北京市昌平区-学年第一学期高三年级期末理科数学.doc

昌平区20132014学年第一学期高三年级期末质量抽测 数 学 试 卷（理 科） （满分150分，考试时间120分钟） 2014.1考生须知：1 本试卷共6页，分第卷选择题和第卷非选择题两部分。2 答题前考生务必将答题卡上的学校、班级、姓名、考试编号用黑色字迹的签字笔填写。3 答题卡上第I卷(选择题)必须用2B铅笔作答，第II卷(非选择题)必须用黑色字迹的签字笔作答，作图时可以使用2B铅笔。请按照题号顺序在各题目的答题区内作答，未在对应的答题区域内作答或超出答题区域作答的均不得分。4 修改时，选择题部分用塑料橡皮擦涂干净，不得使用涂改液。保持答题卡整洁，不要折叠、折皱、破损。不得在答题卡上做任何标记。5 考试结束后，考生务必将答题卡交监考老师收回，试卷自己妥善保存。 第卷（选择题 共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.）(1) 已知全集，集合, , 则开始 输出结束 否是 (A) (B) (C) (D) (2) “”是“”的（A）充分而不必要条件（B）必要而不充分条件（C）充要条件（D）既不充分也不必要条件(3) 给定函数，其中在区间上单调递增的函数的序号是（A） （B） （C） （D） (4) 执行如图所示的程序框图，输出的值是(A) (B) (C) (D)(5) 若实数满足则的最小值是(A) (B) (C) (D) (6) 一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积是(A) (B) (C) (D) (7) 连掷两次骰子得到的点数分别为和,若记向量与向量的夹角为,则为锐角的概率是(A) (B) (C) (D) （8）已知函数在点处的切线与的图象有三个公共点，则的取值范围是（A） （B）（C） （D）第二卷（非选择题 共110分）二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分.）(9) 已知是第二象限的角，则的值为_ .(10) 如图，在复平面内，复数对应的向量为，则复数=_ .(11) 已知等差数列的前项和为，若，则_ ， _.（12）曲线所围成的图形的面积等于_ .(13) 在中，,则_ . (14) 将含有个正整数的集合M分成元素个数相等且两两没有公共元素的三个集合,其中，若中的元素满足条件：，则称为“完并集合”.若为“完并集合”，则的一个可能值为 .（写出一个即可） 对于“完并集合”，在所有符合条件的集合中，其元素乘积最小的集合是 .三、解答题（本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）(15)(本小题满分13分)已知函数.（）求函数的最小正周期；（）当时，求函数的取值范围.(16)(本小题满分13分)为了调研某校高一新生的身高（单位：厘米）数据，按的比例对名高一新生按性别分别进行“身高”抽样检查，测得“身高”的频数分布表如下表1、表2.表1：男生“身高”频数分布表身高频数25141342表2：女生“身高”频数分布表身高频数1712631（）求高一的男生人数并完成下面的频率分布直方图；（）估计该校学生“身高”在之间的概率；（）从样本中“身高”在的男生中任选人，求至少有人“身高”在之间的概率.(17)(本小题满分14分)在四棱锥中，平面，,.()求证：；()求与平面所成角的正弦值；()线段上是否存在点,使平面？说明理由.(18)(本小题满分13分)在平面直角坐标系中，已知点,圆的圆心在直线上，并且与直线相切于点.()求圆的方程；()若动点满足，求点的轨迹方程；（）在()的条件下，是否存在实数，使得的取值范围是，说明理由.(19)(本小题满分13分)已知函数.（）当时，求曲线在点处的切线方程；（）求函数的单调区间. (20)(本小题满分14分)设满足以下两个条件的有穷数列为阶“期待数列”：，.()若等比数列为阶“期待数列”,求公比； ()若一个等差数列既是阶“期待数列”又是递增数列,求该数列的通项公式；()记阶“期待数列”的前项和为.(1)求证: ；(2)若存在，使,试问数列能否为阶“期待数列”?若能,求出所有这样的数列；若不能，请说明理由. 昌平区20132014学年第一学期高三年级期末质量抽测 数学试卷（理科）参考答案及评分标准 2014.1一、选择题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。题 号（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）答 案ABBCCABD二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。 （9） （10） （11） ； （12） （13）； （14）（）（写出一个即可） ；（第一空2分，第二空3分）三、解答题（本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）(15)(本小题满分13分)解：（）因为 ，所以函数的最小正周期. 7分（）因为 所以.所以.所以. 所以函数的取值范围为. 13分(16)(本小题满分13分)解：()因为样本中男生人数是,由抽样比例是可得高一的男生人数是.男生的频率分布直方图如图所示. 4分()设为事件“该校学生“身高”在之间”.由表1和表2知,样本中“身高”在中人数是，样本的容量是,所以样本中学生“身高”在之间的频率是. 由估计学生“身高”在之间的概率是. 8分() 设为事件“从样本中“身高”在的男生中任选人，至少有人“身高”在之间”.样本中“身高”在之间的有人,设其编号是；样本中“身高”在间的男生有人,设其编号为.从中任取人的结果总数是. 共种.至少有人“身高”在间的有种,因此,所求概率是. 13分【用排列组合公式计算可酌情给分】 (17)(本小题满分14分)证明：()在四棱锥中，因为平面，平面, 所以. 因为， 所以. 因为, 所以平面.因为平面,所以. 4分() 如图，以为原点建立空间直角坐标系. 不妨设，则.则. 所以，. 设平面的法向量. 所以 .即. 令，则. 所以 所以所以与平面所成角的正弦值为. 9分()（法一）当为线段的中点时,平面.如图：分别取的中点,连结. 所以,且. 因为且， 所以且. 所以四边形是平行四边形. 所以. 因为， 所以三角形是等腰三角形. 所以. 因为平面， 所以. 因为, 所以平面. 所以平面. 即在线段上存在点,使平面. （法二）设在线段上存在点,当时，平面. 设，则.所以.即.所以.所以.由()可知平面的法向量.若平面，则.即.解得.所以当，即为中点时，平面. 14分(18)(本小题满分13分)解：（）设所求圆的圆心坐标为，半径为. 因为 圆心在直线上， 所以 ，即圆心. 因为 圆与直线相切于点，（法一） 所以 圆心到直线的距离. 即 .整理得：. 解得：.（法二） 所以垂直于直线.所以，即.所以 .所以 所求圆的方程为. 4分（）设.因为 ，所以.整理得 .即点的轨迹是以为圆心， 为半径的圆.8分（）存在实数，使得的取值范围是.（1）当圆与圆外离时，依题意可得：即 由解得.由解得. 所以.（2）当圆内含于圆时，依题意可得：即由，解得.此时，与矛盾.综上所述，存在实数，使得的取值范围是. 13分(19)(本小题满分13分)解：（）当时，. 因为， 所以. 因为， 所以函数在点处的切线方程为. 6分 （）（1）当时，. 因为，当时，.所以函数的单调减区间为，无单调增区间.（2）当时, 的定义域为. 当时，, 所以函数的单调减区间为，无单调增区间.（3）当时，. 当时， 若，则， 若，则，所以函数的单调减区间为，函数的单调增区间为. 当时，为常数函数，无单调区间. 当时，若，则， 若，则，所以函数的单调减区间为，函数的单调增区间为.综上所述，当时，函数的单调减区间为，无单调增区间；当时，函数的单调减区间为，无单调增区间；当时， 当时，函数的单调减区间为，函数的单调增区间为； 当时，为常数函数，无单调区间； 当时，函数的单调减区间为，函数的单调增区间为 13分(20)(本小题满分14分)解: () 若，则 由得，由得或. 若，由得, ，得，不可能. 综上所述. 4分()设等差数列的公差为. 因为，所以.所以.因为，所以由得.由题中的、得,