高考数学第一轮总复习 8.5直线与圆锥曲线的位置关系（第1课时）精品导学课件.ppt

第八章圆锥曲线方程 直线与圆锥曲线的位置关系 第讲 5 第一课时 1 设直线l的方程为 ax by c 0 圆锥曲线方程为f x y 0 由消去x 或y 如消去y后得ax2 bx c 0 注意 若f x y 0表示椭圆 则方程中a 0 为此有 1 若a 0 当圆锥曲线是双曲线时 直线l与双曲线的渐近线 当圆锥曲线是抛物线时 直线l与抛物线的对称轴 平行或重合 平行或重合 2 若a 0 b2 4ac 当 0时 直线与圆锥曲线 当 0时 直线与圆锥曲线 当 0时 直线与圆锥曲线 2 直线与双曲线 或抛物线 有且只有一个公共点 是直线与双曲线 或抛物线 相切的 条件 直线与椭圆有且只有一个公共点 是直线与椭圆相切的 条件 3 设直线与圆锥曲线相交于p1 x1 y1 p2 x2 y2 两点 则 相交 相切 相离 必要非充分 充要 1 p1p2 2 当直线方程写成y kx b k r 形式时 其弦长用x1 x2表示为 p1p2 用y1 y2表示为 p1p2 3 若弦过焦点 可用 来表示弦长 简化运算 焦半径之和 4 设直线l与圆锥曲线c相交于a b两点 点m x0 y0 为弦ab的中点 直线l的斜率为k 则当曲线c为椭圆 a b 0 时 k 当曲线c为双曲线 a 0 b 0 时 k 当曲线c为抛物线y2 2px p 0 时 k 1 已知双曲线c 过点p 1 1 作直线l 使l与c有且只有一个公共点 则满足上述条件的直线l共有 a 1条b 2条c 3条d 4条解 数形结合法 与渐近线平行 与抛物线相切 选d d 2 已知对k r 直线y kx 1 0与椭圆恒有公共点 则实数m的取值范围是 a 0 1 b 0 5 c 1 5 5 d 1 5 解 直线y kx 1 0恒过点 0 1 仅当点 0 1 在椭圆上或椭圆内时 此直线才恒与椭圆有公共点 所以 1且m 0 m 5得m 1且m 5 故选c c 3 过抛物线y2 4x焦点的直线交抛物线于a b两点 已知 ab 8 o为坐标原点 则 oab的重心的横坐标为 解 由题意知抛物线焦点为f 1 0 易知x 1 不满足 ab 8 所以设过焦点f 1 0 的直线为y k x 1 k 0 a x1 y1 b x2 y2 将直线方程代入抛物线方程消去y 得k2x2 2 k2 2 x k2 0 2 因为k2 0 所以x1x2 1 因为所以k2 1 所以 oab的重心的横坐标为 1 已知直线l的一个方向向量为 1 tan 且过点 0 l交椭圆x2 9y2 9于a b两点 若 为l的倾斜角 且 ab 的长不小于短轴的长 求 的取值范围 解 依题意l的方程为y tan x 题型1圆锥曲线的弦长问题 将l的方程与椭圆的方程联立 消去y 得则所以由 ab 2 得所以所以 的取值范围是 点评 求解关于弦长问题的主要步骤是 联立方程组 消去一个未知数 得到一元二次方程 然后由韦达定理将弦长转化为方程系数的式子 便获得所求问题的解 本题由于l的方程由tan 给出 所以可以认定 否则涉及弦长计算时 还应讨论 时的情况 设直线l过双曲线的一个焦点 交双曲线于a b两点 o为坐标原点 若求 ab 的值 解 不妨设直线ab过右焦点f 2 0 其斜率为k 则直线ab的方程为y k x 2 代入双曲线方程 得3x2 k2 x 2 2 3 即 3 k2 x2 4k2x 4k2 3 0 设点a x1 y1 b x2 y2 则 从而y1y2 k2 x1 2 x2 2 k2 x1x2 2 x1 x2 4 因为即x1x2 y1y2 0 所以解得此时 16k4 4 3 k2 4k2 3 0 又当ab x轴时 点a 2 3 b 2 3 不满足条件 所以所以 2 已知定点f 1 0 过f作抛物线e y2 4x的两条互相垂直的弦ab cd 设ab cd的中点分别为g h 求证 直线gh必过定点q 3 0 证明 设a xa ya b xb yb g xg yg h xh yh 直线ab的方程为y k x 1 则 由 得ya yb 即yg 题型2圆锥曲线的中点弦问题 代入方程y k x 1 解得所以点g的坐标为同理可得点h的坐标为 2k2 1 2k 故直线gh的斜率为所以其方程为整理得y 1 k2 k x 3 不论为何值 3 0 均满足上述方程 所以 直线gh必过定点q 3 0 点评 解决与中点弦有关的问题 一般采用 点差法 即先将弦端点的坐标代入圆锥曲线的方程 然后两方程相减 得到弦中点的坐标及连线斜率的式子 同时 利用中点与定点连线的斜率与两交点连线的斜率相等 由此得到相应的式子 可使问题获解 已知双曲线的方程是2x2 y2 2 1 求以a 2 1 为中点的双曲线的弦所在的直线方程 2 过点b 1 1 能否作直线l 使l与所给双曲线交于q1 q2两点 且点b是弦q1q2的中点 这样的直线l如果存在 求出它的方程 如果不存在 说明理由 解 1 设以a 2 1 为中点的弦两端点分别为p1 x1 y1 p2 x2 y2 则有x1 x2 4 y1 y2 2 又由对称性知x1 x2 所以是中点弦p1p2所在直线的斜率 由p1 p2在双曲线上 则有2x12 y12 2 2x22 y22 2 两式相减得2 x1 x2 x1 x2 y1 y2 y1 y2 0 所以2 4 x1 x2 2 y1 y2 0 所以所求中点弦所在的直线方程为y 1 4 x 2 即4x y 7 0 2 可假定直线l存在 同理 求得l的方程为y 1 2 x 1 即2x y 1 0 联立方程消去y 得2x2 4x 3 0 然而方程的判别式 4 2 4 2 3 8 0 无实根 因此直线l与双曲线无交点 这一矛盾说明了满足条件的直线l不存在 如图 已知椭圆与抛物线 y m 2 x的公共弦ab经过椭圆的右焦点f 且抛物线的焦点也在弦ab上 求m的值 解 由椭圆方程知 点f 1 0 据题意 直线ab不与x轴垂直 从而可设直线ab的方程为y k x 1 题型圆锥曲线的焦点弦问题 代入整理得 4k2 3 x2 8k2x 4k2 12 0 设点a x1 y1 b x2 y2 则因为ab是椭圆的焦点弦 所以又ab是抛物线的焦点弦 所以 从而有所以于是得k2 6 所以因为抛物线的焦点在直线ab上 所以 1 在解析几何中 直线与圆锥曲线的位置关系可以转化为二元二次方程组的解的问题进行讨论 但直线与曲线只有一个交点时须除去如下两种情况 此直线才是曲线的切线 一是直线与抛物线的对称轴平行 二是直线与双曲线的渐近线平行 2 斜率为k的直线被圆锥曲线截得弦ab 若a b两点的坐标分别为a x1 y1 b x2 y2 则利用这个公式求弦长时 应注意应用韦达定理 3 与焦点弦长有关的