第 59 讲 函数的极限(第1课时-极限).doc

第 59 讲 函数的极限 （第1课时）神经网络准确记忆！重点难点好好把握！重点：1函数极限的定义和运算；2函数连续性的定义和性质；3函数连续性的判断与证明。难点：函数连续性意义的理解和应用。考纲要求注意紧扣！1了解函数极限的概念，掌握函数极限的四则运算，会求函数的极限；2了解函数连续性的定义，理解函数连续性的有关性质。命题预测仅供参考！1以选择题、判断题的形式考察函数极限的存在性和函数在处连续及函数的连续性；2求函数的极限（直接求或利用函数的连续性求）；3函数的极限和函数连续性的综合考察以及函数极限的应用。考点热点一定掌握！1函数极限的描述性定义 当时，那么就把常数叫做趋近于正无穷大时，函数的极限，记为 。 当时，那么就把常数叫做趋近于负无穷大时，函数的极限，记为 。 ，那么就把常数叫做趋近于无穷大时，函数的极限，记为 。 若 （注意）时，那么就把常数叫做在处的极限，记为 。 若 且 时，那么就把常数叫做在处的左极限，记为 。若 且 时，那么就把常数叫做在处的右极限，记为 。例讨论下列分段函数在分界点处的左极限、右极限，其中那些函数在分界点处有极限，极限为多少？ ； ； ； 。解： ， ， 不存在。 ， ， 。 ，而 ， 不存在。 ， ， 。2函数极限的运算法则设 ， ，那么：； ； （） ； （为常数）。3. 代入法求函数极限求的函数极限，如果在处连续，那么求函数在处的极限，就是求该点处的函数值；否则先变形再求极限。例求 。解： 。4求不定型的极限常见的不定型有：、 等几种。不定型可能有极限，也可能没有极限。例如，时， 和 都属于这种不定型，前者有极限，后者没有极限。求不定型的极限，不能先用极限的四则运算法则，而应该先将不定型变形之后再使用运算法则。 型对于型的不定型求极限，可以约分、有理化分母、有理化分子，有时还需要使用换元的技巧。例求 。分析：当时，分子、分母的极限都是0，不能把4直接代入求极限。注意到分子、分母有公因式，应该先约分。解：原式 。例求 。分析：当时，分子、分母的极限都是0，注意到分子有根号，应该先有理化分子。解：原式 。例求 。分析：当时，分子、分母的极限都是0，注意到分子、分母都有根号，应该同时乘以分子、分母的有理化因子来有理化分子和分母。解：原式 和型对于不定型和，可以设法化为定型或化为型来解。例求 。分析：本题是型，分子分母同时除以分子分母中最高次项的非系数部分可以化为定型。解：原式 。例.求 。解： 。点评：本题是型，当时，题中分母等于零，无意义， 。能力测试认真完成！参考答案仔细核对！12345678910函数极限的描述性定义代入法求函数极限求不定型的极限型型型1求 。解：原式 。点评：型，约分。2求 （、为正整数）。解：原式点评：型，约分。3求 。解：原式 。点评：型，有理化分子。4求 。解：原式 。点评：型，同时有理化分子和分母。5求 。解：令 ，则当时， ，又 ，原式 。点评：型，使用换元技巧。6求 。解：原式 。点评：本题是型，分子分母同时除以化为定型来解。7求 。解：原式 。点评：本题是型，通分后分子分母同时除以化为定型来解。8求 。解：原式 。点评：本题是型，分子分母同时除以化为定型来解。