高中数学 1.8.2函数y=Asin（ωx+φ）的图像与性质（二）课件 北师大版必修4.ppt

8函数y asin x 的图像与性质 二 函数y asin x a 0 的性质 k k z 1 判一判 正确的打 错误的打 1 函数y asinax 的周期是 2 函数y 2sin 3x 的对称轴是x k k z 3 函数y sin 2x 在区间 上的最小值一定是sin 2 做一做 请把正确的答案写在横线上 1 函数y asin的周期是 2 函数y sin的对称轴为 3 函数y sin2x在区间上的值域为 解析 1 1 错误 函数的周期为 2 错误 函数的对称轴方程为x k z 3 错误 要分析函数y sin 2x 在区间 上的单调性确定最小值 不一定在端点值处取 答案 1 2 3 2 1 函数的周期为答案 4 2 由解得函数的对称轴为答案 3 因为x 所以2x 结合图像可得函数的值域为答案 要点探究 知识点函数y asin x a 0 的性质研究函数y asin x 性质的基本策略 1 借助周期性 研究函数的单调区间 对称性等问题时 可以先研究在一个周期内的单调区间 对称性 再利用周期性推广到全体实数 2 整体思想 研究当x 时的函数的值域时 应将 x 看作一个整体 利用x 求出 的范围 再结合y sin 的图像求值域 微思考 1 函数y asin x 的对称中心有多少个 提示 由函数的图像可得函数y asin x 的对称中心有无数个 2 求函数y asin x 在 上的值域 当x1 x2 时的函数值是函数的最值吗 提示 不一定 若区间 是函数的单调区间 当x1 x2 时的函数值是函数的最值 当区间 不是单调区间时 应将 x 看作一个整体 结合图像求最值 即时练 已知函数y sin x 1 函数的对称轴方程为 2 函数的对称中心为 3 函数在区间 0 内的值域为 解析 1 由x k k z 得x k k z 答案 x k k z 2 由x k k z 得x k k z 则函数的对称中心是 k 0 k z 答案 k 0 k z 3 因为0 x 故结合正弦函数的图像得函数的值域为答案 题型示范 类型一函数y asin x 的单调性 典例1 1 2014 聊城高一检测 函数y 3sin 2x 2的单调减区间是 2 函数f x sin 2x 在上的单调增区间是 解题探究 1 题 1 中解题关键点是什么 2 题 2 中y sin 2x 在r上的单调增区间是什么 探究提示 1 关键点是将2x 看成一个整体 2 由 2k 2x 2k 得 k x k k z 所以单调增区间是 自主解答 1 选d 令解得故函数的单调减区间是 2 选c 令解得令k 0 得故函数在区间上的增区间是 延伸探究 本例题 2 中 若函数改为f x sin 2x 求其在上的增区间 解析 f x 故要求增区间 应令解得令k 0 得故函数在区间上的增区间是 方法技巧 求解函数y asin x 单调区间的四个步骤 1 将 化为正值 2 根据a的符号确定应代入y sin 的单调增区间 还是单调减区间 3 将 x 看作一个整体 代入到上述的单调区间中解出x的范围即为函数在r上的单调区间 4 如果要求函数在给定区间上的单调区间 则给k赋值求单调区间 变式训练 将函数g x 3sin 2x 图像上所有点向左平移个单位 再将各点横坐标缩短为原来的倍 得到函数f x 的图像 则 a f x 在上单调递减b f x 在上单调递减c f x 在上单调递增d f x 在上单调递增 解析 选a 易得f x 3cos4x 则其单调增区间为减区间为故当k 0时 函数在上单调递减 误区警示 本题易出现错选c的情况 出错原因是将余弦函数的单调区间代入错误 补偿训练 函数y sin的一个单调增区间是 解析 选a 令解得 当k 0时 得故选a 类型二函数y asin x 的值域 典例2 1 2014 宿迁高一检测 当x 时 函数y 2sin 2x 的值域为 2 2014 北京高考 函数f x 3sin 2x 的部分图像如图所示 写出f x 的最小正周期及图中x0 y0的值 求f x 在区间上的最大值和最小值 解题探究 1 当x 时 2x 的范围是什么 2 正弦函数在何处取到最值 探究提示 1 2x 的范围是2 正弦函数取最大值时x 2k k z 取最小值时x 自主解答 1 因为x 故2x 由正弦函数的图像可知故 1 y 2 答案 1 2 2 f x 的最小正周期为 x0 y0 3 因为x 所以于是当2x 0 即x 时 f x 取得最大值0 当即x 时 f x 取得最小值 3 方法技巧 函数y asin x b的值域 最值 的求解策略1 x r时 把 x 视为一个整体 结合函数y asinx b中sinx的有界性求其值域 2 x a b 时 把 x 视为一个整体 先依据x a b 求出 x 的范围 在此基础上类比函数y asinx b值域的求法 结合函数单调性或函数图像求解 变式训练 已知函数y acos 2x 3 x 的最大值为4 则实数a的值为 解题指南 分a 0及a 0两类求解 注意 x 解析 因为x 所以所以 1 当a 0 时 y取得最大值a 3 所以a 3 4 所以a 2 当a 0 1时 y取得最大值 a 3 所以 a 3 4 所以a 1 综上可知 满足题意的实数a的值为2或 1 答案 2或 1 补偿训练 设f x acosx b的最大值是1 最小值是 3 试确定g x bsin ax 的最大值 解析 由题意 a 0 当a 0时 所以此时g x sin 2x 其最大值为1 当a 0时 所以此时g x sin 2x 其最大值为1 综上知 最大值为1 类型三函数y asin x 的性质的综合应用 典例3 1 2013 山东高考 将函数y sin 2x 的图像沿x轴向左平移个单位后 得到一个偶函数的图像 则 的一个可能取值为 2 2014 扬州高一检测 已知实数a 0 给出下列命题 函数f x asin 2x 的图像关于直线x 对称 函数f x asin 2x 的图像可由g x asin2x的图像向左平移个单位而得到 若函数f x asin 2x x r 为偶函数 则 k k z 其中正确命题的序号有 把你认为正确命题的序号都填上 解题探究 1 题 1 中若使此函数为偶函数 则函数的名称应变为什么 2 题 2 中函数f x asin 2x 在对称轴处的函数值是多少 探究提示 1 应结合诱导公式 将函数名称变为余弦 2 函数f x asin 2x 在对称轴处的函数值为 a 即sin 2x 1 自主解答 1 选b 将函数y sin 2x 的图像沿x轴向左平移个单位 得到函数的图像 因为此时函数为偶函数 所以即 k k z 故应选b 2 对于 因为x 时 f x asin 2x 的值是0 不是最值 故直线x 不是函数图像的对称轴 故 不正确 对于 g x asin2x的图像向左平移个单位得到所以f x 可由g x asin2x的图像向左平移个单位而得到 故 正确 对于 若函数f x asin 2x x r 为偶函数 则f x 可以化简为acos2x或 acos2x 因此解之得 k k z 故 正确 答案 方法技巧 函数y asin x 综合应用的注意点 1 对于平移问题 应特别注意要提取x的系数 即将 x 变为 x 后再观察x的变化 2 对于对称性 单调性问题应特别注意将 x 看作整体 代入一般表达式解出x的值 3 对于值域问题同样是将 x 看作整体 不同的是根据x的范围求 x 的范围 再依据图像求值域 4 对于奇偶性问题 由 来确定 k k z 时是奇函数 k k z 时是偶函数 变式训练 2014 景德镇高一检测 关于函数f x sin 2x x r 有下列命题 1 函数y 为奇函数 2 函数y f x 的最小正周期为2 3 t f x 的图像关于直线x 对称 其中正确的命题序号为 解析 由于f x sin 2x x r 则则函数y 为奇函数 故 1 正确 由于f x sin 2x x r 的周期是 故 2 错误 由于所以f x 在x 处取得最小值 故 3 正确 答案 1 3 补偿训练 设函数f x sin x cos x 0 的最小正周期为 且f x f x 则 a f x 在上单调递减b f x 在上单调递减c f x 在上单调递增d f x 在上单调递增 解析 选a 由于f x sin x cos x 由于该函数的最小正周期为 得出 2 又根据f x f x 以及 得出 因此 f x 若x 则2x 0 从而f x 在上单调递减 若x 则2x 该区间不为余弦函数的单调区间 故b c d都错 a正确 规范解答 综合应用y asin x 的性质解题 典例 12分 2014 吉安高一检测 已知函数f x 2sin 2x 2 1 已知f 3 且 0 求 的值 2 当x 0 时 求函数f x 的单调递增区间 3 若对任意的x 不等式f x m 3恒成立 求实数m的取值范围 审题 抓信息 找思路 解题 明步骤 得高分 点题 警误区 促提升失分点1 求 值时若未将 如 处表示出来 直接得出 则会因步骤不全而失分 失分点2 求x 0 上的单调递增区间时 若给k赋值不全 导致在 处只求出 则会因漏解而失分 失分点3 若未能在 处将不等式恒成立问题转化为最值问题 则无法求出m的范围 会因解答不全而失分 悟题 提措施 导方向1 赋值要完整 不能遗漏研究周期函数时 常常需要先求出一般表达式 再通过赋值求解 赋值时注意不能遗漏 如本例求出x 0 上的单调递增区间有两个 易漏掉2 善于转化条件求参数范围不等式恒成立问题常转化为求出函数的最大值 最小值后代入不等式求解 如本例中将不等式恒成立转化为f x min m 3 类题试解 已知函数f x asin x a 0 0 0 个单位长度后得到函数y g x 的图象 且y