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河北科技大学教案用纸第 4 次课 2 学时上次课复习:本次课题(或教材章节题目):第五节 无穷小与无穷大、第六节 极限的四则运算教学要求:1.理解无穷小、无穷大的概念, 2.掌握无穷小与无穷大的关系,3.掌握无穷小的性质,4.掌握极限的四则运算及复合函数极限的求法。 重 点:无穷小的概念及性质、极限的四则运算。难 点:复合函数的极限教学手段及教具:讲授内容及时间分配:无穷小的概念, 10分钟无穷大的概念 5分钟无穷小与无穷大的关系 10分钟函数、极限及无穷小三者之间的关系 10分钟无穷小的运算性质 15分钟极限的四则运算 25分钟复合函数的极限 15分钟课后作业P54 2. 3. 4.P63-64 1.(2)(3)(5)(7)(8)(9)(11) 3.参考资料1.5 无穷小与无穷大一、无穷小若当(或)时的极限为零,就称为当(或)时的无穷小,即有定义1:对若,使得当时,有成立,就称为当时的无穷小,记为。注:除上两种之外,还有的情形。:无穷小不是一个数,而是一个特殊的函数(极限为0),不要将其与一个绝对值非常小的数混淆,因为任一常数不可能任意地小,除非是0,即0是唯一可作为无穷小的常数。【例1】 因为,所以当时为无穷小;同理:,所以当时为无穷小,定理1:当自变量在同一变化过程(或)中,(i)具有极限的函数等于其极限值与一个无穷小之和,即:为的极限。(ii)若一函数可表示为一常数与无穷小之和,那么该常数就是其极限。二、无穷大 若当或时,就称为当或时的无穷大。定义2:若对,使得当时,有,就称当时的无穷大,记作:。注:同理还有时的定义。 :无穷大也不是一个数,不要将其与非常大的数混淆。 :若或,按通常意义讲,的极限不存在。【例2】 可证明,所以当时为无穷大。 曲线的渐近线:一般地,若是曲线y=f(x)的一条水平渐近线。若是曲线y=f(x)的一条垂直渐近线。定理2:当自变量在同一变化过程中时,(i)若为无穷大,则为无穷小。(ii)若为无穷小,且,则为无穷大。(证明略)1.6 极限运算法则定理1:有限个无穷小的和仍为无穷小,即设.证明:考虑两个无穷小的情形。 设时 均为无穷小。 注:可以推广到有限多个无穷小的代数和的情形。但是,无穷多个无穷小的和不一定是无穷小,如:定理2:有界函数与无穷小的乘积仍为无穷小,即设有界,。证明:证明时的情况,设函数在的某邻域内有界,即,当时,有,又设为当时的无穷小,即,故对,当时,有所以,即为无穷小;同理可证时的情形。推论1:常数与无穷小的乘积仍为无穷小,即若为常数,。推论2:有限个无穷小的乘积仍为无穷小,设。定理3:若,则存在,且。证明: 只证,过程为,对,当 时,有,对此,当时,有,取,当时,有 所以。 其它情况类似可证。注:本定理可推广到有限个函数的情形。定理4:若,则存在,且。证明:因为,由1.5定理1(i)(均为无穷小),记,由定理2的推论1.2及定理1为无穷小,再由1.5定理1(iii)。推论1:(为常数)。推论2:(为正整数)。定理5:设,则。证明:设(为无穷小),考虑差: 其分子为无穷小,分母,我们不难证明有界(详细过程见书上)为无穷小,记为,所以,由1.5定理1(ii)。注:以上定理对数列亦成立。定理6:如果,且,则。【例1】。【例2】。推论1:设为一多项式,当。推论2:设均为多项式,且,由定理5,。【例3】。【例4】(因为)。注:若,则不能用推论2来求极限,这时需采用其它手段。【例5】求。解:当时,分子、分母均趋于0,因为,约去公因子,所以 。【例6】求。解:当极限均不存在,故不能直接用定理3,但当时,所以。【例7】求。解:当时,故不能直接用定理5,又,考虑:, 由1.5定理2(ii)。【例8】设为自然数,则 。证明:当时,分子、分母极限均不存在,故不能用1.6定理5,先变形: 【例9】。【例10】证明为的整数部分。证明:先考虑,因为是有界函数,且当时,所以由1.6定理2。定理7:设函数 在时极限为 a ,即但在 的某个去心邻域内,且则复合函数当时的
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