第四章 量子力学中的力学量.doc

第四章 量子力学中的力学量4.1 算符的运算规则 4.1.1、算符的定义：作用在一个函数上得出另一个函数的运算符号。由于算符只是一种运算符号，所以它单独存在是没有意义的，仅当它作用于波函数上，对波函数做相应的运算才有意义，例如：。其作用是对函数微商，故称为微商算符；它对作用是使变成。量子力学中表示力学量的算符的规则的基本假设：如果量子力学中的力学量在经典力学中有相应的力学量，则表示这个力学量的算符由经典表示式将换为算符得到。如角动量算符。4.1.2、算符的一般特性（1）线性算符满足如下运算规律的算符称为线性算符 其中是任意复常数，是任意两个波函数。 例如：动量算符和单位算符都是线形算符。而开方算符、取复共轭就不是线性算符。描写可观测量的力学量算符都是线性算符，这是态叠加原理的反映。 （2）算符相等 若两个算符、对体系的任何波函数的运算结果都相同，即，则算符 和算符 相等记为。（3）算符之和 若两个算符、对体系的任何波函数有，则称为算符之和。例如：体系Hamilton 算符表明Hamilton算符等于体系动能算符和势能算符之和。显然，算符求和满足交换率和结合率。很易证明线性算符之和仍为线性算符。（4）算符之积 若，则称为算符的乘积，其中是任意波函数。一般来说算符之积不满足交换律，即，这是算符与通常数字运算规则的唯一不同之处。例如。（5）对易关系若，则称与不对易。动量算符与坐标算符的对易关系：于是，因为是任意波函数，所以，同样可得和。但是坐标算符与其非共轭动量对易，各动量之间相互对易。例如等。写成通式 上式是量子力学中最基本的 对易关系。若算符满足 = - ， 则称和反对易。 注意： 当与对易，与对易，不能推知与对易与否。例如：与对易，与对易，而与不对易例计算对易关系，其中证可采用如下方法计算对易关系最后得到（7）逆算符 定义: 设, 能够唯一的解出,则可定义算符的逆算符为: 。 性质 I: 若算符的逆存在,则，且 证:因为是任意函数,所以成立. 同理, 亦成立. 性质 II: 若, 均存在逆算符, 则 。（8）算符函数设给定一函数，其各阶导数均存在, 其幂级数展开收敛，即 则可定义算符的函数为 例如: ，（9）复共轭算符算符的复共轭算符就是把表达式中的所有量换成复共轭. 例如: 坐标表象中（10）转置算符算符的转置算符定义为式中和是两个任意函数。例1：证：式中假设，若此假设不成立，则作周期性边界条件假设。于是得到。由于是任意波函数，所以。同理可证:可以证明：(11)厄密共轭算符 算符的厄密共轭算符定义为由 最后等式用到转置算符的定义，因此厄密共轭算符亦可写成：可以证明: 。 (12) 厄密算符 满足下列关系的算符称为厄密算符 或 厄密算符具有如下性质性质: 两个厄密算符之和仍是厄密算符。即若，则。性质: 两个厄密算符之积一般不是厄密算符, 除非二算符对易。因为，仅当时，才成立。4.2 动量算符和角动量算符4.2.1动量算符1. 动量算符的厄密性 使用波函数在无穷远处趋于零或周期性的边界条件得由证明过程可见，算符的厄密性与波函数的边界条件有关。2动量算符的本征值和本征函数。动量算符的本征方程 其分量形式为采用分离变量法，令，代入动量本征方程并写成分量形式,且等式两边除以该式，得解之得于是这正是自由粒子的 de Broglie波的空间部分波函数。3. 归一化系数的确定 如果取则就可归一化为-函数，即据上所述，动量算符的本征值是连续分布的，本征函数不能归一化为一，而只能归一化为-函数。欲取分立值时，可以采用箱归一化，或称周期性边界条件在箱子边界的对应点A, A上加上其波函数相等的条件，此边界条件称为周期性边界条件。即，或写为，。由此得，于是有。这表明，只能取分立值。换言之，加上周期性边界条件后，连续谱变成了分立谱。同理。最后波函数变为这时归一化系数c可由归一化条件来确定所以，归一化的本征函数为4关于动量算符本征函数的几点说明：（1）箱归一化实际上就是选择周期性边界条件。（2）由可以看出，相邻两本征值的间隔与成反比。当选的足够大时，本征值间隔可任意小，当时，本征值变成为连续谱。（3）从这里可以看出，只有分立谱才能归一化为一，连续谱归一化为 d函数。（4）就是自由粒子波函数，在它所描写的状态中，粒子动量有确定值，该确定值就是动量算符在这个态中的本征值。（5）周期性边界条件是动量算符厄米性的要求。（6）箱归一化与归一化为d函数之间的关系则是基于相空间中的统计意义。4.2.2角动量算符1角动量算符的形式经典力学中，若动量为，相对坐标原点点O 的位置矢量为的粒子绕 O 点的角动量是。根据量子力学基本假定，量子力学角动量算符为。在直角坐标系中的分量表示为 2角动量平方算符由于角动量平方算符中含有关于 x，y，z 偏导数的交叉项,所以直角坐标下角动量平方算符的本征方程不能分离变量,难于求解,为此采用球坐标较为方便.3球坐标系利用直角坐标与球坐标之间的变换关系将（1）式两边分别对 x y z 求偏导数得：将上面结果代回原式得：可得在球坐标中角动量算符的表达式及角动量平方算符的表达式思考题:1.定轴转动系统的Hamiltonian. 2.波函数正交,归一性的物理意义. 3.为什么描述物理量的算符是厄米算符. 4.如果Hamiltonian算符是非厄米的可能有什么意义吗？ 5.将动量算符本征函数能归一化为-函数的物理意义是什么？4.2.3本征方程1. 的本征值和本征函数的本征方程为 解之得 其中是积分常数，也就是归一化系数。波函数有限条件，要求为实数；波函数单值条件，要求当转过2角回到原位时波函数值相等，即，于是得解得 由 得。的本征函数可表示为。不难证明，的本征函数满足正交归一性讨论： 按的厄米性要求，其中和是粒子的任意两个态函数。厄密性要求上式最后一个等式的第一项为零，即因和是任意函数，所以可取，这就是周期性边界条件。2. 的本征值和本征函数的本征值方程可写为：即或其中是属于本征值 的本征函数。此方程就是大家熟悉的球谐函数方程，其求解方法在数学物理方法中已有详细 的讲述，得到的结论是：为使在变化的整个区域内都是有限的，则必须满足：, 其中。的表达式为由归一化条件 确定系数 的正交归一条件为3.本征值的简并度由于量子数表征了角动量的大小，所以称为角量子数；m 称为磁量子数。根据球函数定义式可知，对应一个值， 取值为 0, 1, 2, 3, ., 共个值。因此当确定后，尚有个磁量子状态不确定。换言之，对应一个值有个量子状态，这种现象称为简并，的简并度是度。这表明角动量在空间的取向有种可能性，是量子化的。例如：角动量z方向分量有5种取值说明有五种可能的取向，如图所示。4.角动量算符的对易关系证明： 同理可得 。统一表示为其中称为Levi-Civita符号。其意义是，其中或。5.角动量升降算符角动量升降算符定义为角动量升降算符显然有如下性质即所以，这两个算符不是厄密算符。升降算符与角动量升降算符的对易关系为练习题例：证明在本征态下，证：，将代入平均值公式得同理可得 。思考题:1.什么原因导致角动量量子化, 可否出现非量子化的角动量. 2.角动量平均值与本征值之间有何关系. 3.Lx,Ly的本征态是什么?. 4.能否求出角动量升降算符的本征态, 有何意义?.4.3氢原子中心力场是球对称场，势仅与的大小有关而与其方向无关。最常见的几种特殊中心力场有万有引力场、库仑场、各向同性谐振子场和无限深球方势阱。后三种中心力场在原子核结构问题中占有重要的地位。中心力场中运动粒子的有两个基本特征：其一，粒子的角动量守恒和能量守恒；其二，除角动量为零的态外，能量是简并的。量子力学发展史上最突出得成就之一是对氢原子光谱和化学元素周期律给予了相当满意得解释。氢原子是最简单的原子，其 Schrodinger方程可以严格求解，氢原子理论还是了解复杂原子及分子结构的基础。4.3.1二体问题的处理一个电子和一个质子组成的氢原子的 Schrodinger 方程是：, 其中将二体问题化为一体问题。定义质心坐标和相对坐标写成分量形式波函数则表示为。利用公式得于是系统 Hamilton 量则改写为：其中是折合质量。相对坐标和质心坐标下 Schrodinger 方程形式为：由于没有交叉项，波函数可以采用分离变量表示为：代入上式并除以，得于是：第一式描述氢原子的内部状态的方程，它描述一个质量为的粒子在势能为的力场中的运动。这是一个电子相对于核运动的波函数所满足的方程，相对运动能量E就是电子的能级。第二式是质心运动方程，描述能量为的自由粒子的定态Schrodinger方程，说明质心以能量作自由运动。4.3.2求解氢原子内部状态的Schrodinger 方程氢原子内部状态的Schrodinger 方程在球坐标中的表示是其中为角动量平方算符，用分离变量化简方程。设注意到，得径向运动方程令代入上式得：若令则得到于是化成了一维问题，势称为等效势，它由离心势和库仑势两部分组成。下面讨论情况，方程可改写如下：令得再令，得到时，方程变为，考虑到有限性条件要求，波函数应有渐近解 ，所以可取解为，于是求此方程的级数解。令，代入上述方程为了保证点有限性条件要求当时有限成立，由可知应有。将从级数方程中分离出来令，第一个求和改为: 再将标号改用后与第二项合并，代回前式得： 上式之和恒等于零，所以得各次幂得系数分别等于零，即，因于是得。高阶项系数满足方程： 利用得系数的递推公式， 与谐振子问题类似，为讨论的收敛性现考察级数后项系数与前项系数之比：考察级数因此级数与收敛性相同，所以讨论波函数的收敛性可以用代替，于是可见若是无穷级数，则波函数不满足有限性条件，所以必须把级数从某项起截断。令最高幂次项的，此时多项式最高项的幂次为。则有即因，所以，于是得。其中称为径向量子数，称为角量子数，称为主量子数。由定义式，得能量本征值其中用到。由此可见，在粒子能量小于零情况下（束缚态）仅当粒子能量取给出的分立值时，波函数才满足有限性条件的要求。 将代入递推公式：利用递推公式可把用表示出来。将这些系数代入表达式得： 式中为缔合拉盖尔多项式其封闭形式如下：径向波函数为或其中是氢原子第一玻尔轨道半径。则径向波函数公式：总波函数为： 至此只剩需要归一化条件确定。由波函数归一化条件及球谐函数的归一化条件，可知径向波函数的归一化条件为将径向波函数代入上式，再利用拉盖尔多项式的封闭形式采用与求谐振子波函数归一化系数类似的方法就可求出归一化系数表达式如下： 下面列出了前几个径向波函数表达式：最后得到氢原子能量本征值和本征函数能量只与主量子数有关，而本征函数与有关，故能级存在简并。当确定后，所以最大值为。当确定后，。共个值。所以对于能级其简并度为：即对能量本征值由个本征函数与之对应，也就是说有个量子态的能量是。对应于能量最小态，称为基态能量，相应基态波函数是，所以基态是非简并态。 当时， ，电子不在束缚在原子核周围，而可以脱离原子核，即开始电离。与原子基态能量之差称为电离能。氢原子电离能为：如果用约化质量，则。由上面求解过程可以知道，由于库仑场是球对称的，所以径向方程与无关，而与有关。因此，对一般的有心力场，解得的能量 E 不仅与径量子数有关，而且与有关，即，简并度就为度。但是对于库仑场这种特殊情况，得到的能量只与有关。所以又出现了对的简并度，这种简并称为附加简并。这是由于库仑场具有比一般中心力场有更高的对称性的表现。当考虑 Li, Na, K 等碱金属原子中最外层价电子是在由核和内壳层电子所产生的有心力场中运动。这个场不再是点电荷的库仑场，于是价电子的能级仅对简并。或者说，核的有效电荷发生了变化。当价电子在和两点，有效电荷是不一样的，此时不再是严格的点库仑场。由氢原子能量本征值可的氢原子谱线公式 其中是里德堡常数。上式就是由实验总结出来的巴尔末公式。在旧量子论中Bohr是加进量子化条件后得到的，而在量子力学中是通过解Schrodinger方程自然而然地导出的，这是量子力学发展史上最为突出的成就之一。 4.3.3电子在氢原子中的几率分布 1. 径向几率分布 当氢原子处于态时，电子在点附近体积元内的几率为对空间立体角积分后得到在半径球壳内找到电子的几率例如：对于基态，可求出最可几半径极值 下图给出了在不同的值时与的函数关系 2.几率密度随角度变化 电子在附近立体角内的几率该几率与角无关。 例1. ，有 ：，与也无关，是球对称分布。下图示出了各种态下，关于的函数关系，由于它与角无关，所以图形都是绕z轴旋转对称的立体图形。例2. 时，.在q = /2时，有最大值。在沿极轴方向（z向）。例3. 时，。正好与例2相反，在时，最大；在时，等于零。例4时，的示意图m = -1m = -2m = 0m = +1m = +24.3.4 原子中的电流和磁矩1原子中的电流密度 电子在原子内部运动形成了电流，其电流密度利用球坐标中梯度的表示式将电流密度表示为。设原子处于定态。由于的径向波函数和与有关的函数部分都是实函数，所以代入上式后必然有。绕轴的环电流密度是上式电流密度的向分量为其中用到 。2.轨道磁矩 是绕轴的环电流密度，所以通过截面的电流元为。对磁矩的贡献是，则总磁矩（沿轴方向）是利用波函数归一化条件得其中称为玻尔磁子。由上式可以看出，磁矩与 m 有关， 这就是把 m 称为磁量子数的理由。对s态，()，磁矩，这是由于电流为零的缘故。 由上面的表达式可得是轨道角动量的z分量。上式比值称为回转磁比值（轨道回转磁比），或称为 g 因子。取为单位，则 g = -1。由于原子极轴方向（即z方向）是任意选取的，所以上式也可以表示为其中的角标L表示是轨道角动量磁矩。用算符表示思考题:1. 当氢原子处在某一定态时, 其能量会改变吗?, 如果定态是稳定的, 原子又为何发射电磁波呢? 2.原子能级有各种不同取值的角动量, 在发光过程中,靠什么保证角动量守恒? 3.给势能加一常数定态解有何变化, 意义是什么? 4.氢原子的电子云有重叠吗?5 厄密算符的本征值与本征函数4.5.1厄密算符的平均值定理I：体系任何状态下，其厄密算符的平均值必为实数。证： 逆定理：在任何状态下，平均值均为实数的算符必为厄密算符。证： 根据假定在任意态下有 即 取，其中、也是任意态的波函数，是任意常数。左式=右式，并利用消除左右两边头两项，于是有或令c=1得令c=i得两式相加得两式相减得所得两式正是厄密算符的定义式，故逆定理成立。实验上的可观测量当然要求在任何状态下平均值都是实数，因此相应的算符必须是厄密算符。 4.5.2厄密算符的本征方程定理：厄密算符量子涨落平方的平均值一定大于等于零证明：因为是厄密算符,必为实数，因而也是厄密算符。于是有：定义：若体系处于一种特殊状态，在此状态下测量所得结果是唯一确定的，即，于是有 或 ，则称这种状态为力学量的本征态。将常数记为，把状态记为，于是得 其中，分别称为算符的本征值和相应的本征态或本征函数，上式即是算符的本征方程。求解时，作为力学量的本征函数还要满足物理上对波函数的要求即波函数的标准条件。本征值方程的解往往不止一个，即算符有多个乃至无穷多个本征值及本征函数。定理：厄密算符的本征值必为实数。 证明：当体系处于的本征态时，则每次测量结果都是。由 本征方程可以看出，在（设已归一）态下必为实数,所以是实数。4.5.3厄密算符的本征函数的正交性定理：厄密算符属于不同本征值的本征函数彼此正交。证明：设对应于不同本征值和的本征方程为并设积分存在。对上式取复共轭，并注意到和为实数。两边右乘后积分又两式相减得若，则必有分立谱正交归一条件分别为。连续谱正交归一条件表示为 。满足上式的函数系或称为正交归一（函数）系。上面证明厄密算符本征函数的正交性时，曾假设这些本征函数属于不同本征值，即非简并情况。如果的本征值是度简并的，则对应有个本征函数： 满足本征方程：由这个函数可以线性组合成个独立的新函数，它们仍属于本征值的本征函数且满足正交归一化条件。 证明：由这个线性组合成个新函数 可以满足正交归一化条件 证明分如下两步进行(1).是本征值的本征函数。(2).可以构造满足正交归一条件的个新函数 为此只需证明线性叠加系数的个数大于或等于正交归一条件方程个数即可。方程的归一化条件有个，正交条件有个，所以共有独立方程数为二者之和等于。因为，所以，方程个数少于待定系数的个数，因而，我们有多种可能来确定这个系数使正交归一条件上式成立。个新函数 的确是算符对应于本征值的正交归一化的本征函数。算符本征值简并的本质是： 当确定后还不能唯一的确定状态，要想唯一的确定状态还得寻找另外一个或几个力学量算符，算符与这些算符两两对易，其本征值与一起共同确定状态。综合上述讨论可得如下结论：既然厄密算符本征函数总可以取为正交归一化的，所以以后凡是提到厄密算符的本征函数时，都认为是已归一化的，即组成正交归一系。 例如：动量本征函数、线性谐振子能量本征函数、角动量本征函数及氢原子波函数都组成正交归一系。思考题:1. 为什么简并态波函数可以是不正交的, 将简并态波函数正交化的物理意义是什么?2.6 算符与力学量的关系量子力学的第三假设量子测量公设：（）量子力学中的力学量用线性厄密算符表示。若力学量在经典力学中有对应的量则在直角坐标系下通过如下对应方式，改造为量子力学中的力学量算符：若力学量是量子力学中特有的 (如宇称、自旋等），将由量子力学本身定义给出。() 测量力学量时所有可能出现的值，都对应于线性厄密算符的本征值（即测量值是本征值之一），该本征值由力学量算符的本征方程给出。4.6.1力学量的可能值量子力学的第三假假设告诉人们，在任意态中测量任一力学量，所得的结果只能是由算符的本征方程解得的本征值之一，但是还有 两点问题 没有搞清楚：（1）测得每个本征值的几率是多少？也就是说，哪些本征值能够测到，对应几率是多少，哪些测不到，几率为零；（2）是否会出现各次测量都得到同一个本征值，即有确定值。要解决此问题，还得从讨论 本征函数的另一重要性质入手。 () 力学量算符本征函数组成完备系定义：为完全确定状态所需要的一组两两对易的力学 量算符的最小（数目）集合称为力学量完全集。例 1：三维空间中自由粒子，完全确定其状态需要三个两两对易的力学量：例 2：氢原子，完全确定其状态也需要三个两两对易的力学量：例 3：一维谐振子，只需要一个力学量就可完全确定其状态：力学量完全集中力学量的数目一般与体系自由度数相同。一组函数,如果任意函数可以按这组函数展开，即，则称这组函数是完备的。由力学量完全集所确定的本征函数系，构成该体系态空间的一组完备的本征函数，即体系的任何状态均可用它展开。例如：动量本征函数组成完备系数学中已经证明某些满足一定条件的厄密算符其本征函数组成完备系（参看：梁昆淼，数学物理方法P324；王竹溪、郭敦仁，特殊函数概论1.10 用正交函数组展开 P41）。除上面提到的动量本征函数外,人们已经证明了一些力学量算符的本征函数也构成完备系，如：，线性谐振子等。但是对于任何一个力学量算符，它的本征函数是否一定完备并无一般证明，这将涉及到一个颇为复杂的数学问题。不管怎样，由上述两点分析，量子力学认为：一切力学量算符的本征函数都组成完备系。（） 力学量的可能值和相应几率现在我们再来讨论在一般状态 中测量力学量，将会得到哪些值，即测量的可能值及其每一可能值对应的几率。根据量子力学基本假定，测力学量得到的可能值必是力学量算符的本征值之一,该本征值由本征方程确定：，而每一本征值各以一定几率出现。那末这些几率究竟是多少呢？下面讨论这个问题。由于组成完备系，所以体系任一状态可按其展开为求，将乘上式并对积分得即与波函数按动量本征函数展开式比较可知：是坐标空间的波函数；是动量空间的波函数；而则是空间的波函数，三者完全等价。因为所以，当已归一时，也是归一的，同样也是归一的。由此可见，具有几率的意义，称为几率振幅。我们知道表示在x点找到粒子的几率密度，表示粒子具有动量p的几率，那末同样，则表示取的几率。综上所述，量子力学作如下假定： 任何力学量算符的本征函数组成正交归一完备系，在任意已归一态中测量力学量得到本征值 的几率等于按展开式： 中对应本征函数前的系数 的绝对值平方。（） 力学量有确定值的条件 推论：当体系处于态时，测量力学量具有确定值（即每次测量都为）的充要条件是必须是算符的一个本征态。厄密算符属于不同本征值的本征函数彼此正交的物理意义显然是: 若系统处在本征值对应的本征态,则测量出其他本征值的概率为零。思考题:1.是否可用力学量完全集的本征态展开任意函数,或者说对被展开函数有何限制条件?4.6.2力学量的平均值力学量平均值就是指多次测量的平均结果.如测量长度，测了 10 次，其中 3 次得，7 次得，则 10 次测量的平均值为：同样，在任一态中测量某力学量的平均值可写为： 设的本征方程为，则，代入上式如果波函数未归一化，则4.6.3 关于测量公设的几点说明1.对状态进行力学量的测量，总是将按所对应算符 的正交归一本征函数族展开.2.单次测量所得的数值总是随机的（除非是 的某个本征态），但必属本征值中的某一个；测量完毕，即相应突变(塌缩)为该本征值的本征态。3.对系综的多次重复实验时，某本征值出现的概率是此展式中对应项系数的模平方.4.对同一个态，若进行不同(力学量)的测量，将导致不同的塌缩！5.本课程只研究“孤立、封闭”的量子体系。此时量子测量都是 Von Neumann 正交投影按测量公设，是向被测力学量的本征函数族投影.另外还有两体局域测量、关联测量、联合测量 ,不作讨论。6.塌缩过程的四大特征按测量公设，每次测量并读出结果之后，态即受严重干扰，并且总是向该次测量所得本征值的本征态突变（塌缩）过去，使波函数约化到它的一个成分（一个分枝）上。这种由单次测量造成的塌缩称为第一类波包塌缩。除非已是该被测力学量的某一本征态，否则在单次测量后，被测态究竟向哪个本征态塌缩，就象测得的本征值一样，是随机的、不能事先预计的。(1) 随机的原则上就无法预见和控制的;(2) 不可逆的有人说，测量是熵增加过程;(3) 切断相干性的切断被测态原有的一切相干性;(4) 非定域的波函数的塌缩总是非定域的.7.塌缩中，表现出是粒子状态的突变，实质上是体系演化时空的塌缩！8.状态塌缩过程是一个极其深邃的、尚未了解清楚的过程，塌缩中存在诸多未解决的问题。如：塌缩随机性的根源是什么？ 或者有根源吗？ 为什么（不论自旋态或空间态、单粒子或多粒子）所有塌缩过程总是非定域的？ 塌缩过程中微观体系的熵真的增加了？ 塌缩关联塌缩和相对论性定域因果律有没有深刻的矛盾？ 认为是同一个事件就能解决问题吗？ 相互作用过程和测量过程的明确界线？“塌缩现象”的经典类比:“掷硬币”: 掷硬币之前,出现正反面的概率都是1/2(仅有两个可能状态), 一旦掷出硬币(即测量), 则必然“塌缩”到正面或反面(“本征态”).思考题:1. “掷硬币”与量子测量有何异同? 2. 用感光屏形成电子衍射图是测量过程吗?如果是测量过程,那么又是对什么力学量进行测量? 3. 对于一个给定的状态(x), 可测量的物理量有限制吗?例1：已知空间转子处于如下状态试问：（1）是否是的本征态？（2）是否是的本征态？ （3）求 的平均值；（4）在态中分别测量 和时得到的可能值及其相应的几率。 解：（1） 故不是的本征态。（2） 因此是 Lz 的本征态，本征值为。（3）求的平均值归一化波函数利用在态中分别测量 时，得到的可能值相应的几率分别为1/5，4/5思考题：1.设在对上题态进行某一次测量后得到的本征值为，则测量后粒子处在什么状态？ 2. 试从量子测量意义上解释力学量本征函数的正交性。 例2：设t=0 时，粒子的状态为 求粒子的平均动量和平均动能。解归一化因子写成单色平面波的叠加比较二式，因单色平面波动量有确定值：相应几率振幅为阅读材料离开了测量，微观粒子状态的波函数描写是没有意义的。事实上，没有了测量，任何物理理论都没有意义，因为尽管一个理论可能是决定论，但是我们总要获取体系初始状态的信息才能按照这个理论来预言体系以后的演化，而获取这种信息的途径只能是测量。在经典力学中，不管我们是否对一个粒子进行测量，我们都坚信，关于粒子的物理量总是以确定数值存在的（这也是爱因斯坦坚信的！）。然而在量子力学中，我们只有通过测量才能获得微观粒子物理量的信息，而且单次测量获得的信息由于测量结果的随机性是不完备的。要获得完整的信息，只有通过对大量具有相同微观粒子的测量而获得，这是由于波函数的统计诠释保证的。然而，与经典力学不同，我们根本不知道在对微观粒子进行测量之前，其物理量（如位置，动量）到底以何种方式、什么数值存在，而事实上这个问题对于量子力学演绎出的所有结论都没有任何影响，因为波函数统计诠释告诉我们，只有对体系进行测量才能获得物理量的信息，并没有任何理由表明物理量在测量之前必须要以某种确定的方式存在。如果我们对于波函数统计诠释感到满意，那么完全可以对这个问题闭口不提，但是由于人们对于几率描述的不满意，量子力学诞生以来，围绕这个问题展开了一系列激烈的争论，例如EPR 佯谬。实际上，问题的关键还是：到底是微观世界的不确定是其固有的性质，还是我们的认识能力不够目前还不能给出完备的描写？这两种观点，到底哪种会取得最后的胜利目前尚不知晓（或者有可能两种都不对？，但是前一种“正统观点”目前已经接受了所有挑战。然而量子力学并未到达其终点。量子力学是以粒子的二象性为基础并类比波动光学而发展起来的，粒子的二象性则是从光的波粒二象性的类比和推广中得到的。量子场论也是从类比自由电磁场并将其量子化而实现的。这些类比导致量子理论的成功，也可能导致了它的局限性。狄拉克就明确指出过，量子理论是原子结构的理论。我想可以进一步更确切地说，它是电磁相互作用的微观粒子理论。目前的波动性也可能只是原子范围（较大时空）电磁相互作用时的特性；对于其它相互作用和领域，它仅是一种重要的启示而已。已经知道，波动性概念本身只在空间尺度大于波长，时间尺度大于周期T的较大时空区域里才有意义，而且只有存在适当大小的衍射孔或散射中心的情况下才能显示出来。粒子波动性及其波长主要表现在衍射、散射实验中，大量粒子在晶体中衍射、散射后，分布在一定区域内，并遵从波动性的布拉格公式2dsin=k，呈现有规律的统计性几率分布花样。一般此时强弱相互作用可以略去。微观物质的德布罗意波是统计性的几率波，它的特性要求波显示时必须有大数量粒子（或大量事件）。但波动性的直接验证并不多，主要更多地反映为导出的理论与实验符合。少数粒子，小时空时的衍射、散射都不能显示波动性；例如单粒子衍射在一段小时间内只像粒子，在劳厄图的一个局部小空间也只是一个个点。而且极少数粒子也无力显示几率波的波动性。爱因斯坦等人就认为量子力学只能描述许多个体系的系综，而不能描述单个体系。同时小孔远大于波长时，无法显示波动性；波长越小，越难显示（这也是几何光学成立的条件）。高能时波长很小（高能光子都主要显示粒子性），强、弱相互作用时作用力程极短（相当于10-13-10-15厘米），相应衍射孔也必须很小，这样小的区域已经是粒子的大小，从而衍射、散射也就成了粒子间的碰撞。而碰撞时粒子是否仍呈现目前的波动性，还需要深入研究。况且目前很多事实与波动性导出的理论并不符合，特别上述情况的实验更是如此！量子力学、量子场论完全基于物质结构的原子组成层级上的主要特征波粒二象性。虽然这一特征是优美的、对称的，但当对物质结构的认识深入到基本粒子及其组成这一层级时，其所能解释的事实却是有限的。相反，粒子的可能产生、衰变、湮灭和相互作用等性质以及相关的理论都主要基于各种守恒定律和选择规则，决定于时空对称性和各种内部对称性。而这些对称性同二象性与波动性并无直接联系。因为测不准关系、无轨道等直接来源于二象性中的波动性，且是其必然的结果，因而试图对此作独立的因果描述，可能十分渺茫。笔者认为，不是粒子无轨道，不是测量永远受限制，而是基于波动性的量子力学及其发展出的理论对此无法描述。测不准关系正表明量子理论、粒子波动性的适用范围有一定局限性。当波动性不成立时（如在小时空中），轨道的存在并没有被绝对排除。如果波动性被修改、发展为新的特性，则涉及哲学上有争论的很多东西，如测不准，无轨