南京航空航天大学《高等数学》11.4函数展开成幂级数.pdf

问题的提出问题的提出 泰勒级数泰勒级数 函数展开成幂级数函数展开成幂级数 来的问题 和函数 现在研究反过 并用它的分析性质求收敛区间的收敛半径 已讨论它给定一个幂级数 来的问题 和函数 现在研究反过 并用它的分析性质求收敛区间的收敛半径 已讨论它给定一个幂级数 3 0 0 n n n xxa 0 0 函数即用一无穷级数来表达级数 将其表成幂数问题的提出 已知一函 函数即用一无穷级数来表达级数 将其表成幂数问题的提出 已知一函 n n n xxa xf 问题问题 1 在什么条件下函数才能展开成幂级数在什么条件下函数才能展开成幂级数 一 问题的提出一 问题的提出 2 如果能展开如果能展开 是什么是什么 n a 3 展开式是否唯一展开式是否唯一 二 泰勒级数二 泰勒级数 则阶导数的某个邻域内有直到在若则阶导数的某个邻域内有直到在若 1 0 nxxf 1 0 0 000 xRxp xRxx n xf xxxfxfxf nn n n n 1 0 1 0 1 之间在其中之间在其中xxxx n f xR n n n 1 复习泰勒公式复习泰勒公式 任意阶导数在所讨论的邻域内具有若任意阶导数在所讨论的邻域内具有若 xf 1 的右边总可写成幂级数泰勒公式形式上的右边总可写成幂级数泰勒公式形式上 2 0 0 2 0 0 000 n n xx n xf xx n xf xxxfxf f x 称为称为f x 的泰勒级数的泰勒级数 2 泰勒级数概念泰勒级数概念 2 xf和函数是否就是若收敛是否收敛和函数是否就是若收敛是否收敛 0 lim 0 00 xUxxR xfxf xUxxf n n 泰勒公式的余项 的勒级数在该区间内能展开成泰 内任意阶可导的某个邻域在点设 泰勒公式的余项 的勒级数在该区间内能展开成泰 内任意阶可导的某个邻域在点设定理定理 2 2 可展成幂级数即级数 就可表示成它的那么收敛于若 可展成幂级数即级数 就可表示成它的那么收敛于若 xfTalor xfxf 问题问题 3 函数展开成泰勒级数的充要条件函数展开成泰勒级数的充要条件 n n n nn xx n xf xxxfxfxS xRxSxfxf 0 0 0001 1 的泰勒公式 的泰勒公式 证明证明 即就可表达成泰勒级数故函数 数就为的泰勒级数收敛且和函 时 当内故在 即就可表达成泰勒级数故函数 数就为的泰勒级数收敛且和函 时 当内故在 0 lim 0 xf xfxf xRxU n n 3 00 0 000 xUxxx n xf xxxfxfxf n n 0 lim lim 10 xR xfxSxxU n n n n 内的一切对于内的一切对于 1 xSxfxR nn 4 0 2 0 0 0 2 n n x n f x f xffxf 时当时当0 0 x 的麦克劳林级数 的麦克劳林级数 xf 4 展开式的唯一性展开式的唯一性 0 4 5 5 2 210 n f a xf xaxaxaaxf n n n n 系数即 的麦克劳林级数式称为 要证 能 xannnanxf xannxaaxf xnaxaxaaxf nn n n n n n 1 2 32 12 321 2 1 1 1 23 2 32 导在收敛区间内可逐项求事实上导在收敛区间内可逐项求事实上 5 0 2 0 0 0 0 210 n f a f afafax n n 代入得将 代入得将 且展开式是唯一的 的泰勒级数内能展成点在 重要结论 且展开式是唯一的 的泰勒级数内能展成点在 重要结论 0 lim 0 00 RxxxR xRxxxf n n n n xx n xf xx n xf xxxfxfxf 0 0 2 0 0 000 n n x n f x n f xfxf x 0 0 0 0 0 0 0 0 2 0 时当特别 时当特别 0 1 lim lim 3 2 2 1 0 1 0 1 0 1 0 0 之间与在 内考察 确定收敛半径 写出泰勒级数求 泰勒级数作出 之间与在 内考察 确定收敛半径 写出泰勒级数求 泰勒级数作出 xx xx n f xR Rxx R nxf xf n n n n n n 三 函数展开成幂级数三 函数展开成幂级数 1 直接展开法直接展开法 n nxn x n xxx xf nfexf 1 3 1 2 1 1 2 1 0 1 0 1 32 的麦克劳林级数的麦克劳林级数 0 0 林级数处的泰勒级数或麦克劳或在 的幂展开成幂级数 按将 林级数处的泰勒级数或麦克劳或在 的幂展开成幂级数 按将 x xexf x 例例1 解解 R n n a a n n n n 0 1 limlim 2 1 xx n e xR n n 0 1 3 1 0 1 limlim 0 lim 0 1 0 n n n n n nn n x x n e R n x n x eex 绝对收在且 对任何指定的 绝对收在且 对任何指定的 1 1 3 1 2 1 1 32 x x n xxxe nx 展开为麦克劳林级数将展开为麦克劳林级数将xxfsin 12 1 753 1 12 1 7 1 5 1 3 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 0 0 2 1 12 1 20 2 sin 0 3 2 1 2 sin 1 k k n n k k x k xxxx ff n nk nk k f k k xxf 例例2 解解 2 12 1 7 1 5 1 3 1 sin 12 1 753 n n x n xxxxx x 0 1 1 sin 3 1 12 1 k k k k k k x x k xR R 2 为任一实数其中 的幂级数展成 为任一实数其中 的幂级数展成 m xxxf m 1 5 1 1 2 1 1 1 2 1 0 1 1 2 1 1 2 n n nmn x n nmmm x mm mx nmmmmf xnmmmmxf 11 1 lim 1 1 1 1 limlim 2 1 R n nm nmmm n n nmmm a a n n n n n 例例3 解解 3 11 1 2 1 2 1 1 1 2 x x n nmmmm x mm mxx n m 3 代数学中的二项式定理 次多项式的为级数为正整数时 当 代数学中的二项式定理 次多项式的为级数为正整数时 当mxm 确定式端点的情况由 确定式端点的情况由 m 3 注 有时当有时当 2 1 1 m 1 1 1 1 1 1 32 nn xxxx x 1 1 2 32 1 642 31 42 1 2 1 11 32 nn x n n xxxx 1 1 2 12 1 642 531 42 31 2 1 1 1 1 32 nn x n n xxx x 双阶乘双阶乘 计算也是简单的 究余项的工作而我们可以避免直接研相同结果 有用此方法展开与直接法成幂级数是唯一的 成幂级数 因为函数展变量代换等 将函数展 级数的代数与分析运算利用已知的展开式及幂 计算也是简单的 究余项的工作而我们可以避免直接研相同结果 有用此方法展开与直接法成幂级数是唯一的 成幂级数 因为函数展变量代换等 将函数展 级数的代数与分析运算利用已知的展开式及幂 用直接展开法 用直接展开法 1 计算 计算f n x0 工作量大工作量大 0 lim2难 证明难 证明 xRn n 2 间接展开法间接展开法 处展成泰勒级数在将处展成泰勒级数在将0cos xxxf sincosxx 注意到注意到 4 2 1 22 1 6 1 4 1 2 1 1cos 2221 642 x k x k x xxxx kkkk 12 1 753 12 1 7 1 5 1 3 1 sin n n x n xxxxx 将上式两边对将上式两边对x求导求导 解解 例例3 的幂级数展开成将的幂级数展开成将xxxf 1ln 11 1 1 1 1 ln 1 11 x x x x n nn 5 11 1 1ln 1 1 x n x x n nn 1 0 11 1 1 ln n x nn x o dxxdxx 例例4 解解 1 1 3 1 2 1 1 32 x x n xxxe nx 2 12 1 7 1 5 1 3 1 sin 12 1 753 x x n xxxxx n n 3 2 1 22 1 6 1 4 1 2 1 1cos 21 642 x k x k xxxx kkk 5 11 1 2 1 2 1 1 1 2 x x n nmmmm x mm mxx n m 4 11 1 1ln 1 1 x n x x n nn 的麦克劳林级数及求的麦克劳林级数及求x x arctan 1 1 2 1 1 1 1 1 2642 2 xxxxx x nn 1 12 1 53 1 1 0arctanarctan 1253 0 2 x n xxx x dx x x n n x 例例5 解解 1 2 1 1 2 1 1 2 1 3 1 x xx 的幂级数展成将的幂级数展成将 1 3 1 x x 例例6 解解 1 2 1 1 2