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【创新设计】2016届数学一轮 探究课二 理 新人教b版 (建议用时:80分钟)1(2015毕节二模)已知f(x)xln x(x0)(1)求f(x)的最小值(2)f(x)ax2f(x)(ar),讨论函数f(x)的单调性解(1)由f(x)xln x,得f(x)ln x1(x0),令f(x)0,得x.当x时,f(x)0;当x时,f(x)0,当x时,f(x)minln .(2)由题意及(1)知,f(x)ax2ln x1(x0),所以f(x)2ax(x0)当a0时,恒有f(x)0,则f(x)在(0,)上是增函数;当a0时,令f(x)0,即2ax210,解得0x;令f(x)0,即2ax210,解得x.综上,当a0时,f(x)在(0,)上是增函数;当a0时,f(x)在上单调递增,在上单调递减2已知f(x)axln x,x(0,e,g(x),其中e是自然常数,ar.(1)讨论a1时,函数f(x)的单调性和极值;(2)求证:在(1)的条件下,f(x)g(x);(3)是否存在正实数a,使f(x)的最小值是3?若存在,求出a的值;若不存在,请说明理由(1)解当a1时,f(x)xln x,x(0,e,f(x)1,x(0,e,当0x1时,f(x)0,此时f(x)的单调递减;当1xe时,f(x)0时,此时f(x)的单调递增f(x)的极小值为f(1)1.(2)证明f(x)的极小值为1,即f(x)在(0,e上的最小值为1,f(x)min1.又g(x),当0xe时,g(x)0,g(x)在(0,e上单调递增g(x)maxg(e),f(x)ming(x)max,在(1)的条件下,f(x)g(x).(3)解假设存在正实数a,使f(x)axln x(x(0,e)有最小值3,则f(x)a,x(0,e当0e时,f(x)在上单调递减,在上单调递增,f(x)minf1ln a3,ae2,满足条件;当e时,f(x)在(0,e上单调递减,f(x)minf(e)ae13,a(舍去),所以,此时f(x)无最小值综上,存在实数ae2,使得当x(0,e时,f(x)有最小值3.3(2015南京调研)已知函数f(x)exmx,其中m为常数(1)若对任意xr有f(x)0恒成立,求m的取值范围;(2)当m1时,判断f(x)在0,2m上零点的个数,并说明理由解(1)依题意,可知f(x)exm1,令f(x)0,得xm.故当x(,m)时,exm1,f(x)1,f(x)0,f(x)单调递增故当xm时,f(m)为极小值也是最小值令f(m)1m0,得m1,即对任意xr,f(x)0恒成立时,m的取值范围是(,1(2)当m1时,f(m)1m0,f(0)f(m)1时,g(m)em20,g(m)在(1,)上单调递增g(m)g(1)e20,即f(2m)0.f(m)f(2m)0,f(x)在(m,2m)上有一个零点故f(x)在0,2m上有两个零点4(2014北京卷)已知函数f(x)xcos xsin x,x.(1)求证:f(x)0;(2)若ab对x恒成立,求a的最大值与b的最小值(1)证明由f(x)xcos xsin x,得f(x)cos xxsin xcos xxsin x.因为在区间上f(x)xsin x0,所以f(x)在区间上单调递减从而f(x)f(0)0.(2)解当x0时,“a”等价于“sin xax0”;“b”等价于“sin xbx0”令g(x)sin xcx,则g(x)cos xc.当c0时,g(x)0对任意x恒成立当c1时,因为对任意x,g(x)cos xc0,所以g(x)在区间上单调递减从而g(x)g(0)0对任意x恒成立当0c1时,存在唯一的x0使得g(x0)cos x0c0.于是,当x变化时,g(x),g(x)在区间的变化情况如下:x(0,x0)x0g(x)0g(x)极大值因为g(x)在区间0,x0上是增函数,所以g(x0)g(0)0.进一步,“g(x)0对任意x恒成立”当且仅当g1c0,即0c.综上所述,当且仅当c时,g(x)0对任意x恒成立;当且仅当c1时,g(x)0对任意x恒成立所以,若ab对任意x恒成立,则a的最大值为,b的最小值为1.5已知函数f(x)x3x2(m21)x(xr),其中m0.(1)当m2时,求曲线yf(x)在点(3,f(3)处的切线方程;(2)若yf(x)在上存在单调递增区间,求m的取值范围;(3)已知函数yf(x)有三个互不相同的零点0,x1,x2,且x1x2,若对任意的xx1,x2,f(x)f(1)恒成立,求m的取值范围解(1)m2时,f(x)x3x23x,f(x)x22x3,切线斜率kf(3)0,又f(3)9,切线方程为y9.(2)f(x)x22xm21,其对称轴为x1,则f(x)在(1,)单调递减,由条件知f0,m2,又m0,m.(3)f(x)(x0)(xx1)(xx2),x1,x2为方程x2xm210的两根,x1x23,且0,结合m0,解得m.x1x2,x2,下面讨论x1与1.若x11x2时,即1x1,x2,则f(1)(10)(1x1)(1x2),f(1)0,而f(x1)0,与条件矛盾若1x1x2,则对xx1,x2,f(x)x(xx1)(xx2)0,又f(x1)0,f(x)在x1,x2上的最小值为0.又f(x)f(1)恒成立,f(x)minf(1),即0f(1),m20m.由知,m的取值范围为.6(2015晋中模拟)已知函数f(x)ax2(2a1)x2ln x(ar)(1)若曲线yf(x)在x1和x3处的切线互相平行,求a的值;(2)求f(x)的单调区间;(3)设g(x)x22x,若对任意x1(0,2,均存在x2(0,2,使得f(x1)g(x2),求a的取值范围解f(x)ax(2a1)(x0)(1)由题意知f(1)f(3),即a(2a1)23a(2a1),解得a.(2)f(x)(x0)当a0时,x0,ax10,在区间(0,2)上,f(x)0;在区间(2,)上,f(x)0,故f(x)的单调递增区间是(0,2),单调递减区间是(2,)当0a时,2,在区间(0,2)和上,f(x)0;在区间上,f(x)0,故f(x)的单调递增区间是(0,2)和,单调递减区间是.当a时,f(x)0,故f(x)的单调递增区间是(0,)当a时,02,在区间和(2,)上,f(x)0;在区间上,f(x)0,故f(x)的单调递增区间是和(2,),单调递减区间是.(3)由题意知,在(0,2上有f(x)maxg(x)max.由已知得g(x)max0,由(2)可知,当a时,f(x)在(0,2上单调递增,故f(x)maxf(2)2a2(2a1)2ln 22

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