8年级上册数学第一章《三角形初步认识1》讲义.doc

第一章三角形的初步认识：1、认识三角形 “ABC”读作“三角形ABC”。 三角形任何两边的和大于第三边。 三角形三个内角的和等于180。 三角形的一个外角等于和它不相邻两个内角的和。2、三角形的平分线和中线 在三角形中，一个内角的角平分线与它对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫做三角形的三角形的平分线。 在三角形中，连结一个顶点与它对边中点的线段，叫做这个三角形的中线。3、三角形的高 从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高。 锐角三角形的三条高在三角形的内部，垂足在相应顶点的对边上。直角三角形的直角边上的高分别与另一条直角边重合，垂足都是直角的顶点。而在钝角三角形中，夹钝角两边上的高都在三角形的外部，它们的垂足都在相应顶点的对边的延长线上。4、全等三角形 能够重合的两个三角形称为全等三角形。 两个全等三角形重合时，能互相重合的顶点叫做全等三角形的对应顶点，互相重合的边叫做全等三角形的对应边，互相重合的角叫做全等三角形的对应角。 “全等”可用符号“”来表示。 全等三角形的性质：全等三角形对应边相等，对应角相等。【经典例题：】A1、如下左图，在ABC中，C=30，若沿图中虚线剪去C，则1+2等于 .CBPDE 2、如上中图，在锐角ABC中，CD、BE分别是AB、AC边上的高，且CD、BE相交于一点P，若A=50， 则BPC = 。3、在中，如上右图，平分，平分，与交于点，ABCED第5题 若，则 4、如下左图，已知1=42，2=30，3=38，则4=_。A5、如上右图，ABC中，AB=AC=13cm，AB的垂直平分线交AB于D,交AC于E,若EBC的周长为21cm,D 则BC= cm.M7、如图，矩形ABCD中(ADAB)，M为CD上一点，若沿着AM折叠，BC 点N恰落在BC上，则ANB+MNC = _； N8、请你找一个长方形的纸片，按以下步骤进行动手操作： 步骤一：在CD上取一点P，将角D和角C向上翻折，这样将形成折痕PM和PN，如下左图所示； 步骤二：翻折后，使点D、C落在原长方形所在的平面内，即点D和C，细心调整折痕PN、PM的位置使PD， PC重合如下右图，设折角MPD=，NPC= (1) 猜想MPN的度数； (2) 若重复上面的操作过程，并改变的大小，猜想：随着的大小变化，MPN的度数怎样变化？ 并说明你猜想的正确性。 9、设ABC的三边为a、b、c，化简10、如图，C在直线BE上，ABC与ACE的角平分线交于点A1， (1) 若A=60，求A1的度数； (2) 若A=m，求A1的度数； (3) 在(2)的条件下，若再作A1BE、A1CE的平分线，交于点A2；再作A2BE、A2CE的平分线，交于点A3； ；依次类推，则A2，A3，An分别为多少度？ 5、三角形全等的条件 三边对应相等的两个三角形全等（简写成“边边边”或“SSS”）。 当三角形三边长确定是，三角形的形状、大小完全被确定，这个性质叫做三角形的稳定性，这是三角形特有的性质。 有一个角和夹这个角的两边对应相等的两个三角形全等（简写成“边角边”或“SAS”）。 垂直于一条线段，并且平分这条线段的直线叫做这条线段的垂直平分线，简称中垂线。 线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等。 有两个角和这两个角的夹边对应相等的两个三角形全等（简写成“角边角”或“ASA”）。 有两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等（简写成“角角边”或“AAS”）。 角平分线上的一点到角两边的距离相等。6、作三角形: 在几何作图中，我们把用没有刻度的直尺和圆规作图，简称尺规作图。【例1】如上右图，已知AB、CD相交于O，ACOBDO，AE=BF，试说明CE=FD【分析】本题考查SAS公理的应用，要证CE=FD，只要证OCEODF显然EOC=FOD需证OE=OF，OC=OD 因AE=BF，故需证OA=OB，由已知ACOBDO，可得OC=OD，OA=OB【解】 ACOBDO CO=DO，AO=BO AE=BF， EO=FO 在EOC与FOD中 EOC FOD， EC = FD【例2】如图，在ABC中，AD为BC边上中线试说明AD（AB+AC）【分析】证明边之间的关系一般是在一个三角形中利用“三角形边的关系推论”，所以考虑把线段AB、AD、AC的等价 线段放在一个三角形中因此需添加辅助线，而涉及到一边的中线问题需要引辅助线，常用方法：延长中线 使之延长后的线段与中线相等并连结，构造成两个三角形全等【解】延长AD到E，使DE=AD 在ACD与EDB中 ADCEDB BE=CA 在EBA中，AEAB+BE 2ADAB+AC 即AD（AB+AC）【学生练习1：】1、两边和一角对应相等的两个三角形（ ） A全等 B不全等 C不一定全等 D以上判断都不对2、如图，AE=CF，A=C，AD=CB，试说明ADFCBE 3、如图，已知CEAB，DFAB，垂足分别为E、F，CE=DF，AB=EF试说明：ACBD 4、 如图，在ABC中，AB=5，AC=3，则BC上的中线AD的取值范围是多少？ 5、如图，在ABC中，D是BC的中点，DEDF，延长ED至P，使ED=DP，连接FP与CP， 试判断BE+CF与EF的大小关系 6、如图，已知AB=CD=AE=BC+DE=2ABC=AED=90，求五边形ABCDE的面积 【例3】如图，已知AB=AC，D、E两点分别在AB、AC上，且AD=AE，试说明：BDFCEF【分析】在BFD与CFE中，有一组对角相等，由已知条件得，BD=CE，只要证明它们的另一组对角C与B相等， 就可证出结论，为了证C=B，可以由ACD与ABE全等得到【解】在ABE与ACD中 ABEACD， B=C AB=AC，AD=AE， BD = CE 在BDF与CEF中 BDFCEF【例4】如图，BD、CE交于O，OA平分BOC，ABD的面积和ACE的面积相等，试说明BD=CE【分析】有了角平分线性质定理，使证明线段相等又多了一种方法同时利用图形的面积关系转化成线段之间的长度 关系，也是几何证明题中常用的方法【解】 过A作AFBD，AGCE，垂足分别为F、G OA平分BOC AF=AG（角平分线上的点到这个角的两边距离相等） SABD=SACE AFBD=AGCE BD=CE【学生练习2：】1、如图1，AD平分BAC，AB=AC，连接BD、CD，并延长交AC、AB于F、E，则图形中全等三角形有（ ）A2对 B3对 C4对 D5对 (1) (2) (3)2、如图2，BCAC，BDAD，垂足分别是C和D，若要根据AAS定理，使ABCABD（AAS）， 应补上条件_或_3、如图3，已知1=2，3=4，说明AD=BC的理由 解：_，_（已知） 1+3=_ 即_=_ 在_和_中 _（ ） AD = BC（ ）4、如果点P是三角形三条角平分线的交点，则点P到三角形_的距离相等5、如图，已知M是AB的中点，1=2，C=D说出下列判断正确的理由： （1）AMCBMD； （2）AC=BD 6、如图，在ABC中，ACB=90，AC=BC，AE是BC边上的中线，过C作AE的垂线CF，垂足为F，过B作BDBC 交CF的延长线于点D （1）试说明：AE=CD； （2）AC=12cm，求BD的长 6、如图，在ABD和ACE中，有下列4个诊断：AB=AC，B=C，BAC=EAD，AD=AE请以其中三个 诊断作条件，余下一个诊断作为结论（用序号的形式）写出一个由三个条件能推出结论成立的式 子，并说明原因 7、如图，在五边形ABCDE中，B=E，C=D，AMCD于M，BC=DE，试说明M为CD的中点 8、如图，ABC两条角平分线BD、CE相交于点O，A=60，求证：CD+BE=BC 【学生练习3：】 1、在下列各组图形中，是全等的图形是( ) A、 B、 C、 D、2、下列各图中，正确画出AC边上的高的是( )AAAABBBBCCCCE EEE A、 B、 C、 D、3、如图1，工人师傅砌门时，常用木条EF固定长方形门框ABCD，使其不变形，这样做的根据是( )图1图2 A、两点之间的线段最短； B、三角形具有稳定性；DFAECB C、长方形是轴对称图形； D、长方形的四个角都是直角；4、图2中的三角形被木板遮住了一部分，被遮住的两个角不可能是( ) A、一个锐角，一个钝角； B、两个锐角； C、一个锐角，一个直角；D、一个直角，一个钝角；5、以下不能构成三角形三边长的数组是( ) A、(1，2) B、(3，4，5) C、(，) D、(，)6、一个三角形的两个内角分别为55和65，这个三角形的外角不可能是( ) A、115 B、120 C、125 D、13027、小明不慎将一块三角形的玻璃碎成如图3所示的四块(图中所标1、2、3、4)，你认为将其中的哪一块带去， 就能配一块与原来大小一样的三角形玻璃？应该带( )去3图3 A、第1块； B、第2块；A41 C、第3块； D、第4块；DE8、如图4，在锐角ABC中，CD、BE分别是P AB、AC边上的高，且CD、BE相交于一点P，若A=50，则BPC =( )CB A、150 B、130图4 C、120 D、1009、用12根火柴棒(等长)拼成一个三角形，火柴棒不允许剩余、重叠和折断， 则能摆出不同的三角形的个数是( ) A、1 B、2 C、3 D、4BE10、如图5，在ABC中，D、E分别是AC、BC边上的C 点，若ADBEDBEDC，则C的度数为( )图5DA A、15 B、20 C、25 D、3011、在ABC中，若AB=90，则此三角形是 三角形； 若，由此三角形是 三角形；12、设ABC的三边为a、b、c，化简 13、已知三角形的两边长分别是3cm和7cm，第三边长是偶数，则这个三角形的周长为_cm；14、如图7，在ABC中，已知AD=DE，AB=BE，A=80，则CED=_15、如图8，把矩形ABCD沿AM折叠，使D点落在BC上的N点处，如果AD=cm，DM=5cm，DAM=30， 则AN = _cm， NM = _cm， BNA = _度；DABEC图7图9OEDCBA图8DMCNBA16、如图9，ABC中，AB=AC，BD、CE分别是AC、AB边上的高，BD、CE交于点O，且AD=AE，连结AO， 则图中共有_对全等三角形； AB17、如图10，已知B=C，AD=AE，则AB=AC，请说明理由(填空)D 解：在ABC和ACD中，BEA B=_ (_)E图10 A=_ (_)CD AE=_ (_)图11C ABEACD (_) AB=AC (_)18、如图11所，A+B+C+D+E=_；20、用一副三角板可以直接得到30、45、60、90四种角，利用一副三角板可以拼出另外一些特殊角，如75 、120等，请你拼一拼，用一副三角板还能拼还能拼出哪些小于平角的角？这些角的度数是： ；21、某产品的商标如图15所示，O是线段AC、DB的交点，且AC=BD，AB=DC，小华认为图中的两个三角形