高考数学 2.3 函数的奇偶性与周期性课件.ppt

第三节函数的奇偶性与周期性 知识梳理 1 必会知识教材回扣填一填 1 函数的奇偶性 f x f x y轴 f x f x 原点 2 周期性 周期函数 对于函数y f x 如果存在一个非零常数t 使得当x取定义域内的任何值时 都有 那么就称函数y f x 为周期函数 称t为这个函数的周期 最小正周期 如果在周期函数f x 的所有周期中存在一个 的正数 那么这个最小正数就叫做f x 的最小正周期 f x t f x 最小 2 必备结论教材提炼记一记 1 函数奇偶性常用结论 如果函数f x 是偶函数 那么f x f x 奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性 偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性 在公共定义内有 奇 奇 奇 偶 偶 偶 奇 奇 偶 偶 偶 偶 奇 偶 奇 2 函数周期性常用结论 对f x 定义域内任一自变量的值x 若f x a f x 则t 2a a 0 若f x a 则t 2a a 0 若f x a 则t 2a a 0 3 必用技法核心总结看一看 1 常用方法 判断函数奇偶性的方法 应用函数奇偶性 周期性的方法 2 数学思想 数形结合思想 分类讨论思想 转化与化归思想 小题快练 1 思考辨析静心思考判一判 1 函数具备奇偶性的必要条件是函数的定义域在x轴上是关于坐标原点对称的 2 若函数f x 为奇函数 则一定有f 0 0 3 若函数y f x a 是偶函数 则函数y f x 关于直线x a对称 4 若函数y f x b 是奇函数 则函数y f x 关于点 b 0 中心对称 解析 1 正确 根据函数奇偶性的定义 f x f x 必须同时有意义 故具备奇偶性的函数首先其定义域关于坐标原点对称 但定义域关于坐标原点对称的函数未必具有奇偶性 2 错误 若函数f x 在点x 0处没有定义 如f x 则f 0 不存在 3 正确 函数y f x a 关于直线x 0对称 则函数y f x 关于直线x a对称 4 正确 函数y f x b 关于点 0 0 中心对称 则函数y f x 关于点 b 0 中心对称 答案 1 2 3 4 2 教材改编链接教材练一练 1 必修1p39b组t3改编 若f x 是偶函数且在 0 上为增函数 则函数f x 在 0 上为 解析 因为f x 是偶函数 所以f x 关于y轴对称 又因为f x 在 0 上为增函数 结合图象可知 函数f x 在 0 上为减函数 答案 减函数 2 必修1p39a组t6改编 设函数f x 是定义在r上的奇函数 若当x 0 时 f x lgx 则满足f x 0的x的取值范围是 解析 如图所示 由f x 为奇函数知 f x 0的x的取值范围为 1 0 1 答案 1 0 1 3 必修1p39a组t6改编 设f x 是周期为2的奇函数 当0 x 1时 f x 2x 1 x 则 解析 依题意 得答案 3 真题小试感悟考题试一试 1 2014 湖南高考 下列函数中 既是偶函数又在区间 0 上单调递增的是 a f x b f x x2 1c f x x3d f x 2 x 解析 选a 2 2015 石家庄模拟 已知f x 是定义在r上的偶函数 且对任意x r都有f x 4 f x f 2 则f 2014 等于 a 0b 3c 4d 6 解析 选a 因为f x 是定义在r上的偶函数 所以f 2 f 2 所以f 2 4 f 2 f 2 f 2 2f 2 所以f 2 0 f 2014 f 4 503 2 f 2 0 3 2014 新课标全国卷 已知偶函数f x 在 0 上单调递减 f 2 0 若f x 1 0 则x的取值范围是 解析 由题可知 当 20 f x 1 的图象是由f x 的图象向右平移一个单位得到的 若f x 1 0 则 1 x 3 答案 1 3 考点1函数奇偶性的判断 典例1 1 2014 广东高考 下列函数为奇函数的是 本题源于教材必修1p35例5 a 2x b x3sinxc 2cosx 1d x2 2x 2 判断下列函数的奇偶性 f x x 1 x 1 f x f x f x x 1 x 1 1 解题提示 1 奇函数满足函数关系式f x f x 当在原点处有定义时 f 0 0 2 先求出定义域 看定义域是否关于原点对称 在定义域内 解析式带绝对值号的先化简 计算f x 再判断f x 与f x 之间的关系 规范解答 1 选a 几个函数的定义域都关于原点对称 在原点处有定义 故应满足f 0 0 此时2cosx 1和x2 2x不符合题意 又2x 满足f x f x 但x3sinx满足f x f x 所以只有f x 2x 是奇函数 2 函数的定义域x 关于原点对称 因为f x x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 f x 所以f x x 1 x 1 是奇函数 由得x 3 所以f x 的定义域为 3 3 关于原点对称 又f 3 f 3 0 f 3 f 3 0 即f x f x 所以f x 既是奇函数 又是偶函数 去掉绝对值符号 根据定义判断 由得故f x 的定义域为 1 0 0 1 关于原点对称 且有x 2 0 从而有f x 这时有f x f x 故f x 是奇函数 已知f x 的定义域为 1 1 其定义域关于原点对称 因为f x 所以f x f x 即f x f x 所以f x 是偶函数 易错警示 解答本题 2 有三点容易出错 1 忽视函数的定义域 2 对函数奇偶性概念把握不准 3 存在既是奇函数 又是偶函数的情形 对 不知如何判断 互动探究 本例 2 题中若将条件 x 1 1 去掉 函数的奇偶性如何 解析 要使f x 有意义 则 0 解得 1 x 1 显然f x 的定义域不关于原点对称 所以f x 既不是奇函数 也不是偶函数 规律方法 判断函数的奇偶性的两种重要方法 1 定义法 2 图象法 函数是奇 偶 函数的充要条件是它的图象关于原点 y轴 对称 变式训练 下列函数 f x x3 x f x ln x f x a 0且a 1 f x f x 其中有个奇函数 解析 f x x3 x的定义域为r 又f x x 3 x x3 x f x 所以f x x3 x是奇函数 由x x x 0知f x ln x 的定义域为r 又f x ln x f x 所以f x 为奇函数 f x 定义域为r 且f x f x 所以f x 为奇函数 由 0得 1 x 1 f x lg的定义域为 1 1 又f x 所以f x 为奇函数 函数f x 的定义域为 0 0 其关于原点对称 并且有当x 0时 x0 f x x 1 x x 1 x f x 所以函数f x 为偶函数 所以 中共有4个奇函数 答案 4 加固训练 1 设q为有理数集 函数f x g x 则函数h x f x g x a 是奇函数但不是偶函数b 是偶函数但不是奇函数c 既是奇函数也是偶函数d 既不是偶函数也不是奇函数 解析 选a 因为当x q时 x q 所以f x f x 1 当x rq时 x rq 所以f x f x 1 综上 对任意x r 都有f x f x 故函数f x 为偶函数 因为g x 所以函数g x 为奇函数 所以h x f x g x f x g x f x g x h x 所以函数h x f x g x 是奇函数 所以h 1 f 1 g 1 h 1 f 1 g 1 1 h 1 h 1 所以函数h x 不是偶函数 2 函数f x 的定义域为r 若f x 1 与f x 1 都是奇函数 则 a f x 是偶函数b f x 是奇函数c f x f x 2 d f x 3 是奇函数 解析 选d f x 1 是奇函数 则有f x 1 f x 1 f x 1 是奇函数 则有f x 1 f x 1 在 式中用x 1代替x 则有f x 1 1 f x 1 1 即f x f x 2 在 式中用x 1代替x 则有f x 1 1 f x 1 1 即f x f x 2 则f x 2 f x 2 可知周期为4 则f x 1 f x 3 f x 1 f x 3 由 式 f x 1 f x 1 可得f x 3 f x 3 所以f x 3 是奇函数 考点2函数周期性及其应用 典例2 1 2015 南阳模拟 函数f x 是周期为4的偶函数 当x 0 2 时 f x x 1 则不等式xf x 0在 1 3 上的解集为 a 1 3 b 1 1 c 1 0 1 3 d 1 0 0 1 2 2014 四川高考 设f x 是定义在r上的周期为2的函数 当x 1 1 时 f x 则 解题提示 1 根据函数的周期性 奇偶性及在x 0 2 上的解析式画出函数的图象 结合函数图象求解 2 利用周期得再求值即得 规范解答 1 选c f x 的图象如图 当x 1 0 时 由xf x 0得x 1 0 当x 0 1 时 由xf x 0得x 当x 1 3 时 由xf x 0得x 1 3 故x 1 0 1 3 2 因为函数f x 是定义在r上的周期为2的函数 所以答案 1 规律方法 函数周期性的判定与应用 1 判定 判断函数的周期性只需证明f x t f x t 0 便可证明函数是周期函数 且周期为t 2 应用 根据函数的周期性 可以由函数局部的性质得到函数的整体性质 在解决具体问题时 要注意结论 若t是函数的周期 则kt k z且k 0 也是函数的周期 变式训练 2015 南京模拟 已知f x 是定义在r上的偶函数 并且f x 2 当2 x 3时 f x x 则f 105 5 解析 由已知 可得f x 4 f x 2 2 故函数的周期为4 所以f 105 5 f 4 27 2 5 f 2 5 f 2 5 因为2 5 2 3 由题意 得f 2 5 2 5 所以f 105 5 2 5 答案 2 5 加固训练 1 若f x 是r上周期为5的奇函数 且满足f 1 1 f 2 2 则f 3 f 4 等于 a 1b 1c 2d 2 解析 选a 由f x 是r上周期为5的奇函数知f 3 f 2 f 2 2 f 4 f 1 f 1 1 所以f 3 f 4 1 2 定义在r上的函数f x 满足f x 6 f x 当 3 x 1时 f x x 2 2 当 1 x 3时 f x x 则f 1 f 2 f 3 f 2015 等于 a 335b 336c 1678d 2012 解析 选b 因为f x 6 f x 所以f x 是以6为周期的函数 因为当 3 x 1时 f x x 2 2 当 1 x 3时 f x x 所以f 1 1 f 2 2 f 3 f 3 1 f 4 f 2 0 f 5 f 1 1 f 6 f 0 0 所以f 1 f 2 f 6 1 所以f 1 f 2 f 6 f 7 f 8 f 12 f 2005 f 2006 f 2010 1 所以f 1 f 2 f 2010 1 335 而f 2011 f 2012 f 2013 f 2014 f 2015 f 1 f 2 f 3 f 4 f 5 1 2 1 0 1 1 所以f 1 f 2 f 3 f 2015 335 1 336 3 定义在r上的偶函数f x 满足f x 2 f x 1对于x r恒成立 且f x 0 则f 119 解析 因为f x 2 所以f x 4 f x 2 2 f x 所以f x 为周期函数 且周期为4 又因为f x 为偶函数 所以f x f x 所以f 119 f 29 4 3 f 3 f 3 4 f 1 f 1 又因为f 1 2 所以f 1 f 1 1即f2 1 1 因为f x 0 所以f 1 1 所以f 119 1 答案 1 考点3函数奇偶性的应用知 考情函数的奇偶性 周期性以及单调性是函数的三大性质 在高考中常常将它们综合在一起命制试题 其中奇偶性多与单调性相结合 而周期性常与抽象函数相结合 并以结合奇偶性求函数值为主 多以选择题 填空题形式出现 明 角度命题角度1 已知函数的奇偶性求函数的值 典例3 2014 湖南高考 已知f x g x 分别是定义在r上的偶函数和奇函数 且f x g x x3 x2 1 则f 1 g 1 a 3b 1c 1d 3 解题提示 由奇函数和偶函数的定义 把x 1代入即可 规范解答 选c 把x 1代入已知 得f 1 g 1 1 所以f 1 g 1 1 命题角度2 奇函数 偶函数图象对称性的应用 典例4 2015 杭州模拟 已知定义在r上的奇函数f x 和偶函数g x 当x 0时 f x 当x 0时 g x 2x 则f x 和g x 图象的公共点在 a 第一象限b 第二象限c 第三象限d 第四象限 解题提示 根据奇函数 偶函数图象的对称性分别作出f x 与g x 的图象 数形结合求解 规范解答 选b 根据奇函数 偶函数图象的对称性分别作出f x 与g x 的图象如图所示 由图象知公共点在第二象限 命题角度3 已知函数的奇偶性 求参数 典例5 2014 湖南高考 若f x ln e3x 1 ax是偶函数 则a 解题提示 利用偶函数的定义求解 规范解答 方法一 由偶函数的定义得f x f x 即ln e 3x 1 ax ln e3x 1 ax 3x 2ax a 方法二 因为函数f x 为偶函数 所以f 1 f 1 即ln e3 1 a ln e 3 1 a 即2a lne 3 3 所以a 答案 悟 技法函数奇偶性的问题类型及解题思路 1 已知函数的奇偶性 求函数值 将待求值利用奇偶性转化为已知区间上的函数值求解 2 已知函数的奇偶性 求函数解析式中参数的值 常常利用待定系数法 利用f x f x 0得到关于待求参数的恒等式 由系数的对等性得参数的值或方程求解 3 应用奇偶性画图象和判断单调性 利用奇偶性可画出另一对称区间上的图象及判断另一对称区间上的单调性 通 一类1 2015 福州模拟 已知f x 是奇函数 g x 是偶函数 且f 1 g 1 2 f 1 g 1 4 则g 1 等于 a 4b 3c 2d 1 解析 选b 由已知条件变形得解得g 1 3 2 2015 西安模拟 设f x 是奇函数且在原点处有定义 则使f x 0的x的取值范围是 a 1 0 b 0 1 c 0 d 0 1 解析 选a 因为函数f x 为奇函数 且在x 0处有定义 故f 0 0 即lg 2 a 0 所以a 1 故函数f x 令f x 0 得0 1 解得 1 x 0 即x 1 0 3 2015 烟台模拟 已知函数f x 是定义在r上的偶函数 且对任意的x r 都有f x 2 f x 当0 x 1时 f x x2 若直线y x a与函数y f x 的图象在 0 2 内恰有两个不同的公共点 则实数a的值是 a 0b 0或 c 或 d 0或 解析 选d 因为f x 2 f x 所以f x 的周期为2 又0 x 1时 f x x2 可画出函数y f x 在一个周期内的图象如图 显然a 0时 y x与y f x 在 0 2 内恰有两个不同的公共点 另当直线y x a与y x2 0 x 1 相切时也恰有两个不同公共点 由题意知y x2 2x 1 所以x