湖南省湘西州民族中学高三数学一模试卷 理（含解析）.doc

2015年湖南省湘西州民族中学高考数学一模试卷（理科）一、选择题（本大题共10个小题，每小题5分，共50分在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1设集合m=1，0，1，n=x|x2x，则mn=（）a0b0，1c1，1d1，0，12下列四个函数中，与y=x表示同一函数的是（）ay=（）2by=cy=dy=3命题“若=，则tan=1”的逆否命题是（）a若tan1，则b若=，则tan1c若，则tan1d若tan1，则=4下列图象表示的函数能用二分法求零点的是（）abcd5已知幂函数f（x）的图象经过（9，3），则f（2）f（1）=（）a3bcd16下列说法正确的是（）a命题“若x2=1，则x=1”的否命题为“若x2=1，则x1”b命题“x0r，x+x010”的否定是“xr，x2+x10”c命题“若x=y，则sin x=sin y”的逆否命题为假命题d若“p或q”为真命题，则p，q中至少有一个为真命题7设，则（）aabcbbcacbacdcba8定义域为r的函数f（x）为奇函数，若f（x+2）为偶函数，且f（1）=1，则f（8）+f（17）=（）a2b1c0d19若对任意的xr，函数f（x）满足f（x+2012）=f（x+2011），且f（2012）=2012，则f（1）=（）a1b1c2012d201210已知函数f（x）=log2x2log2（x+c），其中c0若对于任意的x（0，+），都有f（x）1，则c的取值范围是（）abcd二、填空题：本大题共1小题，考生作答5小题，每小题5分，共25分【选做题】（请考生在第11，12，13三题中任选两题作答，如果全做，则按前两题记分）11如图，过点p的直线与圆o相交于a，b两点若pa=1，ab=2，po=3，则圆o的半径等于12以直角坐标系的原点为极点，x轴的正半轴为极轴且单位长度一致建立极坐标系已知直线l的参数方程为（t为参数），圆c的极坐标方程为=2cos，若直线l经过圆c的圆心，则常数a的值为13（2013江西一模）若关于实数x的不等式|x1|x2|a2a3的解集是空集，则实数a的取值范围是必做题（1416题）14已知集合a=x|log2x1，b=x|0xc，若ab=b，则c的取值范围是15若函数是r上的单调递减函数，则实数a的取值范围是16奇函数f（x）的定义域为2，2，若f（x）在0，2上单调递减，且f（1+m）+f（m）0，则实数m的取值范围是三、解答题：（本大题共6小题，共75分写出文字说明，证明过程或演算步骤）17已知p：x2或x10；q：1mx1+m2；p是q的充分而不必要条件，求实数m的取值范围18在abc中，三内角a，b，c所对的边分别是a，b，c，且2bcosc=2ac（）求角b的大小；（）若sinasinc的取值范围19已知函数f（x）=loga（1x）+loga（x+3）（0a1）（1）求函数f（x）的定义域；（2）求函数f（x）的零点；（3）若函数f（x）的最小值为4，求a的值20如图，四棱锥pabcd的底面abcd是平行四边形，ba=bd=，ad=2，pa=pd=，e，f分别是棱ad，pc的中点（）证明ef平面pab；（）若二面角padb为60，（i）证明平面pbc平面abcd；（ii）求直线ef与平面pbc所成角的正弦值21已知函数（1）求证：不论a为何实数f（x）总是为增函数；（2）确定a的值，使f（x）为奇函数；（3）当f（x）为奇函数时，求f（x）的值域22阿设函数f（x）=kaxax（a0且a1）是奇函数，（1）求k的值；（2）若f（1）0，试求不等式f（x2+2x）+f（x4）0的解集；（3）若，且g（x）=a2x+a2x2mf（x）在1，+）上的最小值为2，求m的值2015年湖南省湘西州民族中学高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10个小题，每小题5分，共50分在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1设集合m=1，0，1，n=x|x2x，则mn=（）a0b0，1c1，1d1，0，1【考点】交集及其运算【专题】计算题【分析】求出集合n，然后直接求解mn即可【解答】解：因为n=x|x2x=x|0x1，m=1，0，1，所以mn=0，1故选b【点评】本题考查集合的基本运算，考查计算能力，送分题2下列四个函数中，与y=x表示同一函数的是（）ay=（）2by=cy=dy=【考点】判断两个函数是否为同一函数【专题】证明题【分析】逐一检验各个选项中的函数与已知的函数是否具有相同的定义域、值域、对应关系，只有这三者完全相同时，两个函数才是同一个函数【解答】解：选项a中的函数的定义域与已知函数不同，故排除选项a；选项b中的函数与已知函数具有相同的定义域、值域和对应关系，故是同一个函数，故选项b满足条件；选项c中的函数与已知函数的值域不同，故不是同一个函数，故排除选项c；选项d中的函数与已知函数的定义域不同，故不是同一个函数，故排除选项d；故选 b【点评】本题考查函数的三要素：定义域、值域、对应关系两个函数只有当定义域、值域、对应关系完全相同时，才是同一个函数3命题“若=，则tan=1”的逆否命题是（）a若tan1，则b若=，则tan1c若，则tan1d若tan1，则=【考点】四种命题【专题】简易逻辑【分析】根据逆否命题的定义即可得到结论【解答】解：命题“若=，则tan=1”的逆否命题是：若tan1，则，故选：a【点评】本题主要考查四种命题之间的关系以及判断，比较基础4下列图象表示的函数能用二分法求零点的是（）abcd【考点】二分法的定义【专题】计算题；函数的性质及应用【分析】根据函数只有满足在零点两侧的函数值异号时，才可用二分法求函数f（x）的零点，结合所给的图象可得结论【解答】解：由函数图象可得，a中的函数没有零点，故不能用二分法求零点，故排除ab和d中的函数有零点，但函数在零点附近两侧的符号相同，故不能用二分法求零点，故排除只有c中的函数存在零点且函数在零点附近两侧的符号相反，故能用二分法求函数的零点，故选c【点评】本题主要考查函数的零点的定义，用二分法求函数的零点的方法，属于基础题5已知幂函数f（x）的图象经过（9，3），则f（2）f（1）=（）a3bcd1【考点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域【专题】计算题【分析】求出幂函数的解析式，然后求解f（2）f（1）的值即可【解答】解：设幂函数f（x）=xa，它的图象经过（9，3），所以3=9a，a=所以幂函数为f（x）=，所以f（2）f（1）=故选c【点评】本题考查幂函数的解析式的求法，函数值的求法，考查计算能力6下列说法正确的是（）a命题“若x2=1，则x=1”的否命题为“若x2=1，则x1”b命题“x0r，x+x010”的否定是“xr，x2+x10”c命题“若x=y，则sin x=sin y”的逆否命题为假命题d若“p或q”为真命题，则p，q中至少有一个为真命题【考点】复合命题的真假【专题】简易逻辑【分析】a原命题的否命题为“若x21，则x1”，即可判断出正误；b原命题的否定是“xr，x2+x10”，即可判断出正误；c由于命题“若x=y，则sin x=sin y”正确，其逆否命题与原命题为等价命题，即可判断出正误；d利用“或”命题真假的判定方法即可得出【解答】解：a命题“若x2=1，则x=1”的否命题为“若x21，则x1”，因此不正确；b命题“x0r，x+x010”的否定是“xr，x2+x10”，因此不正确；c命题“若x=y，则sin x=sin y”正确，其逆否命题为真命题，因此不正确；d命题“p或q”为真命题，则p，q中至少有一个为真命题，正确故选：d【点评】本题考查了命题之间的关系、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力，属于中档题7设，则（）aabcbbcacbacdcba【考点】对数值大小的比较【专题】计算题；函数的性质及应用【分析】将a，b利用换底公式，通过对数函数的单调性判断a，b的大小，再根据与特殊点的比较可得答案【解答】解：a=log32=，b=ln2=，log23log2e1，又1ln2，c=1，abc，故选：a【点评】本题主要考查对数函数的单调性与特殊点的问题要熟记一些特殊点，比如logaa=1，loga1=08定义域为r的函数f（x）为奇函数，若f（x+2）为偶函数，且f（1）=1，则f（8）+f（17）=（）a2b1c0d1【考点】抽象函数及其应用；函数奇偶性的性质【专题】函数的性质及应用【分析】根据函数奇偶性的性质进行转化求解即可【解答】解：f（x+2）为偶函数，f（x+2）=f（x+2），f（x）是奇函数，f（x+2）=f（x2），即f（x+2）=f（x2），即f（x+4）=f（x），则f（x+8）=f（x+4）=f（x），则f（9）=f（1）=1，f（8）=f（0），f（x）是奇函数，f（0）=0，即f（8）=f（0）=0，则f（8）+f（9）=1+0=1故选：d【点评】本题主要考查函数值的计算，根据函数奇偶性的性质求出函数的周期性是解决本题的关键9若对任意的xr，函数f（x）满足f（x+2012）=f（x+2011），且f（2012）=2012，则f（1）=（）a1b1c2012d2012【考点】抽象函数及其应用【专题】计算题【分析】f（x+2012）=f（x+2011）=f（2010+x）可得函数的周期为t=2，从而可求得f（2012）=f（0）=2012，在f（x+2012）=f（x+2011）中，可令x=2012，则可得f（0）=f（1）=2012，从而可求【解答】解：f（x+2012）=f（x+2011）=f（2010+x）即f（t）=f（t+2）函数的周期为t=2f（2012）=f（0）=2012，对于f（x+2012）=f（x+2011），令x=2012，则可得f（0）=f（1）=2012f（1）=2012故选c【点评】本题主要考查了抽象函数的函数值的求解，解题中要注意善于利用赋值法进行求解，解题的关键是由已知关系寻求函数的周期10已知函数f（x）=log2x2log2（x+c），其中c0若对于任意的x（0，+），都有f（x）1，则c的取值范围是（）abcd【考点】抽象函数及其应用；函数恒成立问题【专题】函数的性质及应用【分析】把函数f（x）的解析式代入f（x）1后，利用对数式的运算性质变形，去掉对数符号后把参数c分离出来，然后利用二次函数求最值，则c的取值范围可求【解答】解：由f（x）1，得：log2x2log2（x+c）1，整理得：，所以x+c，即c（x0）令（t0）则令g（t）=，其对称轴为所以则c所以，对于任意的x（0，+），都有f（x）1的c的取值范围是故选d【点评】本题考查了对数型的函数及其应用，考查了数学转化思想，训练了利用分离变量法求参数的取值范围，解答的关键是利用对数函数的单调性去掉对数符号，是中档题二、填空题：本大题共1小题，考生作答5小题，每小题5分，共25分【选做题】（请考生在第11，12，13三题中任选两题作答，如果全做，则按前两题记分）11如图，过点p的直线与圆o相交于a，b两点若pa=1，ab=2，po=3，则圆o的半径等于【考点】与圆有关的比例线段【专题】计算题【分析】设出圆的半径，根据切割线定理推出papb=pcpd，代入求出半径即可【解答】解：设圆的半径为r，且po与圆交于c，d两点pab、pcd是圆o的割线，papb=pcpd，pa=1，pb=pa+ab=3；pc=3r，pd=3+r，13=（3r）（3+r），r2=6r=，故答案为：【点评】本题主要考查切割线定理等知识点，熟练地运用性质进行计算是解此题的关键12以直角坐标系的原点为极点，x轴的正半轴为极轴且单位长度一致建立极坐标系已知直线l的参数方程为（t为参数），圆c的极坐标方程为=2cos，若直线l经过圆c的圆心，则常数a的值为1【考点】简单曲线的极坐标方程【专题】坐标系和参数方程【分析】利用及其2=x2+y2可得圆c的极坐标方程化为直角坐标方程，把直线的参数方程化为普通方程，把圆心c的坐标代入即可得出【解答】解：圆c的极坐标方程为=2cos，化为2=2cos，直角坐标方程为：x2+y2=2x，配方为（x1）2+y2=1，可得圆心c（1，0），由直线l的参数方程为（t为参数），化为普通方程：xy=a，直线l经过圆c的圆心，10=a，解得a=1故答案为：1【点评】本题考查了极坐标方程化为直角坐标方程、直线的参数方程化为普通方程、点与圆的位置关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题13（2013江西一模）若关于实数x的不等式|x1|x2|a2a3的解集是空集，则实数a的取值范围是（1，2）【考点】绝对值不等式的解法【专题】不等式的解法及应用【分析】由绝对值的意义可得|x1|x2|的最小值为1，当关于实数x的不等式|x1|x2|a2a3的解集是空集时，应有a2a31，由此解得a的范围【解答】解：由于|x1|x2|表示数轴上的x对应点到1对应点的距离减去它到2对应点的距离，故|x1|x2|的最小值为1，故当关于实数x的不等式|x1|x2|a2a3的解集是空集时，应有a2a31，解得1a2，故答案为：（1，2）【点评】本题主要考查绝对值的意义，绝对值不等式的解法，体现了等价转化的数学思想，属于中档题必做题（1416题）14已知集合a=x|log2x1，b=x|0xc，若ab=b，则c的取值范围是2，+）【考点】并集及其运算；指、对数不等式的解法【专题】不等式的解法及应用；集合【分析】求出集合a，利用并集的运算求解即可【解答】解：集合a=x|log2x1=x|0x2，b=x|0xc，ab=b，可得c2c的取值范围是2，+）故答案为：2，+）【点评】本题考查集合的基本运算，对数不等式的解法，考查计算能力15若函数是r上的单调递减函数，则实数a的取值范围是（，【考点】函数单调性的性质【专题】计算题；转化思想【分析】由题意，此分段函数是一个减函数，故一次函数系数为负，且在分段点处，函数值应是右侧小于等于左侧，由此得相关不等式，即可求解【解答】解：依题意，解得a，故答案为：（，【点评】本题考查函数单调性的性质，熟知一些基本函数的单调性是正确解对本题的关键，本题中有一易错点，忘记验证分段点出函数值的大小验证，做题时要注意考虑完全16奇函数f（x）的定义域为2，2，若f（x）在0，2上单调递减，且f（1+m）+f（m）0，则实数m的取值范围是【考点】奇偶性与单调性的综合【专题】函数的性质及应用【分析】由f（1+m）+f（m）0，结合已知条件可得232a2a2，解不等式可求a的范围【解答】解：函数函数f（x）定义域在2，2上的奇函数，则由f（1+m）+f（m）0，可得f（1+m）f（m）=f（m）又根据条件知函数f（x）在定义域上单调递减，2m1+m2解可得，m1故答案为：【点评】本题主要考查了函数的奇偶性及函数的单调性在抽象函数中的应用，及不等式的求解，属于基础试题三、解答题：（本大题共6小题，共75分写出文字说明，证明过程或演算步骤）17已知p：x2或x10；q：1mx1+m2；p是q的充分而不必要条件，求实数m的取值范围【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【专题】计算题【分析】由已知p：x2，或x10，我们可求出p对应的x的取值范围，再由；p是q的充分而不必要条件，我们根据充要条件的集合法判断规则，可以构造一个关于m的不等式组，解不等式组即可得到实数m的取值范围【解答】解：p：x2，或x10；q：1mx1+m2p：2x10pq又q 推不出pm3m的取值范围为（3，+）【点评】本题考查的知识点是必要条件，充分条件与充要条件的判断，其中根据充要条件的集合法判断规则，构造一个关于m的不等式组，是解答本题的关键18在abc中，三内角a，b，c所对的边分别是a，b，c，且2bcosc=2ac（）求角b的大小；（）若sinasinc的取值范围【考点】余弦定理；三角函数中的恒等变换应用【专题】三角函数的求值【分析】（）利用余弦定理表示出cosc，代入已知等式中整理后得到关系式，再利用余弦定理表示出cosb，将得出的关系式代入求出cosb的值，即可确定出角b的大小；（）由b度数得到a+c的度数，用a表示出c，代入原式中利用两角和与差的正弦函数公式化简，再利用二倍角的正弦、余弦函数公式变形，整理后利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，根据a的范围求出这个角的范围，利用正弦函数的值域即可确定出范围【解答】解（）cosc=，代入已知等式得：2b=2ac，整理得：a2+c2b2=ac，cosb=，b（0，），b=；（）由b=得，c=a，sinasinc=sinasin（a）=sinacosa+sin2a=sin2acos2a+=sin（2a）+，a（0，），2a（，），sin（2a）1，sinasinc的取值范围为（0，【点评】此题考查了余弦定理，两角和与差的正弦函数公式，二倍角的正弦、余弦函数公式，以及正弦函数的定义域与值域，熟练掌握余弦定理是解本题的关键19已知函数f（x）=loga（1x）+loga（x+3）（0a1）（1）求函数f（x）的定义域；（2）求函数f（x）的零点；（3）若函数f（x）的最小值为4，求a的值【考点】对数函数的值域与最值；对数函数的定义域；函数的零点【专题】综合题；配方法【分析】（1）根据对数的真数大于零，列出不等式组并求出解集，函数的定义域用集合或区间表示出来；（2）利用对数的运算性质对解析式进行化简，再由f（x）=0，即x22x+3=1，求此方程的根并验证是否在函数的定义域内；（3）把函数解析式化简后，利用配方求真数在定义域内的范围，再根据对数函数在定义域内递减，求出函数的最小值loga4，得loga4=4利用对数的定义求出a的值【解答】解：（1）要使函数有意义：则有，解之得：3x1，则函数的定义域为：（3，1）（2）函数可化为f（x）=loga（1x）（x+3）=loga（x22x+3）由f（x）=0，得x22x+3=1，即x2+2x2=0，函数f（x）的零点是（3）函数可化为：f（x）=loga（1x）（x+3）=loga（x22x+3）=loga（x+1）2+43x1，0（x+1）2+44，0a1，loga（x+1）2+4loga4，即f（x）min=loga4，由loga4=4，得a4=4，【点评】本题是关于对数函数的综合题，考查了对数的真数大于零、函数零点的定义和对数型的复合函数求最值，注意应在函数的定义域内求解20如图，四棱锥pabcd的底面abcd是平行四边形，ba=bd=，ad=2，pa=pd=，e，f分别是棱ad，pc的中点（）证明ef平面pab；（）若二面角padb为60，（i）证明平面pbc平面abcd；（ii）求直线ef与平面pbc所成角的正弦值【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定；平面与平面垂直的判定；直线与平面所成的角【专题】空间角；空间向量及应用；立体几何【分析】（）要证明ef平面pab，可以先证明平面efh平面pab，而要证明面面平行则可用面面平行的判定定理来证；（）（i）要证明平面pbc平面abcd，可用面面垂直的判定定理，即只需证pb平面abcd即可；（ii）由（i）知，bd，ba，bp两两垂直，建立空间直角坐标系bdap，得到直线ef的方向向量与平面pbc法向量，其夹角的余弦值的绝对值即为所成角的正弦值【解答】解：（）证明：连结ac，acbd=h，底面abcd是平行四边形，h为bd中点，e是棱ad的中点在abd中，ehab，又ab平面pab，eh平面pad，eh平面pab同理可证，fh平面pab又ehfh=h，平面efh平面pab，ef平面efh，ef平面pab；（）（i）如图，连结pe，beba=bd=，ad=2，pa=pd=，be=1，pe=2又e为ad的中点，bead，pead，peb即为二面角padb的平面角，即peb=60，pb=pbd中，bd2+pb2=pd2，pbbd，同理pbba，pb平面abd，pb平面pbc，平面pab平面abcd；（ii）由（i）知，pbbd，pbba，ba=bd=，ad=2，bdba，bd，ba，bp两两垂直，以b为坐标原点，分别以bd，ba，bp为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系bdap，则有a（0，0），b（0，0，0），c（，0），d（，0，0），p（0，0，），=（，0），=（0，0，），设平面pbc的法向量为，令x=1，则y=1，z=0，故=（1，1，0），e，f分别是棱ad，pc的中点，e（，0），f（，），=（0，），=，即直线ef与平面pbc所成角的正弦值为【点评】本题主要考查空间直线与平面平行的判定定理以及线面角大小的求法，要求熟练掌握相关的判定定理21已知函数（1）求证：不论a为何实数f（x）总是为增函数；（2）确定a的值，使f（x）为奇函