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莱城区2010年初中数学“思维方法训练”优秀教学征集评选论文_“一题之多”给学生插上数学思维的翅膀王桂芹莱城区大王庄中学06346541234 “一题之多”给学生插上数学思维的翅膀关键词：一题多解、一题多变、训练思维、变化教学、数学思维学习数学，离不开思维。数和形的种种内在联系和相互关系，特别是它们的本质属性和科学规律，仅仅依靠感觉、知觉或表象是难以认识的，只有通过思维才能深刻理解，牢固掌握。正如列宁所指出的：“表象不能把握整个运动，例如它不能把握每秒钟三十万公里的运动，而思维则能够把握而且应当把握”。在一定意义上来说，学好数学的关键，在于依靠学习者的思维能力。学习者思维能力的提高是在解决问题中自然提升的，而解决问题的钥匙应该是一题多解与一题多变，一题多解。在数学中的一题多解教学定能优化思维品质，推动探索创新，使知识融会贯通有利于提高学生的创造性。教学中应该精讲多练，质疑辩论，师生共探。一题多变的教学有利于提高学生的创造性及运用数学知识去分析实际问题的能力，有利于激发学生的创造性及运用数学知识去解决实际问题的能力，下面笔者从一题多变、一题多解、多题一法三个方面浅谈数学思维提升的有效方法。一、一题多变 所谓一题多变，是指两方面的情况。一方面是条件不变，还可以推出哪些结论，这些结论之间有什么联系。另一方面，条件改变，原结论还成不成立，能推出怎样的新结论，推导的途径又与原来的方法有什么不同。在习题课与复习课的教学中，可以适当地选择有关一题多变的题，沟通知识之间的联系，指给学生考虑问题的方法。提高学生分析与演绎能力，以及勇于探索知识的能力。 变换条件，促进学生主体探索。在例题教学和习题讲解时，不宜就题论题,而应该启发引导学生将思路延续下去，列出同类问题的不同解决办法，从题目的各个方面联想，类比，通过条件复式，变换条件：引入新问题，促进学生主体探索。 例1,已知点P是一次函数y=-x+6在第一象限的图像上的点,又点A的坐标为(4,0),问点P能否成为等腰三角形AOP的一个顶点,若能,求P的坐标。 分析:由于并未指明等腰三角形的哪条边为底,哪条边为腰,故应引导学生分情况进行探讨(|PO|=|PA|,|PO|=|OA|,|PA|=|OA|,解略)。 解决问题后,可以进一步提问学生:若条件不变,要使AOP为等腰直角三角形的点P是否存在?成为等边三角形呢?这样层层深入,让学生自己去探讨结果,研究其规律,引起学生浓厚的兴趣,自问自答,自己提出问题自己探索,其收获决非简单“改改题”这么单纯。由于学生自己出题,自己解答,长此以往能使学生养成多问多思的主动探索习惯,大大提高学生自己提问,解题的能力。 例2,顺次连接任意四边形四边中点得一个四边形，这个新四边形的形状有什么特征？请证明你的结论。学生分析证明后可进一步提问;依次连接菱形各边中点，能得到一个什么图形？依次连接矩形各边中点，能得到一个什么图形？依次连接正方形各边中点，能得到一个什么图形？依次连接对角线相等且垂直的四边形各边中点，能得到一个什么图形？开放型题目的引入，可以引导学生从不同角度来思考，不仅仅思考条件本身，而且要思考条件之间的关系。要根据条件运用各种综合变换手段来处理信息、探索结论，有利于思维起点灵活性的培养，也有利于孜孜不倦的钻研精神和创造力的培养。二、一题多解 一题多解主要指根据实际情况，从不同角度启发诱导学生得到新的解题思路和解题方法，沟通解与解之间的内在联系，选出最佳解题方案，从而训练思维的灵活性。例3. 鸡兔同笼问题一个笼子里有若干只鸡和兔子，它们共有50个头和140条腿，问笼中鸡和兔子各有多少只？解：方法一：试探法，列出鸡、兔腿的对应数值表，再根据变化情况找出鸡、兔的只数：鸡 兔 腿 50 0 100 0 50 200 25 25 150从第三步，我们可以看出鸡的只数应该增加，兔的只数应该减少，再逐步试探下去，最终可得到答案，鸡30只，兔20只。此方法显然繁琐，而且数目越大就越难计算。方法二：用代数方法，设鸡的只数为X，兔的只数为Y，由题意可得以下方程组：X Y502X 4Y140解方程组可得 X 30 Y 20方法三：我们设想每只鸡用一条腿站着，每只兔子用两条腿站着，这样共有70条腿，而70 这个数中，鸡的只数只算了一次，兔子的只数算了两次，故705020 就是兔子的只数，所以鸡的只数为502030。这个解法简便而独特，具有创优机智。实际上它还有普遍的意义，解应用题所用的假定法就是由此发展而得来的。虽然这里也是一题多解的形式，但是这里主要是强调解法的质,即解法应有普遍意义或者独创的价值;而发散机智主要是强调解法的量,要在一定的时间内越多越好.其次，在数学教学中,独创性是相对而言,针对学生的知识水平，其解法具有创造性，具有新发现就可以认为是独创的,不能以当代先进科学水平来做标准。三、多题一法P(m,n)Aoyx所谓多题一法，是将习题分类，同一类型的题有共同的解题技巧和方法，也就是说，同一类型题虽然从表面上看，提法、条件结论都不同，但其解法思路和主要步骤大致相同，我们把这样一类题归并在一起讲解和组织学生练习，达到提高学生综合与归纳能力，并使知识系统化。 例4 面积不变性（1）三角形的面积为s=P(m,n)AoyxB（2）矩形的面积为s=（3）三角形的面积为s=P(m,n)AoyxP/在实际教学中，教师多变的教法常常影响到学生的学法。灵活多变的教学方法对学生思维灵活性的培养起着潜移默化的作用，而富有新意的学法指导能及时为学生注人灵活思维的活力。总之一题多解，一题多变与多题一法