高等数学方明亮71多元函数的基本概念.ppt

2020年2月11日星期二 1 高等数学多媒体课件 牛顿 Newton 莱布尼兹 Leibniz 2020年2月11日星期二 2 第七章多元函数微分法及其应用 推广 一元函数微分学 多元函数微分学 注意 善于类比 区别异同 2020年2月11日星期二 3 主要内容 第一节多元函数的基本概念 第二节偏导数 第三节全微分 第四节多元复合函数的求导法则 第五节隐函数的求导公式 第六节多元微分学在几何上的应用 第七节方向导数与梯度 第八节多元函数的极值及其求法 2020年2月11日星期二 4 第一节多元函数的基本概念 第七章 Conceptionoffunctionsofseveralvariables 四 多元函数的连续性 一 平面点集n维空间 二 多元函数的概念 三 多元函数的极限 五 小结与思考练习 2020年2月11日星期二 5 一 平面点集n维空间 1 邻域 点集 称为点P0的 邻域 例如 在平面上 圆邻域 在空间中 球邻域 说明 若不需要强调邻域半径 也可写成 点P0的去心邻域记为 2020年2月11日星期二 6 在讨论实际问题中也常使用方邻域 平面上的方邻域为 因为方邻域与圆 邻域可以互相包含 2020年2月11日星期二 7 1 内点 外点 边界点 设有点集E及一点P 若存在点P的某邻域U P E 若存在点P的某邻域U P E 若对点P的任一邻域U P 既含E中的内点也含E 则称P为E的内点 则称P为E的外点 则称P为E的边界点 的外点 显然 E的内点必属于E E的外点必不属于E E的 边界点可能属于E 也可能不属于E 2 区域 2020年2月11日星期二 8 若对任意给定的 点P的去心 邻域 内总有E中的点 则 称P是E的聚点 聚点可以属于E 也可以不属于E 因为聚点可以为 所有聚点所成的点集成为E的导集 E的边界点 2 聚点 2020年2月11日星期二 9 若点集E的点都是内点 则称E为开集 若点集E E 则称E为闭集 若集D中任意两点都可用一完全属于D的折线相连 开区域连同它的边界一起称为闭区域 则称D是连通的 连通的开集称为开区域 简称区域 E的边界点的全体称为E的边界 记作 E 3 开区域及闭区域 2020年2月11日星期二 10 开区域 闭区域 例如 在平面上 2020年2月11日星期二 11 整个平面 点集 是开集 是最大的开域 也是最大的闭域 但非区域 对区域D 若存在正数K 使一切点P D与某定点 A的距离 AP K 则称D为有界域 界域 否则称为无 2020年2月11日星期二 12 n元有序数组 的全体称为n维空间 n维空间中的每一个元素 称为空间中的 称为该点的第k个坐标 记作 即 一个点 当所有坐标 称该元素为 中的零元 记作 O 3 n维空间 2020年2月11日星期二 13 的距离记作 中点a的 邻域为 规定为 与零元O的距离为 2020年2月11日星期二 14 二 多元函数的概念 引例 圆柱体的体积 定量理想气体的压强 三角形面积的海伦公式 2020年2月11日星期二 15 点集D称为函数的定义域 数集 称为函数的值域 特别地 当n 2时 有二元函数 当n 3时 有三元函数 映射 称为定义 在D上的n元函数 记作 定义1设非空点集 2020年2月11日星期二 16 定义域为 圆域 说明 二元函数z f x y x y D 图形为中心在原点的上半球面 的图形一般为空间曲面 三元函数 定义域为 图形为 空间中的超曲面 单位闭球 例如 二元函数 2020年2月11日星期二 17 三 多元函数的极限 定义2设n元函数 点 则称A为函数 也称为n重极限 当n 2时 记 二元函数的极限可写作 P0是D的聚 若存在常数A 对一 记作 都有 对任意正数 总存在正数 切 2020年2月11日星期二 18 求证 证 故 总有 要证 课本例5 例1设 2020年2月11日星期二 19 求证 证 故 总有 要证 自学课本例6 例2 补充题 设 2020年2月11日星期二 20 若当点 趋于不同值或有的极限不存在 解 设P x y 沿直线y kx趋于点 0 0 在点 0 0 的极限 则可以断定函数极限 则有 k值不同极限不同 在 0 0 点极限不存在 以不同方式趋于 不存在 函数 例3讨论函数 2020年2月11日星期二 21 仅知其中一个存在 推不出其它二者存在 不同 如果它们都存在 则三者相等 例如 显然 与累次极限 但由例3知它在 0 0 点二重极限不存在 二重极限 2020年2月11日星期二 22 四 多元函数的连续性 定义3设n元函数 定义在D上 如果函数在D上各点处都连续 则称此函数在D上 如果存在 否则称为不连续 此时 称为间断点 则称n元函数 连续 连续 2020年2月11日星期二 23 在点 0 0 极限不存在 又如 函数 上间断 故 0 0 为其间断点 在圆周 结论 一切多元初等函数在定义区域内连续 例如 函数 2020年2月11日星期二 24 解 原式 例6求函数 的连续域 解 补充题 例5 课本例9 求 2020年2月11日星期二 25 4 f P 必在D上一致连续 在D上可取得最大值M及最小值m 3 对任意 有界性定理 最值定理 介值定理 一致连续性定理 闭域上多元连续函数有与一元函数类似的如下性质 证明略 定理 若f P 在有界闭域D上连续 则 2020年2月11日星期二 26 内容小结 1 区域 邻域 区域 连通的开集 2 多元函数概念 n元函数 常用 二元函数 图形一般为空间曲面 三元函数 2020年2月11日星期二 27 有 4 多元函数的连续性 1 函数 2 闭域上的多元连续函数的性质 有界定理 最值定理 介值定理 3 一切多元初等函数在定义区域内连续 3 多元函数的极限 2020年2月11日星期二 28 习题7 11 2 3 3 5 偶数题 6 偶数题 7 1 8 9 课外练习 思考与练习 1 习题7 17 2 令x ky 若令 则 可见极限不存在 2020年2月11日星期二 29 2