高中数学配套课件：第1部分第三章31312用二分法求方程的近似解.ppt

考点一 考点二 考点三 理解教材新知 把握热点考向 应用创新演练 第三章 3 13 1 2 1 有12个小球 质量均匀 只有1个球比其他球重 问题 你用天平称几次可以找出这个球 要求次数越少越好 提示 其办法是 第一次 两端各放6个球 低的那一端一定有重球 第二次 两端各放3个球 低的那一端一定有重球 第三次 两端各放1个球 如果平衡 剩下的就是重球 否则 低的就是重球 2 已知函数f x x2 5 问题1 f x 在区间 2 3 内有零点吗 提示 有 因为f 2 f 3 0知零点在 2 2 5 内 问题3 能不能进一步把零点所在的区间缩小 提示 能 取 2 2 5 的中点2 25 计算知f 2 25 0 0625 0 而f 2 1 0 知零点在 2 2 25 内 问题4 在一定的精确度下 能否用上面的方法 找到零点的近似值 提示 能 1 二分法的定义对于在区间 a b 上且的函数y f x 通过不断地把函数f x 的零点所在的区间 使区间的两个端点逐步 进而得到零点近似值的方法叫做二分法 连续不断 f a f b 0 一分为二 逼近零点 2 二分法的步骤给定精确度 用二分法求f x 零点近似值的步骤如下 1 确定区间 a b 验证 给定精确度 2 求区间 a b 的中点c f a f b 0 3 计算f c 若f c 0 则c就是函数的零点 若f a f c 0 则令b c 此时零点x0 若f c f b 0 则令a c 此时零点x0 4 判断是否达到精确度 即若 则得到零点近似值a 或b 否则重复 2 4 a c c b a b 1 二分法就是通过不断逼近的办法 找到零点附近足够小的区间 根据所要求的精确度 用此区间的某个数值近似地表示零点 2 用二分法求函数的零点近似值的方法仅对函数的变号零点适用 即条件f a f b 0是必不可少的 对函数的不变号零点不适用 例1 下列函数图象与x轴均有交点 其中不能用二分法求图中函数零点的是 思路点拨 解答本题可根据二分法的定义 判断是否具备用二分法求零点的条件 精解详析 利用二分法求函数零点 必须满足零点两侧函数值异号 在B中 不满足f a f b 0 不能用二分法求零点 因为A C D中零点两侧函数值异号 故可采用二分法求零点 答案 B 一点通 判断一个函数能否用二分法求其零点的依据是 其图象在零点附近是连续不断的 且该零点为变号零点 因此 用二分法求函数的零点近似值的方法仅对函数的变号零点适用 对函数的不变号零点不适用 1 函数f x 的图象如图所示 函数f x 的变号零点个数为 A 0B 1C 4D 3 解析 由图可知 图象与x轴有4个公共点 有3个穿过x轴 所以共有4个零点 其中有3个变号零点 答案 D 2 下面关于二分法的叙述 正确的是 A 用二分法可求所有函数零点的近似值B 用二分法求方程的近似解时 可以精确到小数点后的任一位C 二分法无规律可循D 只有在求函数零点时才用二分法答案 B 3 用二分法求函数f x 在区间 a b 内的零点时 需要的条件是 f x 的图像在区间 a b 上是连续不断的 f a f b 0 f a f b 0 A B C D 答案 A 例2 用二分法求函数f x x3 x 1在区间 1 1 5 内的一个零点 精确度0 01 思路点拨 本题已给出函数表达式和规定的区间 可根据二分法求函数零点的步骤逐次计算缩小区间 直到达到所要求的精确度停止计算 确定出零点的近似值 精解详析 经计算f 1 0 所以函数在 1 1 5 内存在零点x0 取 1 1 5 的中点x1 1 25 经计算f 1 25 0 因为f 1 5 f 1 25 0 所以x0 1 25 1 5 如此继续下去 如下表 因为 1 328125 1 3203125 0 0078125 0 01 所以函数f x x3 x 1精确度为0 01的一个近似零点可取为1 328125 一点通 1 用二分法求函数的零点应遵循的原则首先要选好计算的初始区间 这个区间既要包含所求的零点 又要使其长度尽量小 其次要根据给定的精确度 及时检验所得区间端点的差的绝对值是否小于精确度 精确到给定的精确度 以决定是停止还是继续计算 2 用二分法求函数的零点的近似值 可借助于计算器完成计算 在计算时可用表格或数轴清晰地描述逐步缩小零点所在的区间的过程 在区间长度小于精确度 的时候 运算结束 区间内的任意一点都可作为函数零点的近似值 4 用二分法研究函数f x x3 3x 1的零点时 第一次计算f 0 0 可得其中一个零点x0 第二次应计算 以上横线应填的内容分别为 A 0 0 5 f 0 25 B 0 1 f 0 25 C 0 5 1 f 0 75 D 0 0 5 f 0 125 解析 因为f 0 0 故x0 0 0 5 依二分法 第二次应计算f 0 25 答案 A 5 证明方程6 3x 2x在区间 1 2 内有唯一实数解 并求出这个实数解 精确度0 1 证明 设函数f x 2x 3x 6 f 1 10 又 f x 是增函数 所以函数f x 2x 3x 6在区间 1 2 内有唯一的零点 则方程6 3x 2x在区间 1 2 内有唯一实数解 设该解为x0 则x0 1 2 取x1 1 5 则f 1 5 1 33 0 f 1 f 1 5 0 f 1 f 1 25 0 x0 1 1 25 取x3 1 125 则f 1 125 0 44 0 f 1 125 f 1 25 0 x0 1 125 1 25 取x4 1 1875 则f 1 1875 0 16 0 f 1 1875 f 1 25 0 x0 1 1875 1 25 1 25 1 1875 0 0625 0 1 可取x0 1 25 则方程的一个实数解近似可取为1 25 例3 10分 从某水库闸房 设为A 到防洪指挥部 设为B 的电话线路发生了故障 这是一条10km长的线路 如何迅速查出故障所在 如果沿着线路一小段一小段查找 困难很多 每查一个点 就要爬一次电线杆子 10km长 大约有200多根电线杆子呢 想一想 维修线路的工人师傅怎样工作最合理 每查一次 可以把待查的线路长度缩减一半 算一算 要把故障可能发生的范围缩小到50m 100m之间 要查多少次 精解详析 1 如图所示 他首先从中点C检查 用随身带的话机向两端测试时 假设发现AC段正常 断定故障在BC段 再到BC段中点D查 这次若发现BD段正常 可见故障在CD段 再到CD段中点E查 5分 一点通 二分法的思想在实际生活中应用十分广泛 二分法不仅可用于线路 水管 煤气管道故障的排查等 还能用于实验设计 资料查询 资金分配等 6 某产品中含有某种贵重金属 当含贵重金属的比例达到某一指标时 产品符合要求 现已知生产出的含16 贵重金属的产品质量符合要求 问 贵重金属的比例是否可以更少一些 使得产品质量仍然符合要求 精确到0 01 解 将产品质量看成是贵重金属比例x 的函数f x 产品质量合格记为f x 0 不合格记为f x 0 先取 0 16 的中点 即x 8 用含贵重金属比例8 的配方生产一次 如果产品合格 即f 8 0 则要在 0 8 内再进行试验 如果产品不合格 即f 8 0 则要在 8 16 内再进行试验 假设f 8 0 取 0 8 的中点x 4 用含贵重金属比例4 的配方生产一次 如果产品合格 即f 4 0 则要在 0 4 范围内再进行试验 如果产品不合格 即f 4 0