高等数学二重点题目.docx

1求曲面ex-z+xy=3在点(2,1,0)处的切平面及法线方程。解：ex-z+xy=3=z=ex+xy-3=z/x(2,1,0)=e+1，z/y(2,1,0)=2在点(2,1,0)处切平面的法向量是(e+1,2,-1)故所求切平面是(e+1)(x-2)+2(y-1)-(z-0)=0，即(e+1)x+2y-z=2(e+2)所求法线方程是(x-2)/(e+1)=(y-1)/2=z/(-1)只要求曲面在那一点的法向量就行f(x,y,z)=ez-z+xyf(x,y,z)=(y,x,ez-1)f(2,1,0)=(1,2,0)则平面方程设为1x+2y=a再把(2,1,0)代入平面2+2=a=4则平面是x+2y=42函数z=ln(1+x2+y2) 当x=1,y=2时的全微分为z=ln(1+x2+y2)dz/dx=1/(1+x2+y2)*2x=1/(1+12+22)*2*1=1/3dz/dy=1/(1+x2+y2)*2y=1/(1+12+22)*2*2=2/3 函数z=ln(1+x2+y2) 当x=1,y=2时的全微分为dz=(dx+2dy)/310求球面x+y+z=9在点(1,2,-2)的切平面及法线方程球心（0，0，0），因此切平面法向量为 （1，2，-2），又切平面过（1，2，-2），因此切平面方程为 1*(x-1)+2*(y-2)-2*(z+2)=0 ，化简得 x+2y-2z-9=0 。由于直线方向向量为 （1，2，-2），所以法线方程为 x-1=(y-2)/2=(z+2)/(-2) 。求球面X2+Y2+Z2=21在点(1,2,4)处的法线方程及切平面方程 求解题过程法线即圆心和该点的连线为(x-0)/1=(y-0)/2=(z-0)/4即x=y/2=z/4其法向量为(1,2,4)切平面上的任意两点的连线都应与法向量垂直设切平面是ax+by+cz=C设面上两点分别为(x1,y1)(x2,y2)则ax1+by1+cz1=Cax2+by2+cz2=C两式相减得：a(x1-x2)+b(y1-y2)+c(z1-z2)=0左边正好是向量(a,b,c)和向量(x1-x2,y1-y2,z1-z2)的形式向量(a,b,c)和向量(x1-x2,y1-y2,z1-z2)是垂直的由于(x1-x2,y1-y2,z1-z2)是任取的，所以向量(a,b,c)只能为法向量a=1，b=2，c=4其切平面则应为x+2y+4z=C解出C=21切平面为x+2y+4z=2114交换下列积分次序 1 （积分限0到1）dx(积分限x的平方到x）f(x,y)dy解：原式=(0,1)dy(y,y)f(x,y)dx。交换积分次序,(上限2,下限0)dy(上限2y,下限y2)f(x,y)dx|(上限4，下限2) dx |（上限2，下限x/2）f()dy 15 (D)sinx/xdxdy,其中D是由直线y=0,y=x及x=1围成计算二重积分Dxsiny/xdxdy=0,10,xxsiny/xdxdy=0,10,xx2siny/xd(y/x)dx=0,1x2(-cos(y/x)0,xdx=0,1x2(1-cos1)dx=x3/3(1-cos1)0,1=(1-cos1)/3I=重积分sinX/Xdxdy 其中D是由直线y=x 和 y=x2围成的闭区域显然被积函数关于x不可积，故肯定要先对y积分 I=（0,1)(x2,x)sinx/xdydx=(0,1)(sinx/x)(y)(x2,x)dx=(0,1)xsinx+sinxdx下面就简单了。（）内为积分上下限Dsinx/xdxdy =(0,1)dx(x,x2)sinx/xdy =(0,1)(x-1)sinxdx=sinx-xcosx+cosx|(0,1)=sin1-1求二重积分sinx/x dxdy, D:y=x,y=x/2,x=2所围区域e(-y2)dxdy,其中D是由x=0，y=x，y=2所围成的闭区域。求解D的顶点是：(0，0)、(0，2)、(2，2) e(-y) dxdy，Y型区域= (02) (0y) e(-y) dxdy= (02) ye(-y) dy= (-1/2)(02) e(-y) d(-y)= (-1/2) e(-y) |(02)= (-1/2) e(-4) - 1= (-1/2) (1/e - 1)= 1/2 - 1/(2e) 0.49084计算e(-y2)dxdy 其中D是由y=x, y=1及y轴所围成的区域先对x积分在对y积分e(-y2)dxdy =(0,1)(0,y)e(-y2)dxdy =(0,1)ye(-y2)dy=-1/2 (0,1)e(-y2)d(-y2)=-e(-y2)/2|(0,1)=(1-1/e)/2二重积分x+ydxdy D:xyax=rcost,y=rsint那么x+ydxdy D:xya =r(rcost)+(rsint)drdt D:0ra，0t2=r*rdrdt=rdrdt=rdr *dt D:0ra，0t2=r/3（从0到a）* t（从0到2）=a/3*2=2a/3算三重积分(x2+y2)(-0.5)dv，其中V为球面x2+y2+z2=4与抛物面z=(x2+y2)/3所围成的立体。要用极坐标，答案5*3(0.5)/pi应该是柱坐标吧，极坐标是对于二位图形的。V为球面x2+y2+z2=4与抛物面z=(x2+y2)/3所围成的立体，也就是上面是球面，下面是抛物面。故z的范围为(x2+y2)/3z（4-x2-y2），上半个球面z大于0.化为柱坐标为(2)/3z(4-2)x2+y2+z2=4与z=(x2+y2)/3的交平面为z=1，x2+y2=3故将图形投影至XOY平面，图形是=x2+y2=3所以，的范围为：03,02dV=dddz故积分化为I=(x2+y2)(-0.5)dv=(1/)dddz2 3 (4-2)= d d dz0 0 (2)/33=2* (4-2)- (2)/3d0=2（2/3+3/6）计算(x2+y2)dxdydz 是由曲面z=x2+y2及平面z=4所围成的闭区域直接上柱面极坐标x=rcos，y=rsin原积分=r2 rdrddz=(0-2)d (0-2) r3dr (r2-4)dz=32/3计算三重积分（x2+y2）dxdydz其中D为曲面2z=x2+y2与z=2平面所围成的区域.选用柱坐标系：02Pi,0r2,r2/2z2原式=ddrr3dz=dr3(2-r2/2)dr=2Pi*(r4/2-r6/12)|r=2=16Pi/3已知L为x+y=1在第二象限部分的曲线弧,则(x+y)ds：x+y=1 =y=(1-x) =y=-x/(1-x) ds=(1+y)dx=dx/(1-x) 故 原式=dx/(1-x) =dt (令x=sint) =/2。求L=（x2+2xy)dx-(x2+y2siny)dy,其中L是抛物线y=x2从点A(-1,1)到点B（1，1）的一段弧。补线段L1：y=1，x：1-1，这样L+L1为封闭曲线，所围区域是D(L+L1) （x+2xy)dx-(x+ysiny)dy格林公式= (2x+2x) dxdy 积分区域为D=0由于积分区域关于y轴对称，且被积函数关于x是奇函数，所以积分为0下面算L1上的积分(L1)（x2+2xy)dx-(x2+y2siny)dy= 1-1 (x+2x)dx=-2/3因此原积分=0-(-2/3)=2/3计算L(exsiny-3y)dx+(excosy+x)dy，其中L是由点(0,0)到点(0,2)x2+y2=2y的右半圆周解：(exsiny-3y)对y求导得：excosy-3 (excosy+x)对x求到得：excosy+1考虑L1：（0,2）到（0.0）的直线段，则L和L1构成封闭曲线，逆时针方向，所围区域为D由格林公式：L+L1=D（1-（-3）dxdy=4*1/2*=2所以：L=2-L1，在L1：（0,2）到（0.0）的直线段上，x=0， 故：L=2+0,2cosydy=2+sin2L（exsiny-2y+1）dx+（excosy+3y）dy,其中L是由点A（2，0）到点（0，0）的上半圆周x2+y22x证明锥面z=2x2+y2被柱面x+y=2x所截得的有限部分的面积为5可以用曲面积分来求。因为曲面是锥面z=2x2+y2的一部分。满足zx=2x/x2+y2, zy=2y/x2+y2设表示x2+y2=2x所围成的圆域，S表示这个圆的面积。所求曲面的面积S=ds=1+(zx)2+(zy)2 dxdy=5 ( dxdy)=5(S)=5求锥面z=根号(x2+y2)被圆柱面x2+y2=2x割下部分的曲面面积(是曲面积分)，求详细答案对于z=f(x,y)，曲面面积为A=D dA=D 1+(f/x)+(f/y)dxdy锥面z=(x+y)被圆柱面x+y=2x所割则积分区域D为：0x2，-(2x-x)y(2x-x)化为极坐标为：02，0r2cos锥面方程为：z=r；柱面方程为：r=2cosf/x=x/r=cos，f/y=y/r=sin(f/x)+(f/y)=cos+sin=1A=D 1+(f/x)+(f/y)dxdy=D 1+1 rdrd=2rdrd=2r2/2d=22cosd=21+cos2d=2/21+cos2d(2)=2/2(2+sin2)=2/24-0=22锥面z2=x2+y2被圆柱面x2+y2=2ax所截部分的曲面面积解：锥面z=x+y被圆柱面x+y=2ax所截 所截部分的曲面面积在xy平面上的投影是D：x+y=2ax z/x=x/(x+y)，z/y=y/(x+y) dS=1+(z/x)+(z/y)dxdy=2dxdy 故 所截部分的曲面面积=22dxdy =22dxdy =22*a。求幂级数x(n+1)/n收敛区间和和函数=lim(n-)|1/(n+1)/(1/n)|=lim(n-)|n/(1+n)|=1 收敛半径是R=1/=1当x=1时 x(n+1)/n=1/n 级数发散当x=-1时 x(n+1)/n=(-1)(n+1)/n 级数收敛 所以幂级数x(n+1)/n的收敛区间是-1,1)令S(x)=x(n+1)/n=x(xn)/n=-xln(1-x) (-1=x1)求幂级数( n=1) xn/n 的收敛域和函数显然由比值审敛法易知其收敛域为(-1,1)(n+1)/n(xn)=(1+1/n)*xn=xn+(1/n)*xn=x/(1-x)+(1/n)*xn令f(x)=(1/n)*xn则f(x)=x(n-1)=1/(1-x)所以f(x)=(上x,下0)1/(1-x) dx =-ln(1-x)所以(n+1)/n(xn)=x/(1-x)-ln(1-x)求幂级数(,n=1)n(n+1)xn的在其收敛域的和函数后项比前项的绝对值的极限=|x|收敛域：|x|1级数(n=1,)x(n+1)=x2/(1-x)=-1-x+1/(1-x)两边求导： (n=1,)(n+1)x(n)=x2/(1-x)=-1+1/(1-x)2再求导： (n=1,)n(n+1)x(n-1)=x2/(1-x)=2/(1-x)3所以：(n=1,)n(n+1)x(n)=2x/(1-x)3 |x|1追问麻烦再问一下，答案第三行级数(n=1,)x(n+1)为什么等于x2/(1-x)？回答首项x2 ，公比x的等比级数求和求对面积曲面积分： (x+y+z)dS 为球面x2+y2+z2=a2上zh(0h0）不用那么麻烦把曲面公式代入被积函数中(x2+y2+z2）ds=a2ds=(a2)*4a2=4a4追问但答案是8a4回答答案是4a4，我用不同的方法算了一遍，请看：被积函数x2+y2+z2关于z是偶函数，而且被积曲面关于xOy平面对称故(x+y+z)ds=21(x+y+z)ds 1是上半球面原式=2D(x+y+z)1+(z/x)+(z/y)d D是1在xOy平面投影（z/x用-(F/x)/(F/z)求.）原式=2D(x+y+(a-x-y)(1+x/z+y/z)d=2D a(a/(a-x-y)d化为极坐标=2*2*0-a a(a/(a-r)rdr=-2a0-a 1/(a-r)d(a-r)=-2a2(a-r) | 0-a=4a4应该是答案错了求曲面积分x2ydzdx+z2xdydz+y2zdxdy,其中为x2+y2=1.z=x2+y2与z=0所围成的封闭曲面的外侧,Gauss公式。P/x + Q/y + R/z = 1 + 1 + 2z - 2 = 2z xdydz + ydzdx + (z - 2z)dxdy= 2z dxdydz= 2(01) z dz Dz dxdy= 2(01) z * z dz= 2 * (1/4) z |(01)= 2 * (1/4)= /2普通方法。：z = (x + y)下侧、：z = 1上侧 xdydz + ydzdx + (z - 2z)dxdy= xdydz + ydzdx + (z - 2z)dxdy + xdydz + ydzdx + (z - 2z)dxdy= - D (- P * z/x - Q * z/y + R) dxdy + D (1 - 2) dxdy= - D - x * x/(x + y) - y * y/(x + y) + (z - 2z) dxdy - D dxdy= - D - x/(x + y) - y/(x + y) + (x + y) - 2(x + y) dxdy - (1)= - D x + y - 3(x + y) dxdy - = - (02) d (01) (r - 3r)r dr - = - 2 * 1/4 * r - r|(01) - = - 2 * (1