福建省南平市光泽二中高三数学一轮复习 第二章第五节 对数与对数函数课件 文 新人教A版.ppt

第五节 对数与对数函数 一 对数的概念 1 对数的定义 如果 那么数x叫做以a为底n的对数 记作x logan 其中叫做对数的底数 叫做真数 2 两种常见对数 ax n a 0 且a 1 a n 二 对数的性质 换底公式与运算法则 三 对数函数的定义 图象与性质 四 反函数 指数函数y ax a 0且a 1 与对数函数y logax a 0且a 1 互为反函数 它们的图象关于直线y x对称 1 对数函数的性质的拓展 1 比较同底数的两个对数值的大小 例如比较logaf x 与logag x 的大小 其中a 0 且a 1 若a 1 f x 0 g x 0 则logaf x logag x f x g x 0 若00 g x 0 则logaf x logag x 0 f x g x 2 同真数的对数值大小关系如图 则0 c d 1 a b 方法如下 过点 0 1 作平行于x轴的直线 直线方程为y 1 直线y 1与对数函数图象交点的横坐标即该对数函数的底 从而有b a 1 d c 0 也可以说 在同一坐标系内 当底数大于1时 图象绕 1 0 点顺时针转动时 则其对应解析式中的底数变大 当底数大于0且小于1时 图象绕 1 0 点顺时针转动时 其所对应的解析式中的底数也变大 2 对数logab的符号规律logab 0 a 0 a 1 b 0 a 1 b 1 0 logab0 a 1 b 0 a 1 b 1 0 1 函数y 的定义域是 a x 0 x 2 b x 0 x 1 或1 x 2 c x 0 x 2 d x 0 x 1 或1 x 2 答案 d 2 教材改编题 已知loga2b c 则 a a2b cb a2c bc bc a2d c2a b 解析 由对数的概念可知b正确 答案 b 3 若a 0 a 1 x y 0 n n 则下列各式 logax n nlogax logax n logaxn 其中正确的个数有 a 2个b 3个c 4个d 5个 解析 根据对数的运算性质易知 正确 答案 b 4 教材改编题 log32 log92 log43 log89 5 文 比较大小 log35 log54 解析 log35 log33 1 log54 log55 1 答案 log35 log54 理 设a b为正数 且2a a b b 则a b的大小关系为 对数式的化简与计算 思路点拨 把式子变形为可求值的对数式子是变形目的 如出现 等形式 方法技巧 1 对数式的化简与计算的基本思路 先利用幂的运算性质把底数或真数进行变形 化成分数指数幂的形式 使幂的底数最简 一般要求底数为质数 然后再用对数的运算法则求值 2 整体思想的运用 如 考虑平方差公式 用1代替等 4 任意正实数 5 对数的底数不统一时 考虑利用换底公式先统一底数再运算 对数函数的图象和性质 a a c bb b c ac a b cd b a c 思路点拨 已知的三个对数值底数不尽相同 不能直接运用对数函数的单调性进行大小比较 因此可用 媒介法 借助于第三数 或用换底方式 先将a c中对数化为 同底 再用比较法进行 解析 法一 c log45 1 a log54log53 log53 2 b c a b 法二 0 log53 1 0 log54 1 log53 2 log53 log54 即b a 答案 d 例2 理 2010年福建省六市高三年级5月联考 已知f x 是定义在 上的偶函数 且在 0 上是增函数 设a f ln b f log43 c f 0 4 1 2 则a b c的大小关系是 a a b cb b a cc c a bd b c a 思路点拨 先比较ln log43 0 4 1 2的大小 根据这三个数的特点 可用指数函数 对数函数的单调性及 媒介法 进行比较 解析 由题意知f x 在 0 上是减函数 e0 4 1 2 5 2 log43 ln3 0 4 1 2 f 0 4 1 2 f ln3 f log43 又f ln f ln3 f ln3 c a b 答案 b 变式探究 2 2008年山东卷 已知函数f x loga 2x b 1 a 0 a 1 的图象如图所示 则a b满足的关系是 a 0 a 1 b 1b 0 b a 1 1c 0 b 1 a 1d 0 a 1 b 1 1 解析 由图象知 函数f x loga 2x b 1 a 0 且a 1 在r上是增函数 a 1 又由图象知 1 f 0 0 即 1 logab 0 b 1 0 b 1 答案 a 方法技巧 对数式中的比较大小问题 一般有以下情况 1 同底型 可由对数函数的性质直接比较 2 同真数型 可由换底公式化为同底型或用图象比较 3 既不同底也不同真数型 可寻找中间量或用换底公式变形后比较 指数函数与对数函数的有关问题 例3 在同一平面直角坐标系中 函数y g x 的图象与y ex的图象关于直线y x对称 而函数y f x 的图象与y g x 的图象关于y轴对称 若f m 1 试求m的值 思路点拨 指数函数与对数函数互为反函数 由题意可求g x 的解析式 进而可求f x 的解析式 问题便可获解 方法技巧 1 互为反函数的图象关于直线y x对称 2 解答此类问题应注意函数解析式的结构特征 运算的准确性 例1 2008年全国 卷 若x e 1 1 a lnx b 2lnx c ln3x 则 a a b cb c a bc b a cd b c a 解析 x e 1 1 10 所以2lnx lnx ln3x 即b a c 答案 c 例2 2010年天津卷 设函数f x 若f a f a 则实数a的取值范围是 a 1 0 0 1 b 1 1 c 1 0 1 d 1 0 1 解析 法一 若a 0 由f a f a 得log2a a 由换底公式得log2a log2a 即2log2a 0 a 1 若af a 得 a log2 a 由换底公式得log2 a 0 0 a 1 1 a 0 选c 法二 数形结合 画出f x 草图 显然 a 1时f a 0 f a f a 同理 1f a 答案 c 类型混淆定义域与值域致误 例 已知函数f x log2 ax2 ax 1 的值域为r 求实数a的取值范围 正解 要使函数f x 的值域为r 只需g x ax2 ax 1取尽所有正实数 即 0 是g x 值域的子集 则g x 的图象与x轴恒有交点 所以有解得a 4 当a 0时 g x 1 f x 0不合题意 故所求a的取值范围是 4 分析 解答本题极易出现如下解法 要使f x 的值域为r 只需g x ax2 ax 1 0时 x r都成立 解得0 a 4 当a 0时 g x 1 0成立 综上a的取值范围是 0 4 以上解法误将f x 的值域为r与f x 的定义域为r相混淆 f x 的定义域为r时 ax2 ax 1 0对 x r恒成立 而值域为r时 必须有g x ax2 ax 1取尽所有正实数 显然 恒有 与 取尽所有 是两个根本不同的概念 取尽所有 指的是 函数f x 的定义域随参数a的变化而变化 就是寻找a的取值范围 使a在这个范围内任取一个值 都保证g x 取尽所有正实数 一 选择题 1 下列函数图象中不正确的是 解析 y log3 x 为偶函数 图象关于y轴对称 故选项d不正确 答案 d 2 函数y log2 x 的图象大致是 解析 函数y log2 x 为偶函数 作出x 0时y log2x的图象 图象关于y轴对称 应选c 答案 c 3 文 福建省宁德市2010届高三5月质量检测 已知全集u r 集合 ua x log2 x 1 x 7 9 2 b x 2 则a b等于 a 2 4 b 2 5 c 2 3 d 2 7 解析 由log2 x 1 x 7 9 2 x 1 x 7 9 4 x2 8x 12 0 x6 即 ua x x6 所以a x 2 x 6 又b x 1 x 3 所以a b x 2 x 3 答案 c 解析 a x x2 2x 0 x x2 b x x 1 0 x x 1 图中的阴影部分表示的集合是 a ub ua b 0 1 2 答案 d 4 设f x 则不等式f x 2的解集为 a 1 2 3 b c 1 2 d 1 2 解析 此函数是分段函数应分类考虑 当x2 则2ex 1 2 ex 1 1 x 1 0 即12时 f x log3 x2 1 2 即log3 x2 1 log39 x2 1 9 则x 或x2 所以x 不等式的解集为 1 2 故选c 答案 c 5 文 2010年福建省高考名校联考信息优化卷 已知函数f x 则f 2 log23 的值为 解析 2 log233 1 4 f 2 log23 3 log23 3 2 log23 答案 a 理 2010年福建模拟 定义运算a b 若f x log2x 2x x r 则f 4 等于 a 3b 4c 2d 5 解析 f x 的定义域为 x x 0 而x 0时恒有log2x 2x f x log2x f 4 log24 2 答案 c 二 填空题 6 若xlog32 1 则4x 4 x 解析 7 2010年福建省宁德市模拟 在r上为减函数 则a 8 设a 0 且a 1 函数f x alg x2 2x 3 有最小值 则不等式loga x2 5x 7 0的解集为 解析 lg x2 2x 3 有最小值 a 1 则不等式loga x2 5x 7 0 解得2 x 3 不等式的解集为 2 3 答案 2 3 9 文 2010年广东梅州质检 定义在r上的偶函数y f x 在 0 上递减 且f 0 则满足 0的x的集合为 解析 由偶函数y f x 在 0 上是减函数 且f 0 知函数y f x 在 0 上是增函数 且f 0 理 2010年浙江省温州市十校联合体模拟 函数f n logn 1 n 2 n n 定义使f 1 f 2 f k 为整数的数k k n 叫做企盼数 则在区间 1 10 内这样的企盼数共有 个 解析 f 1 f 2 log23 log34 log24 2 f 1 f 2 f 3 f 4 f 5 f 6 f 7 f 8 3 在区间 1 10 内这样的企盼数共有2个 答案 2 三 解答题 10 计算下列各式的值 解 1 法一 利用对数定义求值 x 1 法二 利用对数的运算性质求解 3 原式 lg2 lg5 lg22 lg2 lg5 lg25 3lg2 lg5 lg2 lg5 2 1 y t 3 1 t t2 4t 3 t 2 2 1 t 3 2 从而y g t 在t 3 2 上是增函数 故函数ymax g 2 15 理 设a 0 a 1 函数y alg x2 2x 3 有最大值 求函数y loga 3 2x x2 的单调区间 解 设t lg x2 2x 3 lg x 1 2 2 当x r时 t有最小值lg2 又因为函数y alg x2 2x 3 有最大值 所以0 a 1 又因为f x loga 3 2x x2 的定义域为 x 3 x 1 令u 3 2x x2 x 3 1 则y logau 因为y logau在定义域内是减函数 当x 3 1 时 u x 1 2 4是增函数 所以f x 在 3 1 上是减函数 同理 f x 在 1 1 上是增函数 故f x 的单调减区间为 3 1 单调增区间为 1 1 综合应用 12 已知函数f x