高中数学全程复习方略 12.1 绝对值不等式课件 理.ppt

第一节绝对值不等式 三年16考高考指数 1 理解绝对值的几何意义 并能利用含绝对值不等式的几何意义证明以下不等式 1 a b a b 2 a b a c c b 2 会利用绝对值的几何意义求解以下类型的不等式 ax b c ax b c x a x b c 3 会用1中的不等式证明一些简单问题 1 以选择题的形式考查绝对值不等式 同时与不等式的性质相结合 2 以考查绝对值不等式的解法为主 兼顾考查集合的交 并 补运算 1 绝对值三角不等式定理1 如果a b是实数 则 a b 当且仅当 时 等号成立 定理2 如果a b c是实数 那么 当且仅当 时 等号成立 a b ab 0 a c a b b c a b b c 0 即时应用 1 思考 a b 与 a b a b 与 a b 及 a b 分别具有什么关系 提示 a b a b a b a b a b 2 思考 不等式 a b a b a b 中 成立的条件分别是什么 提示 不等式 a b a b a b 右侧 成立的条件是ab 0 左侧 成立的条件是ab 0且 a b 不等式 a b a b a b 右侧 成立的条件是ab 0 左侧 成立的条件是ab 0且 a b 3 判断以下命题是否正确 请在括号内填 或 若 a b 1 则 a b 1 若a b r 则 a b 2 a a b 若 x 2 y 3 则 解析 对于命题 因为 a b a b 1 所以 a b 1 故 正确 对于命题 因为 a b a b a b a b 2a 所以 a b 2 a a b 故 正确 对于命题 因为0 x 2 y 3 所以 即故 正确 答案 2 含绝对值的不等式 x a的解集 x a x a x x a或x a x x r且x 0 r 即时应用 1 思考 x 以及 x a x b 表示的几何意义是什么 提示 x 表示数轴上的点x到原点o的距离 x a x b 表示数轴上的点x到点a b的距离之和 差 2 不等式 2x 3 0的解集是 解析 原不等式等价于2x 3 0 答案 x x 3 不等式x x 1 x0时 x 1 0 x 1 x x 1或0 x 1 答案 x x 1或0 x 1 3 ax b c c 0 和 ax b c c 0 型不等式的解法 ax b c ax b c c ax b c ax b c或ax b c 即时应用 1 不等式 2x 1 2 x的解集为 解析 1 由 2x 1 2 x或5x 1或x或x或x 4 x a x b c c 0 和 x a x b c c 0 型不等式的解法方法一 利用绝对值不等式的几何意义求解 体现了数形结合的思想 方法二 利用 零点分段法 求解 体现了分类讨论的思想 方法三 通过构造函数 利用函数的图象求解 体现了函数与方程的思想 即时应用 1 不等式 x 1 x 2 5的解集为 2 不等式 x 3 x 1 1的解集为 解析 1 当x1时 x 1 x 2 x 1 x 2 2x 1 5 x 2 故不等式的解集为 3 2 2 方法一 原不等式等价于 或 或 的解集为 的解集为 x 方法二 不等式 x 3 x 1 答案 1 3 2 2 绝对值三角不等式定理的应用 方法点睛 绝对值三角不等式定理的理解 1 两端的等号成立的条件在解题时经常用到 特别是用此定理求函数的最大 小 值时 2 该定理可以推广为 a b c a b c 也可强化为 a b a b a b 它们经常用于含绝对值的不等式的推证 提醒 当ab 0时 a b a b 当ab 0时 a b a b 例1 x a m 且 y a m 是 x y 2m x y a m r 的 a 充分不必要条件 b 必要不充分条件 c 充要条件 d 既不充分也不必要条件 解题指南 利用绝对值三角不等式 推证与 x y 2m的关系即得答案 规范解答 选a x y x a y a x a y a m m 2m x a m 且 y a m是 x y 2m的充分条件 取x 3 y 1 a 2 m 2 5 则有 x y 2 5 2m 但 x a 5 不满足 x a m 2 5 故 x a m且 y a m不是 x y 2m的必要条件 反思 感悟 1 对绝对值三角不等式定理 a b a b a b 中等号成立的条件要深刻理解 特别是用此定理求函数的最值时 2 对于y x a x b 或y x a x b 型的最值求法利用绝对值三角不等式更简洁 方便 变式训练 1 2012 青岛模拟 设a b是满足ab 0的实数 则 a a b a b b a b a b c a b a b d a b a b 解析 选b 方法一 特殊值法 ab 0 不妨设a 1 b 1 则 a b 1 1 0 a b 1 1 2 a b 1 1 0 a b 1 1 2 a c d错误 故选b 方法二 由ab 0得a b异号 易知 a b a b a b a b a b a b 选项b成立 a c d均不成立 2 已知命题p a 1 且 b 2 命题q a b 3 则p是q的 a 充分不必要条件 b 必要不充分条件 c 充要条件 d 既不充分也不必要条件 解析 选a a 1且 b 2 3 a b 3 a b 3 反之不成立 如a 2 b 3适合 a b 3 但不适合 a 1且 b 2 变式备选 1 f x 3 x x 2 的最小值为 解析 3 x x 2 3 x x 2 1 f x min 1 答案 1 2 若f x x 5 x 4 则f x 的最小值为 最大值为 解析 x 5 x 4 x 5 x 4 9 f x min 9 f x max 9 答案 99 3 给出下列四个命题 若loga a2 4 loga 4a x log2x 的解集为 0 1 若 a b c a b c r 则 a b c 以上四个命题中 正确命题的序号为 解析 对于 由于a2 4 4a且loga a2 4 loga 4a 0 a 1 故 错 对于 由x2 5x 1 0 得或 f x log2 x2 5x 1 的递减区间为 故 错 对于 必有x 0且log2x 0 0 x 1 故 正确 对于 a b a b c a b c 故 正确 答案 绝对值不等式的解法 方法点睛 1 含有一个绝对值的不等式的解法形如 f x a a r 型不等式的简单解法是等价命题法 即 1 当a 0时 f x a f x a或f x a 2 当a 0时 f x a f x 0 3 当aa 对任意x f x 有意义 2 x a x b c和 x a x b c型不等式的解法 1 零点分段讨论法含有两个或两个以上绝对值号的不等式 可用零点分段讨论法脱去绝对值号 将其转化为与之等价的不含绝对值符号的不等式 组 一般步骤是 令每个绝对值符号的代数式为零 并求出相应的根 将这些根按从小到大排序并把实数集分为若干个区间 由所分区间去掉绝对值符号组成若干个不等式组 解这些不等式组 求出解集 取各个不等式组的解集的并集求得原不等式的解集 2 利用 x a 的几何意义由于 x a x b 与 x a x b 分别表示数轴上与x对应的点到与a b对应的点的距离之和与距离之差 因此对形如 x a x b c c 0 或 x a x b c c 0 的不等式 利用绝对值的几何意义求解更直观 3 数形结合法通过构造函数 利用函数的图象求解 体现函数与方程的思想 正确求出函数的零点并画出函数图象 有时需要考查函数的单调性 是解题关键 提醒 在利用分类讨论解决含多个绝对值的不等式时 应做到分类不重 不漏 在某个区间上解不等式后 不要忘了与前提条件求交集 例2 解下列不等式 1 5 4x 9 2 2012 冀州模拟 x x a 2a2 常数a 0 3 2011 广东高考改编 x 1 x 3 0 4 2011 江苏高考 x 2x 1 3 5 2011 江西高考改编 x 10 x 2 8 解题指南 1 2 根据 x a及 x 0 型不等式的解法 去掉绝对值号求解 3 先移项 然后两边平方 转化为一元二次不等式求解 4 把含有绝对值的放在一侧 不含绝对值的放在另一侧 利用公式去掉绝对值后再求解 5 根据绝对值不等式的解法 采用零点分段讨论即得 规范解答 1 5 4x 9 5 4x 9或5 4x14 x 原不等式的解集为 x x 2 原不等式 或 a 0 解得a x 2a或x a 原不等式解集为 x x 2a 3 由 x 1 x 3 0得 x 1 x 3 两边平方得x2 2x 1 x2 6x 9 即8x 8 解得x 1 所以原不等式的解集为 x x 1 4 原不等式等价于 2x 1 3 x x 3 2x 1 3 x 解得 2 x 原不等式的解集为 x 2 x 5 当x 10时 原不等式变为 x 10 x 2 8 即 12 8 不符合要求 当 10 x 2时 原不等式变为 x 10 x 2 8 即2x 0 解得0 x 2 当x 2时 原不等式变为 x 10 x 2 8 即12 8 恒成立 x 2 综上所述 原不等式的解集为 x x 0 互动探究 把本例中 5 题改为 x 2 x 3 7如何求解 解析 方法一 x 2 x 3 原不等式可化为 或或 解上述不等式组得所求不等式的解集为 x x3 方法二 根据绝对值的几何意义 x 2 x 3 表示数轴上的点到2和 3的距离之和 而数轴上 4和3对应的点到2和 3对应的点的距离之和为7 如图 故 x x3 方法三 分别画出函数y1 x 2 x 3 和y2 7的图象 如图 其中y1 令2x 1 7得x 3 令 2x 1 7得x 4 所以 满足 x 2 x 3 7的解集为 x x 3或x 4 反思 感悟 1 解绝对值不等式的基本方法有 1 利用绝对值的定义 通过分类讨论转化为解不含绝对值符号的普通不等式 2 当不等式两端均为正时 可通过两边平方的方法 转化为解不含绝对值符号的普通不等式 3 利用绝对值的几何意义 数形结合求解 2 几种绝对值不等式的等价形式解绝对值不等式的思路是转化为等价的不含绝对值符号的不等式 组 根据式子的特点可用下列公式进行转化 1 f x g x f x g x 或f x g x 2 f x g x g x f x g x 3 f x g x f x 2 g x 2 变式备选 解下列不等式 1 1 x 2 3 2 x2 9 x 3 3 2012 潍坊模拟 x 1 2x 1 2 解题指南 1 利用公式法或平方法转化为不含绝对值的不等式 2 利用绝对值的定义或 f x a a 0 a f x a去掉绝对值符号或利用数形结合思想求解 3 不等式的左边含有两个绝对值符号 要同时去掉这两个绝对值符号 可以采用 零点分段法 解析 1 方法一 原不等式等价于不等式组 即 解得 1 x 1或3 x 5 所以原不等式的解集为 x 1 x 1或3 x 5 方法二 原不等式可转化为 或 由 得3 x 5 由 得 1 x 1 所以原不等式的解集是 x 1 x 1或3 x 5 方法三 原不等式的解集就是1 x 2 2 9的解集 即 解得 1 x 1或3 x 5 原不等式的解集是 x 1 x 1或3 x 5 2 方法一 原不等式等价于 或 不等式组 等价于解得 x 3或3 x 4 不等式组 等价于解得 2 x 3 原不等式的解集是 x 2 x 4或x 3 方法二 原不等式等价于即 原不等式的解集是 x 2 x 4或x 3 方法三 设y1 x2 9 y2 x 3 x 3 由 x2 9 x 3 解得x1 4 x2 3 x3 2 在同一坐标系下作出y1 y2的图象 从图中可看出使y1 y2的x的范围是x 3或2 x 4 原不等式的解集为 x x 3或2 x 4 3 由题意x 1时 x 1 0 x 时 2x 1 0 分类讨论如下 当x 时 原不等式等价于 得 当时 原不等式等价于 得 当x 1时 原不等式等价于 得x无解 由 得原不等式的解集为 含绝对值不等式的恒成立问题 方法点睛 1 含绝对值的函数问题的解法研究含有绝对值的函数问题时 根据绝对值的定义 分类讨论去掉绝对值符号 转化为分段函数 然后利用数形结合解决 是常用的思想方法 2 恒成立问题的解决方法 1 f x m恒成立 须有 f x max m 2 f x m恒成立 须有 f x min m 3 不等式的解集为r 即不等式恒成立 4 不等式的解集为 即不等式无解 例3 2012 潮州模拟 已知函数f x x x a 2 1 当a 1时 解不等式f x x 2 2 当x 0 1 时 恒成立 求实数a的取值范围 解题指南 1 把a 1代入f x 中 用零点分段讨论法解含有两个绝对值的不等式 2 先把问题等价转化为在x 0 1 上恒成立 再利用单调性与最值求解 规范解答 1 当a 1时 f x x 2 即x x 1 2 x 2 当x 2时 由 x x 1 2 x 2 0 x 2 又x 2 所以x 当1 x 2时 由 x x 1 2 2 x 2 x 2 又1 x 2 所以1 x 2 当x 1时 由 x 1 x 2 2 x x r 又x 1 所以x 1 综上 由 知原不等式的解集为 x x 2 2 当x 0 1 时 f x 即x x a 2 恒成立 也即在x 0 1 上恒成立 而在 0 1 上为增函数 故g x max g 1 h x 当且仅当 即时 等号成立 故a 反思 感悟 关于不等式成立问题 1 恒成立问题若f x a在区间d上恒成立 则f x 在区间d上的最小值大于a 若f x b在区间d上恒成立 则f x 在区间d上的最大值小于b 2 能成立问题若f x a在区间d上能成立 则f x 在区间d上的最大值大于a 若f x a在区间d上恰成立 等价于f x a的解集为d 若不等式f x b在区间d上恰成立 等价于f x b的解集为d 变式训练 2012 惠州模拟 已知函数f x 2x 1 2x 3 1 求不等式f x 6的解集 2 若关于x的不等式f x a恒成立 求实数a的取值范围 解析 1 原不等式等价于或或 解得或或 即不等式的解集为 x 1 x 2 2 2x 1 2x 3 2x 1 2x 3 4 a 4 变式备选 1 2012 郑州模拟 已知函数f x x a 1 若不等式f x m的解集为 x 1 x 5 求实数a m的值 2 当a 2时 解关于x的不等式f x t f x 2t t 0 解析 1 由 x a m得a m x a m 所以解得 2 当a 2时 f x x 2 所以f x t f x 2t 等价于 x 2 2t x 2 t 当t 0时 不等式 恒成立 即x r 当t 0时 不等式 等价于或或解得x 2 2t或或x 即 综上 当t 0时 原不等式的解集为r 当t 0时 原不等式的解集为 2 2012 洛阳模拟 已知f x x 1 解不等式 2 若f x f x 1 a2 a 1对任意实数x恒成立 求实数a的取值范围 解析 1 等价于 或 综上 原不等式的解集为 x x 2或 2 f x f x 1 x x 1 由三角不等式得 x x 1 x x 1 1 即f x f x 1 的最小值为1 a2 a 1 1 a2 a 2 0 即 a 2 a 1 0 解得 2 a 1 满分指导 含有参数的绝对值不等式的规范解答 典例 12分 2011 新课标全国卷 设函数f x x a 3x 其中a 0 1 当a 1时 求不等式f x 3x 2的解集 2 若不等式f x 0的解集为 x x 1 求a的值 解题指南 第 1 问 将a 1代入函数解析式 利用解绝对值不等式的公式求解 第 2 问f x 0 x a 3x 0 然后分x a和x a两种情况去掉绝对值号 转化为解不等式组的问题 将两段解集取并集得f x 0的解集 最后利用待定系数法求得a的值 规范解答 1 当a 1时 f x 3x 2可化为 x 1 2 2分由此可得x 3或x 1 故不等式f x 3x 2的解集为 x x 3或x 1 4分 2 由f x 0得 x a 3x 0 此不等式化为不等式组或 即或 8分因为a 0 所以不等式组的解集为 x x 10分由题设可得 1 故a 2 12分 阅卷人点拨 通过高考中的阅卷数据分析与