中考数学复习 第五章基本图形 第23课 平行四边形课件.ppt

第23课平行四边形 基础知识自主学习 1 n边形以及四边形的性质 1 n边形的内角和为 外角和为 对角线条数为 2 四边形的内角和为 外角和为 对角线条数为 3 正多边形的定义 各条边都 且各内角都的多边形叫正多边形 要点梳理 n 2 180 360 360 360 2 相等 相等 2 平行四边形的性质以及判定 1 性质 平行四边形两组对边分别平行且相等 平行四边形对角相等 邻角互补 平行四边形对角线互相平分 平行四边形是中心对称图形 2 判定方法 定义 两组对边分别平行的四边形是平行四边形 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 两组对边分别相等的四边形是平行四边形 两组对角分别相等的四边形是平行四边形 对角线互相平分的四边形是平行四边形 3 三角形中位线定理 三角形的中位线平行于第三边 且等于第三边的一半 难点正本疑点清源 1 理解平行四边形相关概念四边形的对边 对角与三角形中所说的对边 对角不同 在三角形中 对边指一角的对边 对角指一边的对角 而在四边形中 对边指不相邻的边 也就是没有公共顶点的边 对角指不相邻的角 邻边是指四边形中有公共端点的边 邻角是指四边形中有一条公共边的两个角 平行四边形的表示方法 一般按照一定的方向 顺时针或逆时针 依次表示各个顶点 2 正确运用平行四边形的性质 判定来解题平行四边形的性质是我们研究平行四边形的角或边的重要依据 利用平行四边形的性质 可以求角的度数 线段的长度 也可以证明角相等 线段相等 线段平分线等问题 其关键是根据所要证明的全等三角形 选择需要的边 角相等条件 包括定义在内 平行四边形共有五种判定方法 对于不同的题目 应通过仔细观察分析 选出合适的判定方法来解答 在实际运用中 要注意性质和判定的联系和区别 3 三角形的中位线性质三角形中位线性质为我们证明两直线的位置和数量关系提供了一个重要的依据 当题目中遇到中点问题时 常作出三角形的中位线 当已知三角形一边中点时 可以设法找出另一边的中点 构造三角形中位线 进一步可以利用其证明线段平行或倍分问题 可简单的概括为 已知中点找中位线 基础自测 1 2011 绵阳 王师傅用4根木条钉成一个四边形木架 如图 要使这个木架不变形 他至少要再钉上几根木条 a 0根b 1根c 2根d 3根答案b解析画一条对角线 将四边形分成两个三角形 依据三角形的稳定性 这个木架不变形 2 2011 邵阳 如图所示 在 abcd中 对角线ac bd相交于点o 且ab ad 则下列式子不正确的是 a ac bdb ab cdc bo odd bad bcd答案a解析由平行四边形的性质 一定有ab cd bo od bad bcd 不正确的是ac bd 3 2011 广州 已知 abcd的周长为32 ab 4 则bc a 4b 12c 24d 28答案b解析因为2 ab bc 32 所以ab bc 16 bc 12 4 2011 义乌 如图 de是 abc的中位线 若bc的长是3cm 则de的长是 a 2cmb 1 5cmc 1 2cmd 1cm答案b 5 2011 潼南 如图 在平行四边形abcd中 ab bc 直线ef经过其对角线的交点o 且分别交ad bc于点m n 交ba dc的延长线于点e f 下列结论 ao bo oe of eam ebn eao cno 其中正确的是 a b c d 答案b 解析 四边形abcd是平行四边形 ao co ad bc eam ebn 易证 eao fco oe of 综上 结论 正确 题型分类深度剖析 例1 2010 恩施 如图 已知 在 abcd中 ae cf m n分别是be df的中点 求证 四边形mfne是平行四边形 题型一平行四边形的判定 解证明 由平行四边形可知 ab cd bae dfc 又 ae cf bae dcf be df aeb cfd 又 m n分别是be df的中点 me nf 又由ad bc 得 adf dfc adf bea me nf 四边形mfne为平行四边形 探究提高探索平行四边形成立的条件 有多种方法判定平行四边形 若条件中涉及角 考虑用 两组对角分别相等 或 两组对边分别平行 来证明 若条件中涉及对角线 考虑用 对角线互相平分 来说明 若条件中涉及边 考虑用 两组对边分别平行 或 一组对边平行且相等 来证明 也可以巧添辅助线 构建平行四边形 知能迁移1 1 如图 在 abcd中 bd是对角线 ae bd于点e cf bd于点f 证明 四边形aecf是平行四边形 解证明 ae bd cf bd ae cf 在平行四边形abcd中 ab cd 且ab cd abe cdf 又 aeb cfd 90 rt abe rt cdf ae cf 四边形aecf是平行四边形 2 2010 郴州 已知 如图 把 abc绕边bc的中点o旋转180 得到 dcb 求证 四边形abdc是平行四边形 解证明 dcb是由 abc旋转180 而得 点a d 点b c关于点o中心对称 ob oc oa od 四边形abcd是平行四边形 注 还可以利用旋转变换得到ab cd ac bd相等 或证明 abc dcb来证abcd是平行四边形 题型二平行四边形相关边 角 周长与面积问题 例2 已知 如图 在 abcd中 be ce分别平分 abc bcd e在ad上 be 12cm ce 5cm 求 abcd的周长和面积 探究提高平行四边形对边相等 对边平行 对角相等 邻角互补 对角线互相平分 利用这些性质可以解决与平行四边形相关的问题 也可将四边形的问题转化为三角形的问题 知能迁移2 1 在 abcd中 对角线ac 12 bd 10 边ab m 则m的取值范围是 a 10 m 12b 2 m 22c 1 m 11d 5 m 6答案c 2 在 abcd中 db dc a 65 ce bd于e 则 bce 答案25 解析在 abcd中 dcb a 65 db dc dcb dbc 65 在rt bce中 bce 90 65 25 题型三运用平行四边形的性质进行推理论证 例3 已知 如图 e f分别是 abcd的边ad bc的中点 求证 af ce 解题示范 规范步骤 该得的分 一分不丢 证法二 在 abcd中 ad bc 且ad bc 2分 e f分别是ad bc的中点 ae ad cf cb ae cf 4分 又 ae cf 四边形aecf是平行四边形 af ce 6分 探究提高利用平行四边形的性质 可以证角相等 线段相等 其关键是根据所要证明的全等三角形 选择需要的边 角相等条件 也可以证明相关联的四边形是平行四边形 知能迁移3 1 2011 宜宾 如图 平行四边形abcd的对角线ac bd交于点o e f在ac上 g h在bd上 af ce bh dg 求证 gf he 解证明 在平行四边形abcd中 oa oc af ce af oa ce oc of oe 同理得 og oh 四边形egfh是平行四边形 gf he 2 2011 常德 如图 已知四边形abcd是平行四边形 求证 mef mba 若af be分别为 dab cba的平分线 求证df ec 解证明 在 abcd中 cd ab mef mba mfe mab mef mba 在 abcd中 cd ab dfa fab 又 af是 dab的平分线 daf fab daf dfa ad df 同理可得 ec bc 在 abcd中 ad bc df ec 题型四三角形中位线定理 例4 如图 在 abc中 d是bc上一点 e f g h分别是bd bc ac ad的中点 求证 eg hf互相平分 探究提高当已知三角形一边中点时 可以设法找出另一边的中点 构造三角形中位线 进一步利用三角形的中位线定理 证明线段平行或倍分问题 知能迁移4 1 2011 铜仁 已知 如图 在 abc中 bac 90 de df是的中位线 连接ef ad 求证 ef ad 解证明 de df是 abc的中位线 de ab df ac 四边形aedf是平行四边形 又 bac 90 平行四边形aedf是矩形 ef ad 2 如图 在 abc中 bd ce是角平分线 am ce an bd m n分别是垂足 求证 mn bc 解证明 分别延长am an交bc于p q ce平分 acb am ce acm pcm amc pmc 90 又 cm cm acm pcm am pm 同理an qn mn是 apq的中位线 mn pq 即mn bc 易错警示 试题如图 已知六边形abcdef的六个内角均为120 cd 10cm bc 8cm ab 8cm af 5cm 求此六边形周长 14 不可将未加证明的条件作为已知条件或推理依据 学生答案展示如图 连接eb da fc 分别交于点m n p fed edc 120 dem edm 60 dem是等边三角形 同理 mab nfa也是等边三角形 fn af 5 ma ab 8 efa 120 efc 60 ed fc 同理 ef dn 四边形ednf是平行四边形 同理 四边形emaf也是平行四边形 ed fn 5 ef ma 8 六边形abcdef的周长 ab bc cd de ef fa 8 8 10 5 8 5 44 cm 剖析上述解法最根本的错误在于多边形的对角线不是角平分线 从证明的一开始 由 fed edc 120 得到 dem edm 60 的这个结论就是错误的 所以后面的推理就没有依据了 请注意对角线与角平分线的区别 只有菱形和正方形的对角线才有平分一组对角的特性 其他的不具有这一性质 不可凭直观感觉就以为对角线ad be平分 cde def 切记 视觉不可代替论证 直观判断不能代替逻辑推理 正解如图 分别延长ed bc交于点m 延长ef ba交于点n edc dcb 120 mdc mcd 60 m 60 mdc是等边三角形 cd 10 mc dm 10 同理 anf也是等边三角形 af an nf 5 ab bc 8 nb 8 5 13 bm 8 10 18 e 120 e m 180 en mb 同理 em nb 四边形embn是平行四边形 en bm 18 em nb 13 ef en nf 18 5 13 ed em dm 13 10 3 六边形abcdef的周长 ab bc cd de ef fa 8 8 10 3 13 5 47 cm 批阅笔记利用六个内角相等 构造平行四边形是解决本题的关键 在计算证明的过程中 不可将某一条件未加证明作为已知条件或推理 计算的依据 思想方法感悟提高 方法与技巧 2 常用连对角线的方法把四边形问题转化为三角形的问题 3 有平行线时 常作平行线构造平行四边形 4 有中线时 常作加倍中线构造平行四边形 5 图形具有等邻边特征时 如 等腰三角形 等边三角形 菱形 正方形等 可以通过引辅助线把图形的某一部分绕等邻边的公共端点旋转到另一位置 失误与防范图形的直观性可帮助探求解题思路 但也可能因直观判断失误或用直观判断代替严密推理 就会造成解题失误 一定要对所有直观判断加以证明 不可以用直观判断代替严密的推理 例如 在四边形abcd中 ac与bd相交于点o 如果给出条件 ab cd 那么给出以下6种说法 如果再加上条件 ad bc 那么四边形abcd为平行四边形 如果再加上条件 ab cd 那么四边形abcd为平行四边形 如果再加上条件 a c 那么四边形abcd为平行四边形 如果再加上条件 bc ad 那么四边形abcd为平行四边形 如果再加上条件 ao co 那么四边形abcd为平行四边形 如果再加上条件 dba cab 那么四边形abcd为平行四边形 其中 正确的说法有 a 3个b 4个c