弹性碰撞数学计算的突破方法.doc

弹性碰撞数学计算的突破方法 发生弹性碰撞的两物体满足动量守恒，由于一般情况下碰撞的时间极短，碰撞前后两物体的位移几乎没有发生变化，在一般问题当中认为碰撞前后的两物体仍在原位置以新的速度发生相对运动，即认为发生弹性碰撞的两物体碰撞前后各自的重力势能保持不变，弹性碰撞没有机械的损失可写成系统动能不变的方程。这样可得到发生弹性碰撞的两物体满足的动量方程和能量方程。?m?1v?1+m?2v?2=m?1v?1+m?2v?2，?SX(12SX)m?1v?2?1+SX(12SX)m?2v?2?2=SX(12SX)m?1v?1?2+SX(12SX)m?2v?2?2，?可得v?1=SX(m?1-m?2)v?1+2m?2v?2m?1+m?2SX),?v?2=SX(m?2-m?1)v?2+2m?1v?1m?1+m?2SX)。?特别当v?2=0时，也称为动碰静时，解得结果为?v?1=SX(m?1-m?2)v?1m?1+m?2SX)，?v?2=SX(2m?1v?1m?1+m?2SX)，?列出弹性碰撞所满足的动量、能量方程，对于学生而言相对比较容易，但面临一个困难是数学计算过程繁冗复杂，很多同学过不了这个计算关，虽然结果有一定的规律可循，但纯粹来记忆这个公式结果仍有较大难度。这里介绍一种比较好的方法。?推导：v?1+v?1=SX(m?1-m?2)v?1+2m?2v?2m?1+m?2SX)+v?1?=SX(2m?1v?1+2m?2v?2m?1+m?2SX)，?v?2+v?2=SX(m?2-m?1)v?2+2m?1v?1m?1+m?2SX)+v?2?=SX(2m?1v?1+2m?2v?2m?1+m?2SX)，?结论：v?1+v?1=v?2+v?2。?说明对于弹性碰撞而言，此结论公式是个恒成立公式，是根据动量守恒和动能守恒两个方程推导出来的结果。?应用方法：对于弹性碰撞，应列出动量守恒方程和动能守恒方程，但在数学运算中用m?1v?1+m?2v?2=m?1v?1+m?2v?2和v?1+v?1=v?2+v?2来计算最终结果。这样做的好处在于把二元二次方程转化为二元一次方程，从而极大的简化了数学计算过程，提高解题速度和解题质量。?注意事项此结论公式为矢量方程，要注意各速度的方向关系，应先规定正方向，确定各速度的正、负，再代入公式计算，这样可以把矢量运算转化为代数运算。?例题1倾角为30的足够长光滑斜面下端与一足够长光滑水平面相接，连接处用一光滑小圆弧过渡，斜面上距水平面高度分别为h?1=5 m和h?2=0。2 m的两点，各固定一小球A和B，如图1所示。某时刻由静止开始释放A球，经过一段时间t后，同样由静止释放B球。g=10 ?m/s?2，则?(1)为了保证A、B两球不会在斜面上相碰，t最长不能超过多少？?(2)在满足(1)的情况下，为了保证两球在水平面上碰撞的次数不少于两次，两球的质量m?A、m?B应满足什么条件？(假设两球在碰撞过程中没有能量损失)?解析(1)根据牛顿第二定律,两球在斜面上的加速度?mg?sin?30=ma，?设两物体在斜面上运动的时间分别为t?1和t?2,则有:?SX(h?1?sin?30SX)=SX(12SX)at?2?1，?SX(h?2?sin?30SX)=SX(12SX)at?2?2，?且t=t?1-t?2.?所以t=1.6 ?s?。?(2)设两球滑到水平面上时的速度分别为v?1、v?2,根据机械能守恒定律有?m?Agh?1=SX(12SX)m?Av?2?1,?m?Bgh?2=SX(12SX)m?Bv?2?2.?所以v?1=KF(2gh?1KF)=10 ?m/s?,?v?2=KF(2gh?2KF)=2 ?m/s?。?根据动量守恒定律有?m?Av?1+m?Bv?2=m?Av?1+m?Bv?2，?根据动能守恒有?SX(12SX)m?Av?2?1+SX(12SX)m?Bv?2?2=SX(12SX)m?Av?1?2+SX(12SX)m?Bv?2?2，?若能发生第二次碰撞，应有?v?1v?2。?在具体计算时，可以利用以下两个公式和速度大小关系求解?10m?A+2m?B=-m?Av?1+m?Bv?2，?10-v?1=2+v?2，?v?1v?2，?可得v?1=8-v?2v?2，?即得v?24.?把v?1=8-v?2代入动量关系式中即可求得?SX(M?AM?BSX)SX(17SX)。?注意在本题中，A球速度反向，与原速度方向相反，这里要注意规定正方向，确定各速度的正负，要把矢量运算转化为代数运算。?例题2如图2所示，第一象限存在方向沿y轴负方向的匀强电场，第四象限 存在方向垂直于xOy平面向外的匀强磁场。物体N质量为m?2=1.010?-10? ?kg?静止在光滑水平面上，它的右端连接有轻质的弹簧，物体P质量为m?1=2.010?-10? ?kg?，带电量为q=1.010?-5? ?C?由纵轴上距原点O距离为L=1 ?m?处沿x轴正方向以初速度v?0=5 ?m/s?的速度射入匀强电场，忽略物体P的重力，物体由x轴上的C点沿与x轴正方向成=60角的方向射入匀强磁场，在磁场中偏转后由y轴上的Q点沿垂直于y轴方向离开磁场恰好进入光滑的水平面并水平向左运行，物体P遇上弹簧后便立刻与弹簧粘连在一起向左运动压缩弹簧，不考虑物体P与弹簧碰撞时的能量损失及物体P的电荷对物体N，弹簧及地面的影?欤?求?：?(1)匀强电场的场强E为多少？?(2)匀强磁场的磁感应强度B为多少？?(3)弹簧以后又出现自然伸长时物体P、N的速度分别为多少？?解析(1)物体P在C点竖直方向的分速度?v?y=v?0?tan?，?v?2?y=2aL，?a=SX(Eqm?1SX)，?所以E=SX(m?1v?2?0?tan?22qLSX)=7。510?-4? (?N/C?)。?(2)磁场中轨迹如图3所示，轨迹圆心为O，?类平抛过程v?y=at，v=SX(v?0?cos?SX)，?水平射程L?OC?=v?0t，?磁场中轨迹半径R=SX(L?oc?sin?SX)，=0，?Bqv=m?1SX(v?2RSX)，?所以B=SX(m?1v?0?tan?22qLSX)=1.510?-4? (?T?)。?(3)对m?1、m?2为系统，取水平向左方向为正方向?m?1v=m?1v?1+m?2v?2，?SX(12SX)m?1v?2=SX(12SX)m?1v?2?1+SX(12SX)m?2v?2?2,?联立得：v?1=SX(103SX) ?m/s?,?v?2=SX(403SX) ?m/s?表示由弹簧压缩到最短时恢复到自然伸长的状态，?v?1=10 ?m/s?v?2=0?表示由弹簧拉长到最长时恢复到自然伸长的状态。?反思：两物体通过弹簧相互作用过程中满足系统动量守恒，当弹簧再次恢复原长时，两物体的总动能保持不变，此过程类似于弹性碰撞过程，所以可以用弹性碰撞的数据处理办法进行计算。但用上述方法计算时，只能得到一组解v?1=SX(103SX) ?m/s?,v?2=SX(403SX) ?m/s?(同学们可自行计算)。造成这种结果的原因是因为两物体间的真正弹性碰撞只能发生一次，所以得到的数据结果只能是唯一的，上述方