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几何大地测量 确定地球的形状和大小与地面点的位置 第一章绪论1 1控制测量的任务及其基本内容 现代大地测量 几何大地测量物理大地测量空间大地测量GPS 1 1 1控制测量的任务 控制测量是研究精确测定地面点空间位置的学科 X Y HL B H 控制测量的服务对象主要是各种工程建设 城镇建设和土地规划与管理工作 测量范围比大地测量小 测量手段多样化 工程建设大体可分为设计 施工 运营3个阶段 设计阶段 测图控制网施工阶段 施工控制网运营阶段 变形观测专用控制网 1 1 2控制测量的基本内容 1 研究建立工程和国家水平控制网和精密水准网的原理和方法2 精密测量仪器的使用3 测量成果向椭球面及平面的转换计算4 各种网型的平差计算 1 2控制测量的基准面和基准线1 2 1铅垂线与大地水准面 引力 离心力重力 图1 2 引力 测量外业的基准面 大地水准面基准线 铅垂线 1 2 2参考椭球与总地球椭球大地水准面是个物理面 不是数学面 参考椭球 形状和大小与本国或本地区的大地体相近并且两者的相对位置确定的两极略扁的旋转椭球测量计算的基准面 总地球椭球 1 2 3垂线偏差与大地水准面差距 1 3控制测量的现状与发展1 空间测量技术给控制测量学注入了新的活力2 信息时代的控制测量仪器和测量系统已形成数字化 智能化和集成化 空间测量和地面测量仪器和测量系统出现互补共荣 3 控制网优化设计理论和应用得到长足发展 测量数据处理和分析理论取得许多新成果 4 电子计算机促进控制测量工作旧貌换新颜 第2章水平控制网的技术设计 2 1国家水平控制网建立的原理2 1 1建立国家水平大地控制网的方法1 常规大地测量法1 三角测量法网形 起算数据和推算元素 2 导线测量法3 边角网和三边网2天文测量法3现代定位新技术 2 1 2国家水面控制网的布设原则 1 分级布网 逐级控制 2 应有足够的精度 3 应有足够密度4 应有统一的规格 2 1 3国家水面控制网的布设方案 1 一等三角锁 骨干 沿经纬线布设 起算边 拉普拉斯方位角 锁长 平均边长 三角形个数 测角中误差 2 二等三角锁 网 全面基础 3 三 四等三角网 插网 插点 2 2工程水面控制网的布设原则和方案 2 2 1工程测量水平控制网的分类1 测图控制网2 施工控制网3 变形观测专用控制网2 2 2布网原则1 分级布网 逐级控制2 应有足够的精度3 应有足够密度4 应有统一的规格2 2 3工程测量水平控制网的特点1 各等级三角网平均边长短于同等级国家网平均边长2 三角网的等级较多3 各等级控制网均可作为测区的首级控制4 三四等三角网起算边相对中误差 按首级网和加密网分别对待 2 2 4专用控制网的布设特点 2 4导线网的精度估算2 4 1等边直伸导线的精度分析一组符号 u 点位的横向中误差t 点位的纵向中误差M 点位中误差D 端点下标Z 中点下标Q 起算数据误差影响的下标C 测量误差影响的下标1 附合导线经角度闭合差分配后的端点中误差 对于附合导线 由于角度经过配赋坐标方位角闭合差 角度的精度提高了 因此角度误差引起的导线的横向中误差也会减少 由于测边误差引起的导线端点纵向中误差 再考虑系统误差 的影响 导线端点D由于测量误差C引起的纵向中误差 2 附合导线平差后的各边方位角中误差 下面仅就等边直伸导线的情况进行推算 2 45 分析式 2 45 表2 7图2 18 得出四点结论 见教材45页 3 附合 等边直伸 导线平差后中点的纵向中误差 再考虑系统误差 得导线中点因测量误差产生的中误差 4 附合 等边直伸 导线平差后中点的横向中误差 5 起算数据误差对附合导线平差后中点点位的影响AB边长的误差对导线中点纵向误差产生的影响 起始方位角误差对导线中点引起的横向误差 附合导线平差后中点的点位中误差 6 附合导线端点纵横向中误差与中点纵横向中误差比例关系 2 5工程测量水平控制网技术设计书的编制1 搜集和分析资料1 测区内各种比例尺的地形图2 已有的控制测量成果3 测区自然地质情况4 已有控制点的保存情况5 调查测区行政区划分 交通和物资供应情况2 网的图上设计从以下几方面考虑1 技术指标方面2 经济指标方面3 安全方面方面4 图上设计的方法步骤 1 展绘已知点 2 按要求从已知点扩展 3 判断点间通视 4 精度估算 5 拟定水准联测路线 6 根据设计成果 写出文字说明 并拟定作业计划 3 编写技术设计书1 作业的目的及任务范围2 测区的自然 地理条件3 测区已有测量成果 标志保存情况 已有成果的精度分析4 布网依据的规范 最佳方案的论证5 现场踏勘报告6 各种设计图表7 主管部门的审批意见2 6选点 建标和埋石2 6 1选点将图上设计的点位落实到实地 选点时使用的工具选点任务完成后 应提供下列资料 选点图点之记三角点一览表2 6 2觇标高的确定 1 影响通视的因素球气差的影响 V p r 0 42 s2 R视线需高出障碍物的距离a 2 确定觇标高度的方法 如图2 21连结AB确定障碍物C点的高程并计算相对AB点的高差 具体计算方法见图2 22 图2 21 2 6 3觇标的建造1 测量觇标的构成与类型1 测量觇标的构成2 测量觇标的类型外业观测最有利时间2 微相位差照准圆筒3 觇标的建造2 6 4中心种新标石的埋设 第3章精密测角仪器和水平角观测3 1精密测角仪器的结构特点 1 类型 精密光学经纬仪 精密电子经纬仪 我国精密光学经纬仪系列标准有DJ07 DJ1 T3 DJ2 T2 2 特点 精密光学经纬仪 1 角度标准设备2 目标照准设备3 设有强制归心机构4 制造材料可靠 3 2结合J2经纬仪实物讲解其构造 各部件的使用及注意事项 3 3光学经纬仪读数度盘构造 测微器构造J2光学经纬仪对径读数的规则 旋进测微手轮 使度盘正倒像分划线精确重合 1读度 找具备下列三个条件的分划线 正倒像相差180度 正像在左 倒像在右 正倒像的对径 度 分划相距最近 以正像的 度 分划线为准读度数 2读十位分数 将正倒像相应的分划线间所夹的格数乘以度盘分划值的一半 J2为10分 就是十位分数 3在测微器 盘 读取个位的分数及秒数 174 03 02 7 42 57 39 0 T2285 51 55 0 94 22 44 0 3 3精密测角的误差影响 重点 影响精密测角的误差来源 精密测角的一般原则难点 水平角观测中消除或减弱误差影响的措施外业观测误差来源三方面 1 外界条件的影响2 仪器误差的影响3 观测者观测误差的影响一 外界条件的影响 一 大气的影响1 密度的变化对目标成像稳定性的影响2 大气透明度对目标成像的影响 二 水平折光的影响1产生的原因 水平方向大气密度不同 见图3 20 为微分折光 图3 20 2温度与大气密度的关系见图3 21 图3 42 见图3 21 3观测时间 地物地貌对水平折光的影响见图3 22 见图3 23 图3 22 图3 23 4消除及减弱的措施a选点时要充分考虑产生水平折光的因素b选择最有利的观测时间c将整个观测工作分配在几个不同的时间段内进行 三 照准目标的相位差1 产生的原因2 消除或减弱误差影响的措施a上下午各观测半数测回B采用微相位照准圆筒 四 温度变化对视准轴的影响1 产生的原因2 消除或减弱误差影响的措施按时间对称排列的观测程序 五 外界条件对觇标内架稳定性的影响1 产生的原因2 消除或减弱误差影响的措施按时间对称排列的观测程序 二 仪器误差的影响1 水平度盘位移的影响2 照准部旋转不正确误差3 照准部水平微动螺旋作用不正确的影响4 垂直微动螺旋作用不正确的影响三 照准和读数误差的影响四 精密测角的一般原则 教材p98 1 观测应在目标或成像清晰 稳定的有利于观测的时间进行 2 观测前应认真调好焦距 消除视差 在一测回的观测过程中不得重新调焦 3 各测回的起始方向应均匀地分配在水平度盘和测微分划尺的不同位置上 4 在上 下半测回之间倒转望远镜 5 上 下半测回照准目标的次序应相反 并使观测每一目标的操作时间大致相同 6 要求每半测回开始观测前 照准部按规定的转动方向先预转1 2周 7 使用照准部微动螺旋和测微螺旋时 其最后旋转方向均应为旋进 8 为了减弱垂直轴倾斜误差的影响 观测过程中应保持照准部水准器气泡居中 3 4 水平角观测 方向观测法 重点内容 按水平角观测的一般原则 利用方向观测法进行观测 记录 计算 难点内容 重测和取舍观测成果的确定一 适用的场合方向法适用于观测两个以上的方向 当方向多于3个时 每半个测回都从一个选定的起始方向观测 在依次观测所需的各个目标后 应再次观测起始方向称为全圆观测法 二 方向观测法一测回观测方法步骤 1 以O点设站 盘左位置顺时针旋转照准部1 2周 按要求瞄准起始方向A 配置度盘 对径分划先后重合两次读取两次水平度盘读数并记录 2 顺时针转动照准部 按要求依次瞄准B C D各点 不准调焦 分别按1的方法读取数据并记录 3 顺时针方向再次瞄准目标A 读取读数并记录 此次称为上半测回归零 4 纵转望远镜成盘右位置 逆时针旋转照准部1 2周 按要求逆时针方向分别瞄准A D C B 读取数据并记录 最后再按逆时针方向回到起始点A 读数并记录数据 此次称为下半测回归零 A B C D 1 0 000 22 5619 17 12416 30 24446 31 000 23 18000 18 6446 24 30416 22 23619 09 18000 18 4 8 8 7 5 20 5 27 5 26 0 13 0 20 0 2444607 3 1241605 8 561852 8 00000 0 三 起始方向的确定四 测回数的确定J2仪器为例 三等12测回 四等9测回五 度盘配置为了减弱度盘和测微盘分划误差影响 应在开始观测前编出观测度盘表 零方向各测回度盘位置按下式计算 J1型仪器 J2型仪器 式中m 测回数 j 测回序号 j 1 2 3 m 度盘配置表 六 方向法记录与计算 七 测站限差以J2仪器为例 两次重合读数差3秒 半测回归零差8秒 一测回2c互差13秒 测回互差9秒 八 重测和取舍观测成果应遵循的原则是 1 重测一般应在基本测回 即规定的全部测回 完成以后进行 2 因对错度盘 测错方向 碰动仪器 气泡偏离过大 上半测回归零差超限以及其他原因未测完的测回可以立即重测 不计重测方向数 3 一测回中2c互差超限或化归同一起始方向后 同一方向值各测回互差超限时 应重测超限方向并联测零方向 起始方向的度盘位置与原测回相同 因测回互差超限重测时 除明显值外 原则上应重测观测结果中最大值和最小值的测回 4 一测回中超限的方向数大于测站上方向总数的1 3时 包括观测3个方向时 有一个方向重测 应重测整个测回 重测的测回数为超限的方向数 5 若零方向的2c互差超限或下半测回的归零差超限 应重测整个测回 重测的测回数为n 1 6 在一个测站上重测的方向测回数超过测站上方向测回总数的1 3时 需要重测全部测回 测站上方向测回总数 n 1 m 式中m为基本测回数 n为测站上的观测方向总数 重测方向测回数的计算方法是 在基本测回观测结果中 重测一个方向 算作一个重测方向测回 一个测回中有2个方向重测 算作2个重测方向测回 因零方向超限而全测回重测 算作 n 1 个重测方向测回 练习题 水平角观测时出现下列各种情况 问如何处理 重测方向测数是多少 若基本测回数9测回 测站上方向测回总数是多少 共5个方向 1 测了三个方向时碰动了仪器 2 上半测回归零差超限 3 有一个方向2C互差超限 4 下半测回归零差超限 5 零方向2C互差超限 九 测站平差1 各方向平差值计算设A B C N表示各方向平差值 a b c n表示各测回观测方向值 2 测站观测精度的评定 一测回方向观测中误差 m测回方向值中数的中误差 3 5分组方向观测法 分组的原因 方向数多 多于6个时 成像受影响 观测时间长 从精度方面考虑 分组的原则 成像清晰度大致相同方向分为一组 方向数大致相同 两组都要联测两个共同的方向 其中 最好 有一个共同的零 起始 方向 3 5 1联测角的限差设两组观测时两个共同方向以i j表示 第一组联测角值 第二组联测角值 两组联测角的差为 如果 和 的测角中误差分别为 如果 j i 3 5 2分组观测的测站平差 第一组联测方向的方向值为 第二组联测方向的方向值为 相应的改正数为 相应的改正数为 条件式 法方程式并解之 则改正数为联测方向的平差值为 例1 例2 3 5 3联测两个高等 固定 方向时的测站平差 条件式 法方程并解之 改正数 联测方向平差值 例3 例4 3 6偏心观测与归心改正 三心 标石中心B 仪器中心Y 照准点中心T 3 6 1测站点归心改正 1几个名词测站偏心 仪器中心Y偏离标石中心B 测站归心改正 把测站偏心时观测的方向值 归算为以标石中心为准的方向值 测站归心改正数c 测站偏心距 测站偏心角 测站偏心元素 2公式 3 6 2照准点归心改正 1几个名词照准点偏心 照准点中心T1偏离标石中心B1照准点归心改正 把照准点偏心时测得的方向值 归算为以标石中心为准的方向值 照准点归心改正数r1 照准点偏心距 照准点偏心角 照准点偏心元素 2公式 3 6 3一测站同时受到两种偏心的影响 3 6 4归心元素的测定方法 1 图解法2 直接法3 解析法 第五章高程控制测量 5 1国家高程基准 5 1 1高程基准面 通常采用大地水准面作为高程基准面大地水准面 验潮站 浙江 坎门 吴淞口 青岛 大连1956年黄海高程系统 1985年国家高程基准 5 1 2水准原点 青岛观象山 1956年黄海高程系统 水准原点的高程值72 289m1985年国家高程基准 水准原点的高程值72 2604m两系统相差 0 0286m 5 2高程控制网的布设 5 2 1国家高程控制网的布设原则 由高级到低级 从整体到局逐级控制 逐级加密 水准测量应达到足够的精度 一等水准网应定期复测 一二三四等 我国国家水准网布设情况 分三期 1976年以前完成 以1956年黄海高程系统为基准 1976年至1990年完成 以1985年国家高程基准为基准的一二等网 1990年后进行的国家一等水准网的复测和局部地区二等水准 国家一等水准网共布设289条路线 总长度93360km 全网有100个闭合环和5条单独路线 共埋设固定水准标石2万多座 国家二等水准网共布设1139条路线 总长度136368km 全网有822个闭合环和101条附合路线和支线 共埋设固定水准标石33000多座 国家一二等水准网分等级平差 一等水准网先将大陆的进行平差 再求海南岛的结果 二等是以一等水准环为控制进行平差计算的 一等水准网每隔15 20年复测一次 三四等水准 加密 布设成附合路线 并尽可能互相交叉 构成闭合环 5 2 2城市和工程建设高程控制网分二三四等3个等级 首级高程控制网 一般要求设成闭合环 加密时可布设成附合路线和结点图形当测区较大可首先在 或 地形图上设计 应遵循下列原则 水准路线应尽量沿坡度小的道路布设 减少旁折光 距高压线有一定的距离 米 便于进一步加密 尽量布设成环形网或结点网 应与国家水准网联测 注意测区已有水准测量成果的应用 5 4精密水准仪与水准尺 5 4 1精密水准仪的构造特点 1高质量的望远镜光学系统40倍 50mm2坚固稳定的仪器结构3高精度的测微装置直读0 1mm 估读0 01mm4高灵敏的管水准器5高性能的补偿装置 5 4 精密水准尺的构造特点 一般采用因瓦合金带 变形小 分划十分正确与精密 偶然与系统误差小 应不宜变形 装有原水准器 颜色与刻划有利于观测与照准 观测读数 5 6精密水准测量的主要误差来源及其影响 水准测量误差一般可分 1仪器误差 2外界因素 3观测误差 5 6 1视准轴与水准轴不平行的误差 1i角的误差影响 与视距成正比 一个测站的影响 一个测段的影响 视距差的规定 视距累积差的规定设i 15 s 0 1mm 2 角误差的影响 3温度变化对i角的影响 在观测的较短时间内 由于受温度的影响 i角与时间成比例地均匀变化 采用观测方法 奇数站 后 基 前 基 前 辅 后 辅 偶数站 前 基 后 基 后 辅 前 辅 5 6 2水准标尺长度误差的影响1水准标尺每米长度误差的影响f水准标尺每米间隔平均真长误差 对一个测站高差应加的改正数 对一个测段高差应加的改正数 2两水准标尺零点差的影响 a标尺零点差为 a b标尺零点差为 b 减弱与消除措施 偶数站 5 6 3仪器和水准标尺 尺台或尺桩 垂直位移的影响 1仪器下沉 设为奇数站 后 基 a1 前 基 b1 前 辅 b2 后 辅 a2 基面求得高差 辅面求得高差 高差平均 如果仪器下沉 或上升 与时间成正比则 2水准标尺 尺台或尺桩 下沉 往测 返测 往返平均高差 进行往返测 高差取平均后水准标尺 尺台或尺桩 下沉的误差影响可大大减少 往返测尽可能路线相同 5 9正常水准面的不平行性及其改正数的计算 5 9 1水准面不平行性1水准面不平行性 2重力加速度的变化可分成两部份 一是重力加速度随纬度的不同而变化的 在赤道g有较小的值 而在两极g值较大 因此水准面相互不平行 且为向两收敛的 接近椭园的曲线 二是重力异常 不规则的变化 3水准面的不平行性 对水准测量的影响 因为水准面不平行性 如果沿水准面观测高差不等于零 应该等于零 要加改正数 用水准测量测得两点间的高差随路线不同而有差异 2020 1 29 55 可编辑 环形路线闭合差不等于零 理论闭合差 5 9 2正高高程系定义 正高高程系是以大地水准面为高程基准面 地面一点的正高高程 简称正高 即该点沿垂线至大地水准面的距离 5 43 46 某点正高不随水准测量路线的不同而有差异 正高高程是唯一确定的数值可以用来表示地面的高程 但地面一点的正高高程不能精确求得 5 9 3近似正高高程系和近似正高改正数 定义 高出水准椭球面H的正常重力公式 正常重力公式 1979年国际地球物理和大地测量联合会推荐的正常重力公式 设A B两点间的观测高差为 近似正高高差为 近似正高改正数 水准路线AB上的近似正高改正数 式中 0 002644 讨论 当沿平行圈进行观测时 当沿子午线方向进行水准测量时 变化最大 也最大 在北半球 当水准路线由南向北进行时 纬度增加 为正 为负 即两水准面愈加靠近 正高减小 当所有的水准路线测得的高差中加了近似正高改正数后 则由它们所组成的水准环 其正高高差的闭合差应等于零 所以由于水准面不平行性所产生的理论闭合差就等于构成该水准环的各条水准路线的近似正高改正数之和 5 9 4正常高高程系和重力异常改正1莫洛金斯基提出似大地水准面严密的正高求不出 近似正高没有考虑重力异常 难于通过大地水准面来确定地面点相对于作为归算面的参考椭球面的高程 原苏联科学院通讯院士M c 莫洛金斯基鉴于正高不能严密求得 只能求得近似正高值 他提出 测量学基本的科学问题不应该是大地水准面的测定 而应该是地球表面形状的研究 只有在这个行星表面上进行精确的天文 大地和重力测量所测得的结果的基础上 才有可能来研究地球的形状 他引用了一个非常接近大地水准面的辅助面 这个表面叫似大地水准面 2正常高高程系 正常高高程是以似大地水准面为基准面的高程系 地面一点的正常高高程 简称正常高 即该点到似大地水准面的距离 正常高可精确求得 利用天文重力水准测量方法可以测定似大地水准面与参考椭球面之间的距离 因此应用正常高高程系 可以有足够的精度求出地面一点到参考椭球面的距离 这样地面上的观测量就可精确地归化到参考椭球面上 对于B点正常高 对于AB两点正常高高差 重力异常改正 5 10水准测量的概算 水准测量的概算前必须对外业观测资料进行检查 然后再进行概算 概算的主要内容有 水准标尺每米长度误差的改正数计算 正常水准面不平行的改正数计算 水准路线闭合差计算及按与测段长度成正比配赋 概略高程 近似正高 重力异常改正数在内业平差时计算 得正常高 5 11三角高程测量 5 11 1三角高程测量的基本公式 1基本公式 仪器高i1觇标高v2参考椭球面A B 水准面PE AF切线PC 水准面PE的 光程曲线PN切线PM 光程曲线PN的 也就是视线 垂直角 1 2 实测的 但真正的垂直角应为 0 1 2 0称为折光角高差h12 地球曲率半径影响 折光影响 由于A B两点间的水平距离与曲率半径R之比很小 故可认为PC近似垂直于OM 式中 C 1 K 2R球气差系数 S 实测的水平距离 2距离归算 实测距离s0与参考椭球面上边长s的关系 HA HBHm HA HB 2 参考椭球面上边长投影到高斯平面的距离d 3用参考椭球面上边长s计算单向观测高差的公式 4用高斯平面上边长d计算单向观测高差的公式 令 5对向观测计算高差的公式 6电磁波 光电 测距三角高程的计算公式 代替四等水准光电测距高程导线主要技术要求 起闭于不低于三等水准点上 导线各边边长不应大于1km 高程导线的最大长度不应超过四等水准路线的最大长度 15km 测边应采用不低于II级精度的测距仪往返观测各一测回 并符合光电测距的有关规定 垂直角观测应采用觇牌为照准目标 用j2级经纬仪按三丝法观测三测回 仪器高觇标高应在观测前后用经过检验的量杆各测一次 精确读至1mm 5 11 2垂直角的观测方法 5 11 3球气差系数C值和大气折光系数K值的测定垂直角观测的最好时间为当地时的10h至16h K值在0 08 0 14 直接测定C值的两种方法 在水准点上进行三角高程观测 反求C值 同时对向观测 解算C值 5 11 4三角高程测量的精度1观测高差中误差如何估算三角高程测量外业的精度 在理论上很难推导出一个普遍适用的精度估算公式 我国根据不同地区地理条件20个测区实测资料 用不同边长的三角形高差闭合差来估算三角高程测量的精度 有经验公式 Mh Ps 5 79 式中 Mh对向观测高差平均值的中误差 m s边长 km P每公里的高差中误差 m km P 0 013 0 022 取P 0 025Mh 0 025s 5 81 高差中误差与边长成正比 2对向观测高差闭合差的限差 W h12 h21 3环形闭合差的限差 三角形高差闭合差 W h1 h2 h3 第七章椭球面上的测量计算 7 1地球椭球的基本几何参数及相互关系 7 1 1地球椭球的基本几何参数 参考椭球具有一定的几何参数 定位及定向的用以代表某一地区大地水准面的地球椭球叫做参考椭球 地面上一切观测元素都应归算到参考椭球面上 并在该面上进行计算 它是大地测量计算的基准面 同时又是研究地球形状和地图投影的参考面 有关元素O为椭球中心 NS为旋转轴 a为长半轴 b为短半轴 子午圈 或径圈或子午椭圆 平行圈 或纬圈 赤道 旋转椭球的形状和大小是由子午椭圆的五个基本几何参数 元素 来决定的 即 椭圆的长半轴 a椭圆的短半轴 b 椭圆的扁率 椭圆的第一偏心率 椭圆的第二偏心率 其中 a b称为长度元素 扁率 反映了椭球体的扁平程度 如 0时 椭球变为球体 1时 则为平面 e和e 是子午椭圆的焦点离开中心的距离与椭圆半径之比 它们也反映了椭球体的扁平程度 偏心率越大 椭球愈扁 五个参数中 若知道其中的两个参数就可决定椭球的形状和大小 但其中至少应已知一个长度元素 如a或b 人们习惯于用a和 表示椭球的形状和大小 便于级数展开 引入下列符号 式中B为大地纬度 c为极曲率半径 极点处的子午线曲率半径 两个常用的辅助函数 W第一基本纬度函数 V第二基本纬度函数 传统大地测量利用天文大地测量和重力测量资料推求地球椭球的几何参数 自1738年 法国 布格推算出第一个椭球参数以来 200多年间各国大地测量工作者根据某一国或某一地区的资料 求出了数目繁多 数值各异的椭球参数 由于卫星大地测量的发展 使推求总地球椭球体参数成为可能 自1970年以后的椭球参数都采用了卫星大地测量资料 长半经变化于6378135m 6378145m之间 扁率分母变化于298 25 298 26之间 可见精度已很高 比较著名的有30个椭球参数 其中涉及我国的有 我国1954年北京坐标系应用的是克拉索夫斯基椭球参数 1980年西安坐标系应用的是1975年国际椭球参数 而GPS应用的是WGS 84系椭球参数 7 2椭球面上的常用坐标系及其相互关系 通常采用以下四种坐标系 大地坐标系 空间直角坐标系 大地测量中两种基本坐标系 子午平面直角坐标系及大地极坐标系 7 2 1各种坐标系的建立 1大地坐标系P点的子午面NPS与起始子午面NGS所构成的二面角叫做P点大地经度 P点的法线Pn与赤道面的夹角B叫P点的大地纬度 P点的位置用L B表示 若点不在椭球面上 还要附加另一参数大地高H 它与正常高及正高的关系为 若点在椭球面上 H 0 大地坐标系是大地测量的基本坐标系 其优点为 它是整个椭球体上统一的坐标系 是全世界公用的最方便的坐标系统 它与同一点的天文坐标 天文经纬度 比较 可以确定该点的垂线偏差的大小 2空间直角坐标系以椭球中心O为原点 起始子午面与赤道面交线为X轴 在赤道面上与X轴正交的方向为Y轴 椭球体的旋转轴为Z轴 构成右手坐标系O XYZ 在该坐标系中 P点的位置用X Y Z表示 3子午面直角坐标系设P点的大地经度为L 在过P点的子午面上 以子午圈椭圆中心为原点 建立x y平面直角坐标系 在该坐标系中 P点的位置用L x y表示 4大地极坐标系M为椭圆体面上任意一点 MN为过M点的子午线 S为连结MP的大地线长 A为大地线在M点的大地方位角 以M为极点 MN为极轴 S为极径 A为极角 就构成了大地极坐标系 P点位置用S A表示 椭球面上的极坐标 S A 与大地坐标 L B 可以互相换算 这种换算叫大地主题解算 7 3椭球面上的几种曲率半径 为在椭球面上进行控制测量计算 须了解椭球面上有关曲线的性质 过椭球面上任意一点可作一条垂直于椭球面的法线 包含这条法线的平面叫做法截面 法截面与椭球面的交线叫法截弧 线 7 3 1子午圈曲率半径 或 M与B有关 是纬度B的函数 随B的增大而增大 变化规律见 教材表7 2 7 3 2卯酉圈曲率半径 过椭球面上一点的法线 可作无数个法截面 其中一个与该点子午面相垂直的法截面同椭球面相截所形成的闭合圈称之为卯酉圈 PEE 即为过P点的卯酉圈 半径用N表示 或 7 3 3任意法截弧的曲率半径 N与B有关 是纬度B的函数 且随B的增大而增大 变化规律见教材表7 3 7 3 4平均曲率半径 7 3 5M N R的关系 N R M 7 4椭球面上的弧长计算在研究与椭球有关的一些测量计算时 例如研究高斯投影计算 往往要用到子午线弧长及平行圈弧长 现介绍其计算公式 7 4 1子午线弧长计算公式 我们知道 子午椭圆的一半 其端点与极点相重合 而赤道又把子午线分成对称的两部分 因此 我们只推导从赤道开始到已知纬度B子午线弧长的计算公式 取子午线上某微分弧 令P点纬度为B P 点纬度为 P点的子午圈曲率半径为M 于是有 要计算从赤道开始到任意纬度B的子午线弧长 必须求出下列积分值 当将克拉索夫斯基椭球元素值代入上式 则得 X 111134 861B 32005 780sinBcosB 133 929sin3BcosB 0 697sin5BcosB当将1975年国际椭球元素值代入上式 则得 X 111133 005B 32009 858sinBcosB 133 960sin3BcosB 0 698sin5BcosB 7 4 2平行圈弧长公式旋转椭球体的平行圈是一个圆 其半径就是圆上任意一点的子午面直角坐标x 如果平行圈上有两点 其经差 可写出平行圈弧长公式 7 5大地线我们知道 两点间的最短距离 在平面上是两点间的直线 在球面上是两点间的大圆弧 那么在椭球面上又是怎样一条线呢 经研究确认为它是一条大地线 7 5 1相对法截线 设在椭球面上任取两点A B 其纬度分别为 过A B两点分别作法线与短轴交于 点 与赤道面分别交于 现证明 将不重合 故当 时 故 因此 1 椭球面上一点的纬度愈高 法线与旋转轴的交点愈低 2 纬度不同的两点 法线必交于旋转轴的不同点 3 当两点的纬度不同 又不在同一子午圈上时 这两点的法线将在空间交错而不相交 因此当两点不在同一子午圈上 也不在同一平行圈上时 两点间就有二条法截线存在 不重合 现假定经纬仪的纵轴同A B两点的法线 重合 忽略垂线偏差 如此以两点为测站 则经纬仪的照准面就是法截面 用A点照准B点 则照准面 同椭球面的截线为 叫做A点的正法截线 或B点的反法截线 同理 由B点照准A点 则照准面 同椭球面的 截线为 叫做B点的正法截线 或A点的反法截线 因法线 互不相交 故 和 这两条法截线不重合 叫做A B两点的相对法截线 由上式可知 当 说明 某点的纬度愈高 其法线与短轴的交点愈低 即法截线 偏上 而 由此 现将AB方向在不同象限时 正反法截线的关系表示为右图 偏下 当A B两点位于同一子午圈或同一平行圈上时 正反法截线则合二为一 这是一种特殊情况 而通常情况下 正反法截线是不重合的 因此在椭球面上A B C三点处所测得的角度 各点上正法截线之夹角 将不能构成闭合三角形 为克服这个矛盾 在两点间另选一条单一的大地线代替相对法截线 从而得到由大地线构成的单一的三角形 7 5 2大地线的定义和性质椭球面上两点间的最短曲线叫做大地线 在微分几何中 大地线 又称测地线 另有这样的定义 大地线上每点的密切面 无限接近三个点构成的平面 都包含该点的曲线法线 亦即 大地线上各点的主法线与该点的曲面法线重合 因曲面法线互不相交 故大地线是一条空间的曲面曲线 假如在椭球模型表面A B两点之间 画出相对法截线 然后在A B两点上各插一个大头针 并紧贴着椭球面在大头针中间拉紧一条细橡皮筋 并设橡皮筋和椭球面之间没有磨擦力 则橡皮筋形成一条曲线 恰好位于相对法截线之间 这就是一条大地线 由于橡皮筋处于拉力之下 故它实际上是两点的最短线 不在同一子午圈或不在同一平行圈上的两点的正反法截线是不重合的 它们之间的夹角 在一等三角测量中可达千分之四秒 可见此时是不容忽视的 大地线是两点间唯一最短线 而且位于相对法截线之间 并靠近正法截线 它与正法截线间的夹角为 在一等三角测量中 数值可达千分之一二秒 可见在一等或相当于一等三角测量精度的工程三角测量中是不可忽视的 大地线与法截线长度之差只有百万分之一毫米 所以在实际计算中 这种长度差异可以忽略不计 但是 根据大地线的性质可知 在椭球面上进行测量计算时 应以两点间的大地线为依据 在地面上测得的方向 距离等应归算到相应大地线的方向 距离 7 6将地面观测的方向值归算到椭球面我们知道 参考椭球面是测量计算的基准面 而野外的各种测量工作都是在地面上进行的 测站点和照准点一般都超过参考椭球面一定高度 观测的基准线不是各点相应的椭球面的法线 而是各点的垂线 各点的垂线与法线间存在着垂线偏差 因此 也就不能直接在地面上处理观测成果 而应将地面观测的元素 方向和距离等 归算至椭球面上 在归算中有两条基本要求 1 以椭球面的法线为基准 2 将地面观测元素化为椭球面上大地线的相应元素 本节主要研究方向值的归算 7 6 1将地面观测的水平方向归算至椭球面 三差改正将水平方向归算至椭球面 包括垂线偏差改正 标高差改正及截面差改正 习惯上称此三项为三差改正 1 垂线偏差改正 地面上所有水平方向的观测都是以垂线为根据的 而在椭球面上则要求以该点的法线为依据 因此在每三角点上 把以垂线为依据的地面观测的水平方向值归算到以法线为依据的方向值而应加的改正定义为垂线偏差改正 垂线偏差的计算公式为 2 标高差改正 h 标高差改正又称由照准点高度引起的改正 我们知道 不在同一子午面或不在同一平行圈上的两点的法线是不共面的 因此 当进行水平方向观测时 如果照准点高出椭球面某一高度 则照准面就不能通过照准点的法线同椭球面的交点 由此引起的方向偏差的改正称标高差改正以 h表示 标高差改正的计算公式为 3 截面差改正 g 在椭球面上 纬度不同的两点由于其法线不共面 所以在对向观测时相对法截弧不重合 应当用两点间的大地线代替相对法截弧 这样将法截弧方向化为大地线方向应加的改正叫截面差改正 用 g表示 AaB是A至B的法截弧 它在A点处的大地方位角为A 1 ASB是AB间的大地线 它在A点的大地方位角是A1 A 1与A1之差 g就是截面差改正 截面差改正计算公式为 式中S为AB间大地线长度 N1为测站点纬度B1相对应的卯酉圈曲率半径 4 三差改正的计算 为了在内业计算时不影响外业观测精度 各等三角测量在归算时对取位的要求是不同的 按作业中的有关规定 一等需算至0 001 二等为0 01 三等和四等为0 1 由此可以看出 在一般情况下 一等三角测量应加三差改正 二等三角测量应加垂线偏差改正和标高改正 而不加截面差改正 三等和四等三角测量可不加三差改正 但当或H 2000m时 则应分别考虑加垂线偏差改正和标高差改正 即对特殊情况应依测区实际情况具体分析 然后再确定是否加入三差改正 经过三差改正后 最后得到椭球面上相应的各大地线的方向值 7 7将地面观测的长度归算到椭球面根据测边使用仪器的不同 地面长度的归算可分为两种 一是基线尺量距的归算 二是电磁波测距的归算 现分别进行研究 7 7 1基线尺量距的归算将基线尺测量求得的长度加入尺段倾斜改正后 可认为它是基线平均水准面上的长度值 用s0表示 而我们所求的是椭球面上的大地线的长度s 因此产生了长度归算问题 1 垂线偏差对长度归算的影响由于垂线偏差的存在 使得垂线和法线不一致 水准面不平行于椭球面 为此在长度归算中应首先消除这种影响 假设垂线偏差沿基线是线性变化的 则垂线偏差u对长度归算的影响式是 式中 为在基线端点1和2处垂线偏差在基线方向上的分量 为各个测段测量的高差总和 H1和H2为基线端点1和2处的大地高 2 高程对长度归算的影响假设基线两端点已经过垂线偏差改正 则基线平均水准面平行于椭球体面 此时由于水准面离开椭球体面一定距离 也引起长度归算的改正 AB为平均高程水准面上的基线长度 以s0表示 现要计算其在椭球面上的长度S 由图可知 由此得椭球面上的长度为 式中 即基线端点平均大地高程 R为基线方向法截线曲率半径 如果将上式展开级数 取至二次项 则有 由此式可得由高程引起的基线归化改正数公式 顾及以上两式 则有地面基线长度归算到椭球面上长度的公式为 7 7 2电磁波测距的归算 电磁波测距仪测得的长度是连接地面两点间的直线斜距 也应将它归算到参考椭球面上 式中 7 8椭球面上三角形的解算 前面几节的方法可以将地面上的方向 起始边长及起始方位角归化到椭球体面 从而得到椭球面上由大地线组成的三角形 该网中少数的起始边是已知的 但其余各边长度是未知的 因此需通过三角形的解算求得 7 8 1用勒让德尔定理解算球面三角形 椭球面上的三角形是由大地线组成的 而大地线是一条空间曲线 该曲线上每一点处的曲率半径各不相同 因此三角形解算就变得十分复杂了 经研究表明 半径为140KM范围内的椭球面可当作球面上的一部分看待 球的半径可选择为三个曲面接触点的平均曲率半径 若在半径为140KM的圆内绘一内接等边三角形 则每边的长度为240KM 这就是说 当三角形边长小于240KM时 就可把它当作球面三角形解算 两者对应的边长相等 对应角之差小于0 001 国家一等三角形的平均边长在25KM左右 所以将其当作球面三角形来解算精度完全可以保证 勒让德尔定理 如果平面三角形和球面三角形对应边相等 则平面角等于对应球面角减去三分之一球面角超 设球面三角形A0B0C0的三边为a b c 球面角超为 另一平面三角形A1B1C1 其三边也为a b c 但它们的角度与球面三角形的对应角度有如下关系 7 8 2球面角超计算 球面角超 的计算公式 F为平面三角形的面积 为 令 7 9大地主题解算的高斯平均引数公式7 9 1大地主题解算的一般概念 椭球面上点的大地经度L 大地纬度B 两点间的大地线长度S及其正 反大地方位角A12 A21 通称为大地元素 如果知道某些大地元素推求另一些大地元素 这样的问题就叫大地主题解算 有正算和反算 如图所示 已知P1点的大地坐标 L1 B1 P1至P2点的大地线长S及其大地方位角A12 计算P2点的大地坐标 L2 B2 和大地线S在P2点的反方位角A21 这类问题叫做大地主题正解 如果已知P1和P2点的大地坐标 L1 B1 和 L2 B2 计算P1至P2点的大地线长S及其正 反大地方位角A12和A21 这类问题叫做大地主题反解 大地主题正解和反解 大地测量主题 从解析意义来讲 就是研究大地极坐标与大地坐标间的相互变换 大地测量主题的用途 天文大地测量中计算一等点的经纬度 空间技术和航空 航海 国防等科学技术 第八章高斯投影 地面 椭球面 平面 高斯 克吕格投影 高斯投影 8 1高斯投影概述 8 1 1地图数学投影与变形 所谓地图数学投影 简略说来就是将椭球面各元素 包括坐标 方向和长度 按一定的数学法则投影到平面上 研究这个问题的专门学科叫地图投影学 这里所说的数学法则可用下面两个方程式表示 8 1 式 8 1 表示了椭球面上一点同投影面上对应点之间坐标的解析关系 也叫做坐标投影公式 投影问题也就是建立椭球面元素与投影面相对应元素之间的解析关系式 投影的方法很多 每种方法的本质特征都是由坐标投影公式F的具体形式体现的 椭球面是一个凸起的 不可展平的曲面 若将这个曲面上的元素 比如一段距离 一个角度 一个图形 投影到平面上 就会和原来的距离 角度 图形呈现差异 这一差异称作投影的变形 地图投影必然产生变形 投影变形一般分为角度变形 长度变形和面积变形三种 在地图投影时 我们可根据需要使某种变形为零 也可使其减小到某一适当程度 因此 地图投影中产生了所谓的等角投影 投影前后角度相等 但长度和面积有变形 等距投影 投影前后长度相等 但角度和面积有变形 等积投影 投影前后面积相等 但角度和长度有变形 等 8 1 2控制测量对地图投影的要求 1 应采用等角投影 又称正形投影 这样 保证了在三角测量中大量的角度元素在投影前后保持不变 免除了大量的投影工作 所测制的地图可以保证在有限的范围内使得地图上图形同椭球上原形保持相似 给国民经济建设中识图用图带来很大方便 如图多边形 相应角度相等 但长度有变化 投影面上的边长与原面上的相应长度之比 称为长度比 图中 即在微小范围内保证了形状的相似性 当ABCDE无限接近时 可把该多边形看作一个点 因此在正形投影中 长度比m仅与点的位置有关 与方向无关 给地图测制及地图的使用等带来极大方便 2 要求长度和面积变形不大 并能用简单公式计算由变形而引起的改正数 为此地图投影应该限制在不大的投影范围内 从而控制变形并能进行简单计算 3 要求投影能很方便地按分带进行 并能按高精度的 简单的 同样的计算公式和用表把各带联成整体 保证每个带进行单独投影 并组成本身的直角坐标系统 然后再将这些带用简单的数学方法联接在一起 从而组成统一的系统 8 1 3高斯投影的基本概念 高斯投影又称横轴椭圆柱等角投影 是德国测量学家高斯于1825 1830年首先提出的 实际上 直到1912年 由德国另一位测量学家克吕格推导出实用的坐标投影公式后 这种投影才得到推广 所以该投影又称高 斯 克吕格投影 想象有一椭圆柱面横套在地球椭球体外面 并与某一条子午线 称中央子午线或轴子午线 相切 椭圆柱的中心轴通过椭球体中心 然后用一定的投影方法将中央子午线两侧各一定经差范围内的地区投影到椭圆柱面上 再将此柱面展开即成为投影面 我国规定按经差60和30度进行投影分带 为大比例尺测图和工程测量采用30带投影 特殊情况下工程测量控制网也可用1 50带或任意带 高斯投影60带自00子午线起每隔经差60自西向东分带 依次编号1 2 3 我国60中央子午线的经度 由690起每隔60而至1350 共计12带 带号用n表示 中央子午线的经度用L0表示 L0 6n 3 高斯投影30带是在60带的基础上分成的 它的中央子午线一部分同60带中央子午线重合 一部分同60带分界子午线重合 带号用n 表示 30带中央子午线用L表示 关系是 L 3n 在投影面上 中央子午线和赤道的投影都是直线 并且以中央子午线和赤道的交点O作为坐标原点 以中央子午线的投影为纵坐标轴 以赤道的投影为横坐标轴 这样便形成了高斯平面直角坐标系 在我国X坐标均为正 Y坐标的最大值 在赤道上 约为330KM 为避免出现负的横坐标 可在横坐标上加500KM 此外还应在坐标前面冠以带号 这种坐标称为国家统一坐标 如某点Y 19123456 789m 该点位于19带内 其相对于中央子午线而言的横坐标是 首先去掉带号 再减去500KM 最后得y 376543 211m 由于分带造成了边界子午线两侧的控制点和地形图处于不同的投影带内 为了把各带连成整体 一般规定各投影带要有一定的重叠度 其中每一60带向东加宽30 向西加宽15 或7 5 这样在上述重叠范围内 控制点将有两套相邻带的坐标值 地形图将有两套公里格网 从而保证了边缘地区控制点间的互相应用 也保证了地图的拼接和使用 由此可见 由于高斯投影是正形投影 故保证了投影的角度不变性 图形的相似性以及在某点各方向上长度比的同一性 由于采用了同样法则的分带投影 既限制了长度变形 又保证了在不同投影带中采用相同的简单公式和数表进行由于变形引起的各项改正的计算 且带与带间的互相换算也能用相同的公式和方法进行 高斯投影这些优点使用权它得到广泛的推广和具有国际性 8 1 4椭球面三角系化算到高斯平面 高斯投影坐标计算 平面子午线收敛角r 方向改化 距离改化 换 高斯投影必须满足以下三个条件 中央子午线投影后为直线 中央子午线投影后长度不变 投影具有正形性质 即正形投影 椭球面上曲线投影后变形情况 赤道投影为一直线且为y轴 中央子午线投影亦为直线 且为x轴 其长度与中央子午线长度相等 两轴的交点为坐标原点 经线是凹向中央子午线的曲线 且收敛于两极 赤道是投影 的对称轴 纬线是凸向赤道的曲线 所以经线和纬线的投影是互相垂直的 距中央子午线愈远的子午线 投影后弯曲愈厉害 表明长度变形愈大 中央子午线是投影对称轴 由于满足正形投影条件 带计算 高斯平面上点的坐标计算 高斯平面上坐标方位计算 高斯平面上距离计算 将椭球面三角系归算到高斯投影面的主要内容是 1 将起始点P的大地坐标 L B 归算为高斯平面直角坐标x y 为了检核还应进行反算 亦即根据x y反算B L 这项工作统称为高斯投影坐标计算 2 按 8 3 式 将椭球面上起算边大地方位角APK归算到高斯平面上相应边P K 的坐标为方位角 P K 这是通过计算该点的子午线收敛角 及方向改正 实现的 3 将椭球面上各三角形内角归算到高斯平面上的由相应直线组成的三角形内角 这是通过计算各方向的曲率改正和方向改正来实现的 4 按 8 4 式 将椭球面上起算边PK的长度S归算到高斯平面上的直线长度s 这是通过计算距离改正 s实现的 8 3 8 4 8 3高斯投影坐标正反算公式 8 3 1高斯投影坐标正算公式 已知某点的大地坐标L B 计算出平面直