活用解题理论打造高效课堂_基于_怎样解题表_理论指导下的一节习题课.pdf

高中版高中版 2014 年 4 月 数坛 在线 教育纵横 著名数学教育家波利亚说过 掌握数学意味着解 题 并在他风靡世界的 怎样解题 一书里 详细地列出 了一张 怎样解题表 恰是一部 启发法小词典 从思 维的角度向我们展示了数学解题活动的四个步骤 第 一 你必须弄清问题 第二 找出已知数与未知数之间的 联系 第三 实行你的计划 第四 验算所得到的解 波利 亚的解题理论为我们指导学生解题提供了程序化的思 维方向 对当前构建高效课堂的解题教学有着很现实的 指导意义 前不久 在我区骨干教师展示课上 笔者以 怎样解题表 为指导 上了一节示范课 收到了很好的 教学效果 下面把教学过程摘录如下 并附上笔者的反 思 希望能对大家的解题教学有所启示 题目 2011年全国高中数学联赛填空题第2题 函数 y x2 1 姨 x 1 的值域是 一 展示教学过程 展现思维过程是波利亚的 怎样解题表 的重要形 式 在本节课堂教学中 笔者努力遵循 解题表 的基本 思维格式 与学生一起展开对问题的探究 1 弄清问题与回顾知识 实践波利亚的解题表 第一步必须弄清我们现在面 临的问题 并由此引导学生展开锁定目标的思维讨论 教师指导学生迅速读懂题目给出的信息 并针对相关知 识展开思维联想 是实现课堂高效的有力措施 老师 这是一个什么问题 学生 众 这是一个代数问题 是一个求函数值域 问题 老师 题目中的条件是什么 学生 众 题目的条件有两个 给出了函数的解析 式 自变量的取值范围是x 1 老师 我们要做什么 学生 众 求函数的值域 即是求y的取值范围 老师 回想一下 我们求函数的值域有哪些基本方 法 学生 众 配方法 分离常数法 判别式法 导数法 构造法 不等式法等 老师 你们说出的这些方法都有各自的特点 我们 的解题思维就是需要根据函数表达式的特征灵活地选择 其中的解题方法 2 拟定计划与实现计划 遵照波利亚的解题理论 解答一个问题 关键是理 顺我们的解题思维 即首先理解题目的条件 然后分析 数式的结构特点或几何图形的形状特征 结合自己的解 题经验 拟定解题的思维方向 我们的解题思维开始了从拟定解题计划到实现解 题计划的历程 拟定计划1 老师 你以前见过它吗 你是否见过相同的问题而 形式稍有不同 学生1 我们以前做过求函数的值域问题 但本题的 函数表达式与我们做过的函数形式有一定差异 特别是 分子是根式 如果把分母拿进根号可消除解题障碍 对 于分式型函数 我们常把分母看成一个整体 用分离常 数法进行化简 将问题转化为常见的二次函数 双钩函 数等来解决 实现计划1 学生1 令x 1 t t 0 则x 1 t g t t2 2t 2 姨 t 当t 0时 g t 2 t2 2 t 1 姨 1 当t 0时 g t 2 t2 2 t 1 姨 2 1 t 1 2 2 1 2 姨 2 姨 2 所以函数的值域为 2 姨 2 22 1 拟定计划2 老师 函数的表达式中带有根号 且根号里面的式 子为x2 1 你由此能联想到与之相似的式子吗 学生2 联想到三角中的平方关系 不妨通过三角换 元可去掉根号 将问题转化为三角函数来解决 问题可 能会变得简单 活用解题理论打造高效课堂 基于 怎样解题表 理论指导下的一节习题课 筅湖北省武汉市黄陂区第一中学盘龙校区李红春 筅湖 北 省 武 汉 市 黄 陂 区 第 一 中 学翁华木 44 高中版高中版 2014 年 4 月 数坛 在线 教育纵横 实现计划2 学生2 设x tan 2 2 且 4 则g 1 cos tan 1 1 sin cos 1 2 姨 sin 4 22 设u 2 姨 sin 4 22 则 2 姨 u 1且u 0 故函数的值域为 2 姨 2 2 1 拟定计划3 老师 求解函数的值域还有其他的方法吗 可否先 研究函数的性质呢 学生3 借助导数 先判断出函数的单调性 再利用 单调性求解 是通法 值得尝试 实现计划3 学生3 对f x 求导 得 f x 1 2x2 1 姨 2x x 1 x2 1 姨 x 1 2 x 2 x x2 1 x 1 2 x2 1 姨 x 1 x 1 2 x2 1 姨 如图1 当x 1时 函数f x 为增函数 y 5 4 3 2 1 12345 5 4 3 2 1O 1 2 3 4 5 图 1 x 当 1 x 1和x 1时 函数f x 为减函数 所以函数f x 在x 1时取极大值f 1 2 姨 2 当x 1 时 f x 当x 1 时 f x 当x 时 f x 1 故函数的值域为 2 姨 2 2 1 拟定计划4 教师 数形结合 的思想是数学中重要的思想方法 之一 以形助数 更是极为重要的策略 我们能否挖掘 式子的几何意义 从形的方面去寻找解决问题的突破口 呢 实现计划4 学生4 设y x2 1 姨 x 1 即y x2 1 姨 0 x 1 于是 y可以看成点P x x2 1 姨 与点 1 0 连线的 斜率 而点P在双曲线y2 x2 1的上半支上 则问题转化为 求过点 1 0 且与双曲线的上半支有交点的直线的斜率 的取值范围 当y 0时 由图2可以直观看出斜率的取值范围为 1 Q P P 8 6 4 2 10 5510 2 4 6 图 2 O x y 又 y2 1 x2 2y2x y2 1 0 由 4y4 4 y2 1 2 8y2 4 0 解得y 2 姨 2 正值舍去 显然 斜率的取值范围为 2 姨 2 2 故函数的值域为 2 姨 2 2 1 学生5 设g x x 1 x2 1 姨 则 g x x 1 2 1 姨 由点到直线的距离公式可知 g x 表示平面内 的定点M 1 0 到直线l x X y Y 1 0的距离 当x 1时 g x g x 直线l的斜率为负 由 图 3 分 析 可 知 0 g x OM 1 即g x 0 1 故f x 1 当x 1时 g x g x 直线l MN时 g x max 2 姨 分析知0 g x 2 姨 即g x 2 姨 0 故f x 2 姨 2 2 综上可知 函数的值域为 2 姨 2 2 1 学生6 设a x 1 b 1 1 a b 由图形分析 可知 4 2 根据向量的夹角公式得cos x 1 x2 1 姨 2 姨 即 x 1 x2 1姨 2 姨cos 2 姨 1 故f x x2 1 姨 x 1 的值域为 2 姨 2 2 1 N M x O l y 图 3 45 高中版高中版 2014 年 4 月 数坛 在线 教育纵横 拟定计划5 老师 函数与方程有着紧密的联系 你能否对此提 出你的思考 学生7 以前我们经常将分式函数值域问题转化为 一元二次方程有解的问题 用判别式法解决 本题平方 后未知数的次数正好是二次 我觉得可以试一试 实现计划5 学生7 f x x2 1 姨 x 1 等价于 y x 1 x2 1 姨 x 1 y x 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 第一个式子两边平方整理得 y2 1 x2 2y2x y2 1 0 若y2 1 则x 0 此时y 1成立 若y 1 则 0 即4y4 4 y2 1 2 0 得y 2 姨 2 或y 2 姨 2 检验 当x 1时 y 0 当x 1时 y 1 所以函数的值域为 2 姨 2 22 1 拟定计划6 老师 不等式也是求函数值域问题的一种重要方 法 你能考虑用不等式知识来求这个函数的值域吗 学生8 我想尝试先将函数表达式进行变形 然后看 能否使用基本不等式 柯西不等式 实现计划6 学生8 当x 1时 f x x2 1 姨 x 1 x2 1 x 1 2 姨 1 2x x2 2x 1 姨 1 2 x 1 x 2 姨 因为x 1 由均值不等式得x 1 x 2 x 1 x 2 0 故 f x 1 当x 1时 f x x2 1 姨 x 1 x2 1 姨 1 x x2 1 1 x 2 姨 由柯西不等式知 x2 1 1 x 2 姨 x2 1 12 1 2 12 x2 姨 2 姨 2 当且仅当 1 1 1 x 即 x 1时取等号 此时f x 2 姨 2 综上可知 函数的值域为 2 姨 2 22 1 新课标明确提出了使学生获得数学的基础知识 基 本技能 基本思想 基本活动经验的目标要求 从这里我 们看到 不同的解题经验影响着学生的不同解题思维 因此得出了不同的解题方案和不同的解题方法 学生的 解题能力潜在着极大的动力 关键是我们的教师要掌握 打开学生解题思维大门的金钥匙 唯有这样才能实现真 正意义上的高效课堂 3 解题回顾与解题感受 一个数学问题的解决 并不等于这个问题思维活动 的结束 而是对这个问题进行深入研究的开始 问题求 解之后 笔者及时引导学生回顾解题的思维过程 总结 解题经验 让学生通过对自己思维过程的再验证 再认 识 使学生对问题求解的方法从感性认识上升到理性认 识 以此提升学生的思维水平 老师 以上各种方案从不同的角度审视题目的条 件 从不同的角度将问题加以转化 6种方案涵盖了8种 方法 各有千秋 同学们看后有何感想呢 学生9 学生1 学生2 学生3的解法都是常规方法 我们比较容易想到 是通法 学生10 学生4从形的角度挖掘问题 分别构造直线 的斜率 点到直线的距离 向量的夹角模型求解 以形助 数 解法巧妙 尤其是学生6的解法 真是简捷至极 这些 方法要求我们要有丰富的想象能力和灵活的构造能力 学生11 学生7是将函数转化为方程 但要特别注意 变形前后的限制范围 否则问题可能不等价 因此学习 过程中我们必须养成细心谨慎的习惯 学生12 学生8将基本不等式和柯西不等式运用的 恰到好处 让人不可思议 我们很多人都没想到 看来不 等式我们今后要加强学习 学生13 以上各种解法虽然视角不同 处理方法各 异 但给我们一个共同的启示 解决数学问题的关键是 转化 将陌生的问题转化为熟悉的问题 将复杂的问题 转化为若干基本的问题 二 反思教学感悟 解题是数学的永恒主题 数学的解题历程是一份富 有挑战性的活动 每一次的解题思维过程的教学都会给 我们留下深刻的解题体验和教学感悟 1 解题教学要充分挖掘试题的内在价值 问题是课堂活动的载体 是教学实现成功的开始 解题教学主要是围绕某个数学问题展开的 波利亚说 一个专心的 认真备课的教师能够拿出一个有意义的 但又不复杂的题目 去帮助学生挖掘问题的各个方面 使得通过这道题 就好像通过一道门户 把学生引入一 个完整的理论领域 因此选好问题对复习课堂尤为重 要 本题是一道函数值域问题 形式上看似平淡无奇 但 教师充分挖掘了其中蕴藏的数学教学价值 并通过师生 共同探究的求解过程 既巩固了高中数学中函数 不等 式 三角 向量 导数等诸多主干知识 又渗透了函数与 46 高中版高中版 2014 年 4 月 数坛 在线 教育纵横 方程 数形结合 等价转化与化归 分类讨论与整体等数 学思想方法 使学生的思维在灵活性 广阔性 深刻性 创新性等方面得到了充分的锻炼 2 解题教学要有效实现课堂的教学高效 数学是思维型学科 数学教学是一个既要 结果 更要 过程 的思维教学 讲解题 不讲怎样解题 讲 解法 不讲如何想到解法 最后沦落为 解法若干加技 巧若干 的灌输式教学模式 只会给学生加重学习负担 禁锢学生的思维形成与发展 本节课我们依照波利亚的 解题理论 引导学生主动从拟定解题方案开始 到独立 寻找问题的解答 充分放手让学生独立思考 自主实践 既充分调动学生学习的积极性 又给予了学生集思广 益 互相学习的机会 实现了高效课堂的构建模式 3 解题教学要积极促进学生的情感体验 波利亚说 数学问题的解决仅仅只是一半 而重要 的是解题后的回顾与反思 我们解题教学的目的就是 要让学生学会思考 学会选择 本节课中 通过师生一同 探索多种解题方法 让学生学会依据题目的结构特点 合理地选择方案 有效地选取方法 体验出各种解法的 优劣 形成了思维优化的解题经验 另外 在总结和评价 中 学生亲身体会到各种解法需要的潜在数学能力和数 学素养 在各种方法的比较中 更加真切体会到自身的 不足和如何合作学习 进而明确了今后在数学学习中的 努力方向 参考文献 1 波利亚 怎样解题 M 阎育苏 译 北京 科学出版 社 1982 2 陈光建 郑日锋 一花一世界 一题一天地 J 中小 学数学 高中 2013 4 3 李红春 平中见奇 凡而不俗 J 中学数学 上 2012 4 FH 三 活学活用 方显本质 例3证明 函数f x sinx x 在区间 0 2 上单调递 减 证明 f x cosx x sinx x2 设g x cosx x sinx g x cosx x sinx cosx tanx sinx 0 即f x 0 命 题得证 训练3 证明 cos222 4cos223 4 证明 经变形即证明cos222 4sin223 即证明cos22 2sin23 即cos22 2 姨 cos22 sin22 即证明tan22 1 2 姨 2 根据定理可知tan22 tan20 9 1 3 1 2 姨 2 经典模拟试题 已知 是锐角三角形的三个内 角 且满足cos sin cos cos sin 试比较 的大小 解析 利用反证法 假设 则cos cos 且cos cos 0 2 则 cos cos sin cos 即 与假设矛盾 则假设不成 立 则 假设 则