高考数学总复习 第2章 第8节 函数与方程课件 新人教A版 .ppt

第二章函数 导数及其应用 第八节函数与方程 一 函数的零点1 函数零点的定义对于函数y f x x d 把使成立的实数x叫做函数y f x x d 的零点 f x 0 1 函数的零点是函数y f x 与x轴的交点吗 提示 函数的零点不是函数y f x 与x轴的交点 而是y f x 与x轴交点的横坐标 也就是说函数的零点不是一个点 而是一个实数 2 几个等价关系方程f x 0有实数根 函数y f x 的图象与有交点 函数y f x 有 3 函数零点的判定 零点存在性定理 零点 x轴 a b f c 0 c f a f b 0 2 函数零点存在性定理的条件是充要条件吗 提示 不是 满足函数零点存在性定理的条件一定有零点 不满足这些条件也不能说就没有零点 如图 f a f b 0 f x 在区间 a b 上照样存在零点 而且有两个 因此函数零点存在性定理的条件是充分条件 但并不必要 二 二分法1 对于在区间 a b 上连续不断且f a f b 0的函数y f x 通过不断地把函数f x 的零点所在的区间 使区间的两个端点逐步逼近 进而得到零点近似值的方法叫做 一分为二 零点 二分法 2 给定精确度 用二分法求函数f x 零点近似值的步骤如下 确定区间 a b 验证f a f b 0 给定精确度 求区间 a b 的中点c 计算f c i 若f c 0 则c就是函数的零点 ii 若f a f c 0 则令b c 此时零点x0 a c iii 若f c f b 0 则令a c 此时零点x0 c b 判断是否达到精确度 即若 a b 则得到零点近似值a 或b 否则重复 答案 b 3 如下图所示的函数图象与x轴均有交点 其中不能用二分法求图中交点横坐标的是 a b c d 解析 图 中函数零点的左 右两侧的函数值同号 故不能用二分法求零点 答案 b 4 已知函数f x 4x m 2x 1有且只有一个零点 则实数m的值为 5 方程2 x x2 3的实数解的个数为 解析 分别作出函数f x 2 x与函数g x x2 3的图象 由图象知两函数图象有两个交点 答案 2 考向探寻 1 函数零点的存在性判定 2 求函数的零点 由图象知 两函数的图象有两个交点 即函数f x 有两个零点 答案 b 互动探究 本例 3 中 若将条件 在 1 1 上 改为 在 1 4 上 结果如何 解 由例 3 的解法知 f x 2x2 2x 4 2 x 2 x 1 由f x 0得 12 又 1 x 4 函数零点个数的判断方法 1 解方程法 令f x 0 如果能求出解 则有几个解就有几个零点 2 零点存在性定理 利用定理不仅要求函数在区间 a b 上是连续不断的曲线 且f a f b 0 还必须结合函数的图象与性质 如单调性 奇偶性 才能确定函数有多少个零点 3 利用图象交点的个数 画出两个函数的图象 看其交点的个数 其中交点的横坐标有几个不同的值 就有几个不同的零点 注意灵活选用函数零点的求法 函数零点的求法有两种 代数法和几何法 代数法即求方程f x 0的实数根 但当有些方程无法求实根时 就要用几何法 即将它与函数y f x 的图象联系起来 并利用函数的性质找出零点 考向探寻 1 用二分法求函数零点的近似解 2 二分法在实际问题中的应用 典例剖析 若函数f x x3 x2 2x 2的一个正数零点附近的函数值用二分法计算 其参考数据如下 那么方程x3 x2 2x 2 0的一个近似根 精确度0 1 为 利用二分法求函数的零点 解决时可结合根的存在性定理来判断 解析 由参考数据可知f 1 40625 0 0540 1 40625 1 4375 0 03125 0 1 函数的零点落在区间长度小于0 1的区间 1 40625 1 4375 内 函数的零点的近似值为1 40625 答案 1 40625 考向探寻 1 已知一元二次方程根的分布 求有关参数的取值范围 2 已知函数的零点解决有关综合问题 典例剖析 1 m为何值时 f x x2 2mx 3m 4 有且仅有一个零点 有两个零点且均比 1大 2 12分 设函数f x log2 2x 1 g x log2 2x 1 若关于x的函数f x g x f x m在 1 2 上有零点 求m的取值范围 1 利用一元二次方程根的判别式求解 利用方程思想或一元二次方程根的分布情况求解 2 由条件知m g x f x 令h x g x f x x 1 2 则问题转化为求函数h x 在 1 2 上的值域的问题 1 若函数f x x2 2mx 3m 4有且仅有一个零点 则 4m2 4 3m 4 0 即m2 3m 4 0 解得m 4或m 1 已知函数有零点 方程有根 求参数值常用的方法和思路 1 直接法 直接求解方程得到方程的根 再通过解不等式确定参数范围 2 分离参数法 先将参数分离 转化成求函数值域问题加以解决 3 数形结合 先对解析式变形 在同一平面直角坐标系中 画出函数的图象 然后观察求解 函数f x mx2 2x 1有且仅有一个正实数的零点 则实数m的取值范围是a 1 b 0 1 c 0 1 d 1 答案 c 解本题易出现的错误是分类讨论片面 函数零点定理使用不当 如忽视了对m 0的讨论 这样就会出现误选c的错误 1 解决由函数零点 方程根 的存在情况求参数的值或取值范围问题 关键是利用函数方程思想或数形结合思想 构建关于参数的方程或不等式求解 2 本题的易错点主