： 其分子为无穷小，分母，我们不难证明有界（详细过程见书上）为无穷小，记为，所以，由1.5定理1（ii）。注：以上定理对数列亦成立。定理6：如果，且，则。【例1】。【例2】。推论1：设为一多项式，当。推论2：设均为多项式，且，由定理5，。【例3】。【例4】（因为）。注：若，则不能用推论2来求极限，这时需采用其它手段。【例5】求。解：当时，分子、分母均趋于0，因为，约去公因子，所以 。【例6】求。解：当极限均不存在，故不能直接用定理3，但当时，所以。【例7】求。解：当时，故不能直接用定理5，又，考虑：， 由1.5定理2（ii）。【例8】设为自然数，则 。证明：当时，分子、分母极限均不存在，故不能用1.6定理5，先变形： 【例9】。【例10】证明为的整数部分。证明：先考虑，因为是有界函数，且当时，所以由1.6定理2。定理7：设函数 在时极限为 a ，即但在 的某个去心邻域内，且则复合函数当时的