清北学堂2009年五一高中7+1数学班针对性.doc

清北学堂2009年五一高中7+1数学班针对性测试题及答案班级 姓名 得分 一、选择题（本题满分36分，每小题6分）1.已知,为给定的正实数,则的最小值为( A )(A) (B) (C) (D)2.已知集合An=，则A6中各元素的和为（ ）(A) 792 (B) 890 (C) 891 (D) 990解：答案：C A6=，当m=10时，x=71当m=18时，x=127A6中各元素的和为3. 已知函数 （、为常数，且），则的值是（ ）(A) 8 (B) 4 (C) -4 (D) 与、有关的数解：答案：为奇函数，4. 满足的正整数数对（x，y）（ ）（A） 只有一对（B）恰有有两对（C）至少有三对（D）不存在解：（B）设，其中a，b均为自然数，则y=a+b，。因为b+a与b-a有相同的奇偶性，且b+ab-a,所以或解得或5. 设F1，F2是椭圆的两个焦点，P是椭圆上的点，且|PF1| : |PF2|2 : 1，则三角形PF1F2的面积等于(A)(A)4 (B)13 (C) (D) 解：设椭圆的长轴、短轴的长及焦矩分别为2a、2b、2c，则由其方程知a3，b2，c，故，|PF1|PF2|2a6，又已知PF1|：|PF2|2：1，故可得|PFl|4，|PF2|2在PFlF2中，三边之长分别为2，4，2，而2242(2)2，可见PFlF2是直角三角形，且两直角边的长为2和4，故PFlF2的面积46. 已知,且,则的最小值是( D )(A)5 (B)6 (C)8 (D)9二、填空题（本题满分54分，每小题9分）7.如果边长顺次为25，39，52和60的四边形内接于一圆，那么此圆的周长为( )(A)62 (B)63 (C)64 (D)65解析：设ABCD为圆内接四边形，且AB=25，BC=39，CD=52，DA=60由圆内接四边形对角互补得C=180A连结BD，在ABD与BCD中,由余弦定理,得:即解得cosA=0A=90，故BD为圆的直径圆的周长为658.已知整数满足，且，则等于 解：答案：24，括号内为奇数，又，且；由于，可得且，；同理可得9.已知数列满足， ()， 是数列的前n项和，则的值是 解：答案：数列的各项依次为，呈周期性变化，周期为，因为，10. 已知椭圆的左右焦点分别为与，点P在直线l：上. 当取最大值时，比的值为.【解】 由平面几何知，要使最大，则过，P三点的圆必定和直线l相切于P点。设直线l交x轴于A，则，即，即 （1） 又由圆幂定理， （2）而，A，从而有，。代入（1），（2）得。11. 设为常数，函数 为一次函数，若，1，且关于x的方程的根是x1=1，x2=3，x3=-2，则的值为 解：答案：-5由，1求得a=2，b=2，又因为方程的根是x1=1，x2=3，x3=-2，直线与抛物线交于（1，1）和（3，5）两点，故=，另一交点为（-2，-5），c=-512. 设,.则的最大值为 。解：三、解答题（本题满分60分，每小题20分）13. 46个国家派代表参加亚洲数学竞赛，比赛共4题，结果统计如下：第一题对235人；一、二都对59人；一、三都对29人；一、四都对15人。四题全对的3人，有一人只错了第4题。求证：存在一个国家，这个国家派出的选手中至少有4人恰好只做对了第一题。解设集合A=全部选手，。可是由抽屉原理知46个国家中必存在一个国家，至少4人只做对第一题。14. MJ0002 如图,四边形ABCD为平行四边形,BAFBCE.求证：EBAADE. 证明：如图,分别过点A、B作ED、EC的平行线,得交点P,连PE. 由AB CD,易知PBAECD.有PAED,PBEC. 显然,四边形PBCE、PADE均为平行四边形.有 BCEBPE,APEADE. 由BAFBCE,可知BAFBPE. 有P、B、A、E四点共圆. 于是,EBAAPE. 所以,EBAADE. 这里,通过添加平行线,使已知与未知中的四个角通过P、B、A、E四点共圆,紧密联系起来.AP