三角形中的几个巧合点.doc

三角形中的几个巧合点 三角形中有几个有趣的巧合点，它们是三角形的内心、外心、重心、垂心和旁心等读者可以按以下各例的要求，用折纸的方法求出这五心，也可以用规尺作图的方法作出五心例1 证明：三角形三内角平分线交于一点，此点称为三角形的内心已知：ABC中，AX，BY，CZ分别是A，B，C的平分线，求证：AX，BY，CZ交于一点(图3110)证 因为AX，BY是A，B的平分线，所以AX，BY必相交于一点，设此点为I(不然的话，AX，BY必平行，则BAX+YBA=180，这是不可能的)，所以I与AB，AC边等距，I与AB，BC边等距，所以I与AC，BC边等距，所以I必在CZ上，所以AX，BY，CZ相交于一点说明 若证明几条直线共点，可先证其中两条直线相交，再证这个交点分别在其余各条直线上，则这几条直线必共点于此交点由于三角形三内角平分线的交点与三边距离相等，所以以此交点为圆心，以此点到各边的距离为半径作圆，此圆必与三角形三边内切，所以称此交点为三角形内切圆圆心，简称内心例2 证明三角形三边的垂直平分线相交于一点，此点称为三角形的外心已知：ABC中，XX，YY，ZZ分别是BC，AC，AB边的垂直平分线，求证：XX，YY，ZZ相交于一点(图3111)分析 仿照例1的思考方法，先证XX，YY交于一点O，再证O点必在ZZ上即可证 因为XX，YY分别是ABC的BC边与AC边的中垂线，所以XX，YY必相交于一点，设为O(否则，XXYY，那么C必等于180，这是不可能的)因为OB=OC，OC=OA，所以OB=OA，所以O点必在AB的垂直平分线ZZ上，所以XX，YY，ZZ相交于一点说明 由于O点与ABC的三个顶点A，B，C距离相等，所以以O点为圆心，以OA长为半径作圆，此圆必过A，B，C三点，所以称此圆为三角形的外接圆，O点称为三角形的外心例3 证明：三角形的三条中线相交于一点，此点称为三角形的重心重心到顶点与到对边中点的距离之比为21已知：ABC中，AX，BY，CZ分别是BC，AC，AB边上的中线，求证：AX，BY，CZ相交于一点G，并且AGGX=21(图3112)证 设AX，BY交于一点G，作AG，BG中点D，E由于X，Y分别是BC，AC的中点，所以XYDE，所以，四边形DEXY为平行四边形，所以GD=DA=GX，GY=GE=EB，所以AGGX=21，BGGY=21同理，若BY与CZ相交于一点G，必有BGGY=21，GCGZ=21，所以G与G重合所以三角形三条中线相交于一点说明 为什么称G点为ABC的重心呢？这可以从力学得到解释设ABC为一个质量均匀的三角形薄片，并设其重量均匀集中于A，B，C三点，如果把B，C两点的重量集中于BC边中点X时，那么ABC的三顶点A，B，C的集中重量作了重新分配若A点为1，则X点为2，因此在AX上的重心支撑点必在AGGX=21处的G点这样一来，如果在G点支起三角形，那么ABC必保持平衡，所以G点为三角形的重心(图3113)例4 证明：三角形三条高线交于一点，这点称为三角形的垂心已知：如图3114，ABC中，三边上的高线分别是AX，BY，CZ，X，Y，Z为垂足，求证：AX，BY，CZ交于一点分析 要证AX，BY，CZ相交于一点，可以利用前面的证明方法去证，也可以转化成前面几例的条件利用已证的结论来证明为此，可以考虑利用三角形三边垂直平分线交于一点的现有命题来证，只须构造出一个新三角形ABC，使AX，BY，CZ恰好是ABC的三边上的垂直平分线，则AX，BY，CZ必然相交于一点证 分别过A，B，C作对边的平行线，则得到ABC(图3114)由于四边形ABAC、四边形ACBC、四边形ABCB均为平行四边形，所以AC=BC=AB由于AXBC于X，且BCBC，所以AXBC于A，那么AX即为BC之垂直平分线同理，BY，CZ分别为AC，AB的垂直平分线，所以AX，BY，CZ相交于一点H(例2)说明 本题的证法是把本题转化为已知命题(例2)来论证的，可见转化思想在解题中的重要性例5 证明：三角形两外角平分线和另一内角平分线交于一点，此点称为三角形的旁心已知：BX，CY分别是ABC的外角DBC和ECB的平分线，AZ为BAC的平分线(图3115)，求证：AZ，BX，CY相交于一点分析 可仿照例1的思考方法，先证明BX，CY必交于一点M，然后证明M点在AZ上，则AZ，BX，CY必交于一点以下请读者写出证明，并思考，为什么把点M叫作旁心，一个三角形有几个旁心？上面讲的是三角形中的五个巧合点，即为五心下面举两个与五心有关的例题，以扩展知识，并提高兴趣例6 如图3116已知H是ABC的垂心，O是外心，OLBC于L求证：AH=2OL明MK=OL即可由于OLAH，MKAH，所以OLMK，因此，只需证明LKOM即可由已知，这是显然的证法1 作OMAC于M，取CH的中点K，连结MK，LK，则有MKAHOL，LKBHOM，AH=2OL分析2 因为O为ABC的外心，故可作其外接圆，为了证明AH=2OL，可证AH等于另一线段a，而a=2OL，则AH=2OL为此，需添加一些辅助线，见证明2(图3117)证法2 连接BO并延长交O于D，连结CD，AD，则CD=2OL又CDBC，AHBC，所以AHCD同理，ADHC，所以四边形AHCD为平行四边形，所以AH=CD，所以AH=2OL例7 如图3118设G为ABC的重心，从各顶点及G向形外一直线l引垂线AA，BB，CC，GG(其中A，B，C，G为垂足)求证：AA+BB+CC=3GG分析 由于图中有许多可以利用的梯形，故可考虑利用梯形中位线定理来证明证 设M为AC的中点，N为BG的中点，作MMl于M，NNl于N，则由已知条件可知，MM是梯形AACC的中位线，NN是梯形BBGG的中位线，所以又MM+NN=2GG，所以所以AA+BB+CC+GG=4GG，所以AA+BB+CC=3GG说明 当本题中AA，BB，CC，GG不垂直于l，但仍保持互相平行时，本题结论是否还成立？试作出你的猜想，并加以证明 练习二十 1证明本讲例52如图3119在ABC中，O为外心，I为内心，且ABBCCA求