圆的基本知识(一).doc

【同步教育信息】一. 本周教学内容： 圆的基本知识（一）（一）知识要点 1. 圆与点、圆与直线、圆与圆的位置关系。 圆的切线垂直于过切点的半径，它的逆命题也成立。 两圆相交时，连心线垂直平分公共弦，两圆的外（内）公切线长相等。 2. 与圆有关的角 （1）圆心角：顶点在圆心、圆心角与它所对的弧的度数相等。 （2）圆周角：顶点在圆上，圆周角等于同弧上圆心角的一半。 （3）弦切角：顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切，弦切角的度数等于它所夹的弧的度数的一半。 3. 圆与三角形、四边形、正多边形的关系 （1）三角形有且只有一个外接圆和一个内切圆，它们的圆心分别叫三角形的外心和内心。 （2）圆的内接四边形对角互补，外角等于其内对角。 （3）正多边形有外接圆和内切圆。 （4）圆柱的侧面展开图是矩形，圆锥的侧面展开图是扇形。 4. 与圆有关的定理 垂径定理、切线长定理、圆周角定理、弦切角定理、相交弦定理、切割线定理。（二）思想方法总结 1. 转化思想 能将复杂图形转化为简单图形，将正多边形的有关计算问题转化为解直角三角形的问题来解决。 量，求一个量，运用方程的思想。（三）有关辅助线的做法 一些辅助线的添法概括如下： 遇直径，作直径上的圆周角；遇切线，作过切点的半径或连结圆上某一点构成弦切角；证明圆周角相等，常用同弧上的圆心角过渡或作同弧上的圆周角；求弦长、弦心距、半径，常作垂直于弦的半径，连结圆心和弦的端点构造直角三角形；证明线段等积或成比例，一般构造相交弦、相交割线或相似三角形；遇到四个点在同一圆周上，要考虑到顺次连结四点构成圆内接四边形，用其性质解题；遇到圆外切三角形、多边形，应注意到切线长定理的应用。【典型例题】 1. 分析：根据题意，需要自己画出图形进行解答，在画图时要注意AB与AC有不同的位置关系。 解：由题意画图，分AB、AC在圆心O的同侧、异侧两种情况讨论， 当AB、AC在圆心O的异侧时，如下图所示， 过O作ODAB于D，过O作OEAC于E， OAD=30，OAE=45，故BAC=75， 当AB、AC在圆心O同侧时，如下图所示， 同理可知OAD=30，OAE=45， BAC=15 点拨：本题易出现只画出一种情况，而出现漏解的错误。 例2. 如图：ABC的顶点A、B在O上，O的半径为R，O与AC交于D， （1）求证：ABC是直角三角形； 分析：则AF=FB，ODAB，可证DF是ABC的中位线； （2）延长DO交O于E，连接AE，由于DAE=90，DEAB，ADF 解：（1）证明，作直径DE交AB于F，交圆于E 又AD=DC ABBC，ABC是直角三角形。 （2）解：连结AE DE是O的直径 DAE=90 而ABDE，ADFEDA 例3. 如图，在O中，AB=2CD，那么（ ） 分析： 解：解法（一），如图，过圆心O作半径OFAB，垂足为E， 在AFB中，有AF+FBAB 选A。 解法（二），如图，作弦DE=CD，连结CE 在CDE中，有CD+DECE 2CDCE AB=2CD，ABCE 选A。 例4. 求CD的长。 分析：连结BD，由AB=BC，可得DB平分ADC，延长AB、DC交于E，易得EBCEDA，又可判定AD是O的直径，得ABD=90，可证得ABDEBD，得DE=AD，利用EBCEDA，可先求出CE的长。 解：延长AB、DC交于E点，连结BD O的半径为2，AD是O的直径 ABD=EBD=90，又BD=BD ABDEBD，AB=BE=1，AD=DE=4 四边形ABCD内接于O， EBC=EDA，ECB=EAD 例5. 于H，交O于点E，交AC于点F，P为ED的延长线上一点。 （1）当PCF满足什么条件时，PC与O相切，为什么？ 分析：由题意容易想到作辅助线OC， （1）要使PC与O相切，只要使PCO=90，问题转化为使OCA+PCF=FAH+AFH就可以了。 解：（1）当PC=PF，（或PCF=PFC）时，PC与O相切， 下面对满足条件PC=PF进行证明， 连结OC，则OCA=FAH， PC=PF，PCF=PFC=AFH， DEAB于H，OCA+PCF=FAH+AFH=90 即OCPC，PC与O相切。 即AD2=DEDF 点拨：本题是一道条件探索问题，第（1）问是要探求PCF满足什么条件时，PC与O相切，可以反过来，把PC与O相切作为条件，探索PCF的形状，显然有多个答案；第（2）问也可将AD2=DEDF作为条件，寻找两个三角形相似，探索出点D的位置。 例6. D作半圆的切线交AB于E，切点为F，若AE：BE=2：1，求tanADE的值。 分析：要求tanADE，在RtAED中，若能求出AE、AD，根据正切的定义就可以得到。ED=EF+FD，而EF=EB，FD=CD，结合矩形的性质，可以得到ED和AE的关系，进一步可求出AE：AD。 解：四边形ABCD为矩形，BCAB，BCDC AB、DC切O于点B和点C， DE切O于F，DF=DC，EF=EB，即DE=DC+EB， 又AE：EB=2：1，设BE=x，则AE=2x，DC=AB=3x， DE=DC+EB=4x， 在RtAED中，AE=2x，DE=4x， 点拨：本题中，通过观察图形，两条切线有公共点，根据切线长定理，得到相等线段。 例7. 已知O1与O2相交于A、B两点，且点O2在O1上， （1）如下图，AD是O2的直径，连结DB并延长交O1于C，求证CO2AD； （2）如下图，如果AD是O2的一条弦，连结DB并延长交O1于C，那么CO2所在直线是否与AD垂直？证明你的结论。 分析：（1）要证CO2AD，只需证CO2D=90，即需证D+C=90，考虑到AD是O2的直径，连结公共弦AB，则A=C，DBA=90，问题就可以得证。 （2）问题是一道探索性的问题，好像难以下手，不妨连结AC，直观上看，AC等于CD，到底AC与CD是否相等呢？考虑到O2在O1上，连结AO2、DO2、BO2，可得1=2，且有AO2CDO2C，故CA=CD，可得结论CO2AD。 解：（1）证明，连结AB，AD为直径，则ABD=90 D+BAD=90 又BAD=C，D+C=90 CO2D=90，CO2AD （2）CO2所在直线与AD垂直， 证明：连结O2A、O2B、O2D、AC 在AO2C与DO2C中 O2BD=O2AC，又O2BD=O2DB，O2AC=O2DB O2C=O2C，AO2CDO2C，CA=CD， CAD为等腰三角形， CO2为顶角平分线，CO2AD。 例8. 如下图，已知正三角形ABC的边长为a，分别为A、B、C为圆心，积S。（图中阴影部分） 分析：阴影部分面积等于三角形面积减去3个扇形面积。 解： 分析：因三个扇形的半径相等，把三个扇形拼成一个扇形来求，因为A+B+C=180， 原题可在上一题基础上进一步变形：A1、A2、A3An相外离，它们的半径都是1，顺次连结n个圆心得到的n边形A1A2A3An，求n个扇形的面积之和。 解题思路同上。 解：【模拟试题】一、选择题 1. 在半径为R的圆中有一条长度为R的弦，则该弦所对的圆周角的度数是（ ） A. 30B. 30或150 C. 60D. 60或120 2. 半径不等的两圆O1，O2相交于A和B，现有下列结论：（1）AB平分O1O2；（2）O1O2平分AB；（3）ABO1O2；（4）O1O2r），圆心距为d，若关于x的方程有两个相等的实数根，则两圆的位置关系是（ ） A. 一定内切B. 一定外切 C. 相交D. 内切或外切 8. 如图所示，P是直径AB上的一点，且PA=2cm，PB=6cm，CD为过点P的弦，那么下列PC与PD的长度中，符合题意的是（ ） A. 1cm，12cmB. 3cm，5cm C. 7cm，D. 3cm，4cm 9. 如图所示，矩形ABCD中，AB=1，AD，以BC的中点为圆心的与AD相切，则图中阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 10. 若圆锥的高为4cm，底面半径为3cm，则圆锥的侧面展开图的面积为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（104=40分） 11. 已知：一个圆的弦切角是50，那么这个弦切角所夹的弧所对的圆心角的度数为_。 12. 圆内接四边形ABCD中，如果A：B：C=2：3：4，那么D=_度。 13. 若O的半径为3，圆外一点P到圆心O的距离为6，则点P到O的切线长为_。 14. 如图所示CD是O的直径，AB是弦，CDAB于M，则可得出AM=MB，等多个结论，请你按现有的图形再写出另外两个结论：_。 15. O1与O2的半径分别是3和4，圆心距为，那么这两圆的公切线的条数是_。 16. 圆柱的高是13cm，底面圆的直径是6cm，则它的侧面展开图的面积是_。 17. 已知：如图所示，有一圆弧形桥拱，拱的跨度AB=16cm，拱高CD=4cm，那么拱形的半径是_。 18. 若PA是O的切线，A为切点，割线PBC交O于B，若BC=20，PA=，则PC的长为_。三、解答题： 1. 已知：如图所示，O1和O2相交于A、B两点，过B点作O1的切线交O2于D，连结DA并延长与O1相交于C点，连结BC。过A点作AEBC与O2相交于E点，与BD相交于F点。 （1）求证：EFBC=DEAC； （2）若AD=3，AC=1，AF，求EF的长。 2. 某单位搞绿化，要在一块图形的空地上种四种颜色的花，为了便于管理和美观，相同颜色的花集中种植，且每种颜色的花所占的面积相同，现征集设计方案，要求设计的图案成轴对称图形或中心对称图形。请在如图所示的圆中画出三种设计方案。（只画示意图，不写作法）。 3. 已知：ABC是O的内接三角形，BT为O的切线，B为切点，P为直线AB上一点，过点P作BC的平行线交直线BT于点E，交直线AC于点F。 （1）如图所示，当点P在线段AB上时，求证：PAPB=PEPF； （2）当点P为线段BA延长线上一点时，第（1）题的结论还成立吗？如果成立，请证明；如果不成立，请说明理由； （3）若AB，求O的半径。【试题答案】一、选择题： 1. B2. C3. A4. B5. D 6. D7. D8. D9. D10. B二、填空题： 1